第16章《函数及其图象》章节考点专题复习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版第16章《函数及其图象》章节考点专题复习清单 ( 考点汇编 ) 考点1：函数的概念 例1、下列图象中，y不是x的函数的是（    ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 【同步练习】下列各曲线中表示y是x的函数的是（    ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 考点2：函数自变量的取值范围 例2、在函数中，自变量x的取值范围是（     ） A、 B、 C、且 D、 【同步练习】 1、函数的自变量x的取值范围是（　　） A、 B、 C、 D、 2、函数中，自变量x的取值范围是（     ） A、 B、且 C、 D、且 3、函数中，自变量x的取值范围是（　　） A、 B、且 C、 D、 考点3：平面直角坐标系 例3、象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种。由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动。如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“仕”的坐标是（    ） A、（，1） B、（1，） C、（，2） D、（，2） 【同步练习】 1、中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载。如图是中国象棋棋局的一部分，以“士”所在位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则“炮”的位置应表示为（    ） A、（4，） B、（，4） C、（3，） D、（，） ( 同步练习1 图 同步练习2 图 ) 2、中国象棋有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏、在棋战中，人们可以从攻与防、虚与实、整体与局部等复杂关系的变化中提升思维能力。如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为（2，1），（，1），则表示棋子“車”的点的坐标为（ ） A、（，） B、（，1） C、（，1） D、（，） 例4、已知点M（，） （1）若点M在y轴上，求a的值； （2）若点N的坐标为（3，5），且直线轴，求点M的坐标。 【同步练习】 1、已知点P（，），若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（2，），则m，n的值分别为（    ） A、6，2 B、0，2 C、6， D、0， 2、若点P（，a）在第二象限，那么a的取值范围是（    ） A、 B、 C、 D、 3、若点M的坐标为（，2），点N的坐标为（，），轴，则m的值为（   ） A、4 B、2 C、 D、 4、已知点Q（，）在第四象限，且点Q到两坐标轴的距离相等，那么m的值为（    ） A、3 B、或3 C、 D、3或 5、在平面直角坐标系中，点A（1，5），B（，），若直线AB与y轴平行，则m的值为（ ） A、0 B、3 C、4 D、7 6、在平面直角坐标系中，用（，4）表示一只蚂蚁的位置。若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（     ） A、（1，0） B、（，2） C、（2，1） D、（1，2） 7、已知A点的坐标为（4，2），轴，且，则B点的坐标为（     ） A、（4，5） B、（4，） C、（4，5）或（4，） D、（，2）或（7，2） 8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（，） （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标。 例5、已知点A（，1）与点P（5，）关于x轴对称（　　） A、， B、， C、， D、， 【同步练习】 1、在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点是（     ） A、（2，） B、（，3） C、（，2） D、（3，） 2、若点A（，）与点B（，）关于x轴对称，则的值是（    ） A、 B、 C、1 D、3 3、在平面直角坐标系中，已知点A（，）与点B（b，）关于原点成中心对称，则a，b的值分别是（     ） A、， B、， C、， D、， 4、已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则的值为（     ） A、0 B、 C、1 D、 5、已知A（，7）和B（6，）关于x轴对称，则的值为（    ） A、 B、1 C、 D、2 考点4：列函数关系式 例6、将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为2cm． （1）将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … （2）设x张纸粘合后的纸条长为ycm． ①y与x之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 cm； ③若小明需要粘合长为2026cm的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【同步练习】 1、已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为__________（x为自变量）；自变量的取值范围__________； 2、如图，下列图形都是由形状相同的小五角星按照一定规律排列构成的，设图形的序号为x，构成对应图形的小五角星的个数为y．请解决下列问题： （1）观察图形，总结出y与x之间的关系式为____________； （2）若某个图形中有2023个小五角星，请问这个图形的序号是多少？ 考点5：函数图像 ( y/m 甲 10 5 40 20 O x/s 乙 )例7、甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（m）与无人机飞行的时间x（s）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： （1）楼顶距离地面的高度是_______m； （2）在这个过程中，甲无人机的速度是___m/s，乙无人机的速度是___m/s； （3）当甲、乙两架无人机上升了10s时，它们的高度差是多少米？ 【同步练习】 1、回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动。