专题1.6 整式的乘除40道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题1.6 整式的乘除40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 幂的乘方的逆用 题型二 同底数幂除法的逆用 题型三 积的乘方的逆用 题型四 多项式乘多项式与图形面积 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型六 单项式乘法相关求值问题 题型七 多项式乘法中的规律性问题 题型八 平方差公式与完全平方公式在几何图形中的应用 题型九 通过对完全平方公式变形求值 题型十 多项式乘多项式化简求值 【经典例题一 幂的乘方的逆用】 1．（25-26七年级下·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 2．（2025·七年级下 四川泸州）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知正整数满足，则___________． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【经典例题二 同底数幂除法的逆用】 1．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 2．（25-26七年级下·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）计算：________． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）求的值的个位数字．（提示） 【经典例题三 积的乘方的逆用】 1．（24-25七年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 2．（25-26七年级下·四川眉山·月考）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 4．（2023七年级下·全国）计算： 【经典例题四 多项式乘多项式与图形面积】 1．（25-26七年级下·山西大同·月考）太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 4． （2025七年级下·全国·专题练习）将一个正方形的一组对边的长增加，另一组对边的长减少，得到的长方形的面积与这个正方形边长减少所得到的正方形的面积相等．求这个长方形的面积． 【经典例题五 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 1．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期中）若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 4．（22-23七年级下·江西抚州·月考）回答下列问题： (1)计算： ①（x+2）（x+3）＝　 　； ②（x+7）（x﹣10）＝　 　； ③（x﹣5）（x+6）＝　 　； ④（x﹣2）（x﹣5）＝　 　． (2)猜想并总结规律：（x+a）（x+b）＝　 　． (3)已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+16，求m的所有可能值． 【经典例题六 单项式乘法相关求值问题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 2．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23七年级下·广东深圳·期中）若恒成立，则______． 4．（2023七年级下·全国）若的乘积中不含 与 项，求的值． 【经典例题七 多项式乘法中的规律性问题】 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24七年级下·重庆城口·期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）已知，n为正整数，则___________． 4．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3） 用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 【经典例题八 平方差公式与完全平方公式在几何图形中的应用】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 2．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为，则两正方形的面积和的值为（　　） A．40 B．20 C．60 D．30 3．（25-26七年级下·上海·月考）已知，则___________． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【经典例题九 通过对完全平方公式变形求值】 1．（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 3．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知，，则______． 4．（25-26七年级下·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4） 如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【经典例题十 多项式乘多项式化简求值】 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（22-23七年级下·浙江）若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 4．（22-23七年级下·浙江·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 整式的乘除40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 幂的乘方的逆用 题型二 同底数幂除法的逆用 题型三 积的乘方的逆用 题型四 多项式乘多项式与图形面积 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型六 单项式乘法相关求值问题 题型七 多项式乘法中的规律性问题 题型八 平方差公式与完全平方公式在几何图形中的应用 题型九 通过对完全平方公式变形求值 题型十 多项式乘多项式化简求值 【经典例题一 幂的乘方的逆用】 1．（25-26七年级下·上海·期中）如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 2．（2025·七年级下 四川泸州）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知正整数满足，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 【详解】解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 【经典例题二 同底数幂除法的逆用】 1．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 2．（25-26七年级下·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）计算：________． 【答案】2 【分析】本题考查积的乘方逆运算以及同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，将原式变形为可以简便计算的形式．通过积的乘方公式，先将变形为，再将原式转化为，计算得，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为2． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）求的值的个位数字．（提示） 【答案】2 【分析】本题考查的是积的乘方及同底数幂的逆用，正确运用幂的运算性质是解题的关键．先计算得出结果，找出的个位数字规律，进而求出结论． 【详解】解： ． 的个位数是2， 的个位数字与的个位数字相同， 的个位数字是每四个数为一个循环． ， 的末位数字是6． 其个位数字为7. 原式值的个位数字为的个位数字6与的个位数字7的乘积的个位数字，即的个位数字，故为2， 的值的个位数字为2． 【经典例题三 积的乘方的逆用】 1．（24-25七年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川眉山·月考）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用． 先逆用同底数幂的乘法得到，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 4．（2023七年级下·全国）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的除法等运算法则，解题的关键是利用对原式进行变形，然后提取公因式并约分． 【详解】原式 ． 【经典例题四 多项式乘多项式与图形面积】 1．（25-26七年级下·山西大同·月考）太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 【详解】解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算． 解法一：延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解法二：延长交于点L，证明，则即可求解． 【详解】解：解法一： 如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 解法二： 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 如图，延长交于点L， 由图可得， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 【答案】b 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）将一个正方形的一组对边的长增加，另一组对边的长减少，得到的长方形的面积与这个正方形边长减少所得到的正方形的面积相等．求这个长方形的面积． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 设原来正方形的边长为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设原正方形的边长为． 由题意，得， 解得， ∴这个长方形的面积为． 答：这个长方形的面积是． 【经典例题五 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 1．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期中）若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则可得且，再列出所有符合题意的整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，（a、b为整数）． 