队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时50分钟。讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟、设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） ( O y/ 米 x/ 分钟 A y/ 米 x/ 分钟 B y/ 米 x/ 分钟 C y/ 米 x/ 分钟 D O O O ) ( 1.5 E 90 2 150 A B C D 4.5 3 S （ km ） t （ h ） )2、如图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离S（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了0.5h；  ②汽车共行驶了300km； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h 其中正确的说法有（　　） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3、匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图（图中OABC为一折线），则这个容器的形状为（    ） ( A h t A B C O B C D ) 4、一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止。两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列说法：①两车出发2h后相遇；②A，B两地相距280km；③快车比慢车早到达目的地；④快车的速度为，慢车的速度为，其中正确的说法是_______. ( 210 2 280 S （ km ） O t （ h ） ) 考点6：一次函数的定义 例8、下列函数中，是一次函数的是（     ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（    ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、当__________时，函数是一次函数； 3、若函数是一次函数，则k的值为_________. 考点7：一次函数的图像 例9、若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【同步练习】 1、在平面直角坐标系中，一次函数的图像不经过（    ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、在平面直角坐标系中，直线不经过（    ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A、函数图象经过点（1，） B、函数图象与y轴的交点坐标是（0，8） C、函数的图象不经过第一象限 D、函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 4、已知一次函数，若，则该函数图象一定经过（     ） A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限 5、若，则一次函数的图象大致是（    ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 6、已知，则一次函数和在同一坐标系内的图象可能是（    ） ( y x O ) ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 7、如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A、 B、 C、 D、 8、已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象大致是（   ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 考点8：一次函数的性质 例10、在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（     ） A、（0，） B、（0，4） C、（0，） D、（0，2） 【同步练习】 1、在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与x轴的交点为（    ） A、（0，） B、（3，0） C、（，0） D、（0，0） 2、将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（    ） A、 B、 C、 D、 3、已知点A（a，），点B（，）都在直线上，则，的大小关系（   ） A、 B、 C、 D、无法确定 4、已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5、已知点（，）和（4，）都在直线上，若，则k的取值范围是（     ） A、 B、 C、 D、 6、若点A（，），B（，），C（，4）在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A、 B、 C、 D、 考点9：求一次函数的表达式 例11、已知与成正比例，当时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点P（，）在该函数图象上，求m的值。 【同步练习】 1、已知y和成正比，当时， （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值。 2、已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时， （1）求该一次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的值。 3、已知关于x的一次函数 （1）若函数的图象经过原点，求m的值； （2）若函数的图象与一次函数图像平行，求m的值； （3）若函数的图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围。 例12、如图，已知直线AB与CD：交于点E（，4），且点A的坐标为（，0） （1）求直线AB的表达式及点B的坐标； （2）求的面积； ( x A B D E y C O )（3）点P是y轴上一点，且满足，求点P的坐标. ( ) 【同步练习】 1、在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上。 （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标__________； （2）判断的形状并求的周长； （3）若点P为x轴上一动点，直接写出当最大时，点P的坐标为_______. ( O A B C y x 2 4 1 -2 -4 - 1 - 3 - 5 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 3 5 1 3 5 2 4 ) 2、如图，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0），B（0，b），且a，b满足 ( 备用图 x O A y B x O A y B ) （1）直接写出______，______； （2）若射线AB上有一动点P的横坐标为t，且，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，坐标平面内另有一点M（2，m），其中m的倒数是它本身。现将直线AB向下平移n个单位后恰好经过点M，求n的值。 3、如图，已知直线与直线相交于点A（a，1），交x轴于点B（，0），交y轴于点C （1）求直线BC的表达式； （2）求的面积； （3）点P是直线BC上的一个动点，且，求点P的坐标。 ( x O A y B C ) 4、如图，直线与x轴、y轴分别交于点D、A，直线与x轴y轴分别交于点C、B，两直线相交于点P（1，b） （1）求b，m的值； （2）求的值； （3）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点M，N，若线段MN的长为2，求a的值； （4）在y轴上存在点Q，使得的值最小，则最小值是_____. ( B 1 D b x y P O A C 1 ) 例13、通过AI与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性。某AI快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙。现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示。 （1）乙机器人分拣包裹的速度是__________个/分，11分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差__________个； （2）求乙分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系式； （3）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的50%，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间； （4）直接写出12分钟之后，在分拣过程中，两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间。 ( 甲 56 O 12 6 960 3000 y / 个 x / 分 乙 ) 【同步练习】我国新能源汽车总销量连续十年保持全球第一，新能源汽车已进入家家户户、元旦假期，小王和小叶分别驾车从景德镇同时出发，前往武汉市。小王驾驶油车，小叶驾驶新能源汽车，途经休息区时小叶给新能源汽车充电1小时后再出发，出发后为了赶上小王加速行驶，而小王没有进入休息区休息继续原速行驶，结果小叶比小王早到达武汉0.5小时，小王、小叶两人离各自出发地的路程y（千米）与出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小叶休息前的速度和小王的速度； （2）求加速后小叶离出发地的路程y与出发的时间x之间的函数关系式； （3）请你直接写出出发多少小时两人相距30千米。 ( 2 A B C D E F 2.5 O 150 300 y / 千米 x / 小时 ) ( 探究应用 ) 1、如图，直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（，3），B（，），C（1，），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（    ） A、（，2） B、（1，2） C、（1，） D、（0，1） ( y 探究应用 1 图 A B D x C O 1 - 2 O A 3 y 探究应用 2 图 A 1 A 2 A 4 A 5 A 6 A 7 - 1 - 3 2 3 4 5 A 1 y 探究应用 3 图 A B x O B 1 A 2 B 2 ) 2、如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点（1，1），（1，），（2，0），（2，）按照此规律，则点的坐标为（    ） A、（2024，） B、（2026，） C、（1013，） D、（1012，） 3、如图，中的OB与x轴重合，，将绕原点O顺时针旋转后得到，将绕原点O顺时针旋转得到……，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（  A、（0，） B、（0，2） C、（，2） D、（1，） 4、如图，点（2，2）在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（     ） A、 B、 C、 D、 5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为（，0），以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（     ） A、 B、 C、 D、 ( A 3 y 探究应用 4 图 x O A 2 A 1 B 3 B 2 B 1 C 3 C 2 C 1 l A 3 y 探究应用 5 图 x O A 2 A 1 B 3 B 2 B 1 B 4 A 4 - 2 A ′ y 探究应用 6 图 x O 4 2 ) 6、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点（，4）。若点A与点关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A、 B、 C、 D、 7、已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则k、b的值依次为（    ） A、、2 B、2、 C、、 D、、3 8、如图，在平面直角坐标系中，点，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______； ( A A 3 y 探究应用 8 图 x A 2 A 1 B 3 B 2 B 1 l 1 A 4 A 5 O A 3 y 探究应用 9 图 x A 2 l 2 C A y 探究应用 10 图 x B O ) 9、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数和的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的坐标为_____. 10、如图，在中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，2）和（5，3）.则当的周长最小时，m的值为________； 11、【综合与实践】类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。 【特例感知】观察下列等式：， （1）根据上述特征，计算：； 【尝试类比】 （2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设的面积为.①_____；②求的值。 华东师大版第16章《函数及其图象》章节考点专题复习清单（原卷版）——————第 11 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版第16章《函数及其图象》章节考点专题复习清单 ( 考点汇编 ) 考点1：函数的概念 例1、下列图象中，y不是x的函数的是（  C   ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 【同步练习】下列各曲线中表示y是x的函数的是（ D    ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 考点2：函数自变量的取值范围 例2、在函数中，自变量x的取值范围是（   C   ） A、 B、 C、且 D、 【同步练习】 1、函数的自变量x的取值范围是（　B　） A、 B、 C、 D、 2、函数中，自变量x的取值范围是（   B   ） A、 B、且 C、 D、且 3、函数中，自变量x的取值范围是（　B　） A、 B、且 C、 D、 考点3：平面直角坐标系 例3、象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种。由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动。如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“仕”的坐标是（  D   ） A、（，1） B、（1，） C、（，2） D、（，2） 【同步练习】 1、中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载。如图是中国象棋棋局的一部分，以“士”所在位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则“炮”的位置应表示为（  A  ） A、（4，） B、（，4） C、（3，） D、（，） ( 同步练习1 图 同步练习2 图 ) 2、中国象棋有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏、在棋战中，人们可以从攻与防、虚与实、整体与局部等复杂关系的变化中提升思维能力。如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为（2，1），（，1），则表示棋子“車”的点的坐标为（ A ） A、（，） B、（，1） C、（，1） D、（，） 例4、已知点M（，） （1）若点M在y轴上，求a的值； （2）若点N的坐标为（3，5），且直线轴，求点M的坐标。 【详解】（1）解：∵点M在y轴上 ∴ ∴； （2）解：∵直线轴 ∴， 解得 ∴， ∴点M的坐标为（，5）． 【同步练习】 1、已知点P（，），若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（2，），则m，n的值分别为（  B   ） A、6，2 B、0，2 C、6， D、0， 2、若点P（，a）在第二象限，那么a的取值范围是（ A   ） A、 B、 C、 D、 3、若点M的坐标为（，2），点N的坐标为（，），轴，则m的值为（ A  ） A、4 B、2 C、 D、 4、已知点Q（，）在第四象限，且点Q到两坐标轴的距离相等，那么m的值为（   C  ） A、3 B、或3 C、 D、3或 5、在平面直角坐标系中，点A（1，5），B（，），若直线AB与y轴平行，则m的值为（ B ） A、0 B、3 C、4 D、7 6、在平面直角坐标系中，用（，4）表示一只蚂蚁的位置。若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（  D    ） A、（1，0） B、（，2） C、（2，1） D、（1，2） 7、已知A点的坐标为（4，2），轴，且，则B点的坐标为（ C    ） A、（4，5） B、（4，） C、（4，5）或（4，） D、（，2）或（7，2） 8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（，） （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标。 【详解】（1）解：由题意，得． 解得． 当时， 所以，点P的坐标为（4，0）． （2）解：当时，解得． 则． 此时，点P的坐标为（3，3）． 当时，解得． 则，． 此时，点P的坐标为（6，）． 所以，点P的坐标为（3，3）或（6，）． 【点评】本题主要考查了点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键。 例5、已知点A（，1）与点P（5，）关于x轴对称（　B　） A、， B、， C、， D、， 【同步练习】 1、在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点是（  A   ） A、（2，） B、（，3） C、（，2） D、（3，） 2、若点A（，）与点B（，）关于x轴对称，则的值是（   A ） A、 B、 C、1 D、3 3、在平面直角坐标系中，已知点A（，）与点B（b，）关于原点成中心对称，则a，b的值分别是（ D     ） A、， B、， C、， D、， 4、已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则的值为（ B    ） A、0 B、 C、1 D、 5、已知A（，7）和B（6，）关于x轴对称，则的值为（  B  ） A、 B、1 C、 D、2 考点4：列函数关系式 例6、将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为2cm． （1）将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … （2）设x张纸粘合后的纸条长为ycm． ①y与x