列出所有整数对a、b满足： 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． ∴ m的可能值为或． 故选D． 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键；将等式左边展开，比较左右两边系数可得  和 ，其中 、为正整数. 列举所有可能的计算值即可得到结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∵ 为正整数， ∴ 或或或， ∴ 值为：， ∴ 不可能为 . 故选：C． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 【答案】26 【分析】本题考查了新定义下的整式的混合运算．需要求的最小值，通过代数变换，将问题转化为求的最小值，求得，分别求得当、和时，的最小值，据此分析求解即可． 【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 设， 要求的最小值，即需求的最小值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当时，，，取时，的最小值为12； 当时，，，为定值； 当时，，，取时，的最小值为12； ∴的最小值为12， ∴的最小值为， 故答案为：26． 4．（22-23七年级下·江西抚州·月考）回答下列问题： (1)计算： ①（x+2）（x+3）＝　 　； ②（x+7）（x﹣10）＝　 　； ③（x﹣5）（x+6）＝　 　； ④（x﹣2）（x﹣5）＝　 　． (2)猜想并总结规律：（x+a）（x+b）＝　 　． (3)已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+16，求m的所有可能值． 【答案】(1)①+5x+6②﹣3x﹣70③+x﹣30④﹣7x﹣10 (2)+（a+b）x+ab (3)17或﹣17或10或﹣10或8或﹣8 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则运算即可； （2）总结上述计算得出公式； （3）将16分解成两个整数的乘积，即可得出a，b的值，利用公式（3）可得结论． 【详解】（1）解：①原式＝+2x+3x+6＝+5x+6； ②原式＝﹣10x+7x﹣70＝﹣3x﹣70； ③原式＝+6x﹣5x﹣30＝+x﹣30； ④原式＝﹣5x﹣2x+10＝﹣7x﹣10． 故答案为： +5x+6；﹣3x﹣70；+x﹣30；﹣7x﹣10． （2）由上面的计算可知：（x+a）（x+b）＝+（a+b）x+ab． 故答案为： +（a+b）x+ab． （3）由公式（3）可知（x+a）（x+b）＝+mx+16中，m＝a+b，16＝ab． ∵16＝1×16或（﹣1）×（﹣16）或2×8或（﹣2）×（﹣8）或4×4或（﹣4）×（﹣4） ∴m＝17或﹣17或10或﹣10或8或﹣8． m的值为：17或﹣17或10或﹣10或8或﹣8． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练使用多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【经典例题六 单项式乘法相关求值问题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 2．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 3．（22-23七年级下·广东深圳·期中）若恒成立，则______． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 4．（2023七年级下·全国）若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，的等式，求出后再求代数式值． 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 【经典例题七 多项式乘法中的规律性问题】 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 2．（23-24七年级下·重庆城口·期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查数字的变换类规律，解题的关键是读懂题意，找到“杨辉三角”的规律．求出的展开式中的系数即可判定①；由计算规律可判断②正确；将分解为，再将分解成即可判定． 【详解】解：由计算规律可得，的展开式中，字母部分因式依次为，，，…， ∴含的为第二项， 又由“杨辉三角”可知，的展开式中第二项的系数为n， ∴的展开式中含的项为，故①正确； 由计算规律可得， ，故②正确； ∵， 而 ， ∴能被28整除，故③正确； ∴正确的有①②③，共3个； 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）已知，n为正整数，则___________． 【答案】385 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得，则可得到，…，，把这些等式的左边和右边分别求和，可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ， …… ， 将以上等式两边分别相加，左边求和得， 右边求和得 ∴ ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·福建福州·期末）下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 【答案】（1）大；大 （2）见解析 （3）当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查数字规律探索问题． （1）通过观察给定数据，发现和一定时，两数差绝对值越小积越大，差为0时积最大； （2）设两数为和，其和为定值，积为，分析b对积的影响； （3）利用周长固定下长方形面积与边长的关系，结合规律求解． 【详解】（1）解：观察数据：第一组和均为60，差绝对值分别为0，10，26，44，对应积900，875，731，416； 第二组和均为100，差绝对值分别为0，6，48，82，对应积2500，2491，1924，819． 差绝对值越小，积越大；差绝对值为0时积最大． 故答案为：大，大． （2）证明：设两数为和，其中a为定值，， 其和为定值，积为， 两数和为（定值）． 两数积为． ∵ 为定值，， ∴ 当b越小，越大； 当时，积最大． 故规律成立． （3）解：设长方形两条邻边长分别为和． 周长为， ∴ （定值）． 面积． 由规律，当即时，S最大． ∴， ∴． 答：当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为． 【经典例题八 平方差公式与完全平方公式在几何图形中的应用】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为，则两正方形的面积和的值为（　　） A．40 B．20 C．60 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设，，由，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设，， ，， ， ； 故选：A． 3．（25-26七年级下·上海·月考）已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，解决此题的关键是运用换元思想；先把和看作m和n，已知条件变成了两个数的乘积，根据已知可得两个数的差，进而运用完全平方公式即可得到答案； 【详解】解：令，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 【经典例题九 通过对完全平方公式变形求值】 1．（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，运用完全平方公式的非负性进行变形，结合已知等式列出关于的不等式，进而求出的最大值． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 当且仅当时，等号成立， 此时为最大值25． 故选：D． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 由条件 可得，再代入 求得，然后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：由，得， 即， 所以， 代入，得， 所以， 故， 则，，， 所以，，， 因此原式． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·湖北随州·期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）108；（3）15；（4）58 【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． （1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，， ∴阴影面积； （2）由，，， ∴； （3）设，，则， ． ， ∴； （4）设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴， 解得 ． ∴一块直角三角板面积 ． 【经典例题十 多项式乘多项式化简求值】 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式运算的应用，通过展开 M 和 N 的表达式，并计算 M 与 N 的差，从而比较大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即： ∴ ， 故选择： A． 2．（22-23七年级下·浙江）若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】令，分别求出，，，，最后根据分别代入化简求解即可． 【详解】解：令，则 ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵ ， ， ∵ ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是用换元法，将各个式子进行改写化简． 3．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案． 【详解】如图所示，对需要的交点标注字母： ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点． 4．（22-23七年级下·浙江·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，将a+b=16，ab=40代入进行计算即可； （3）根据S3=（a2+b2-ab），S1+S2=a2+b2-ab=76，即可得到阴影部分的面积S3． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据图形之间的面积关系进行推导计算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $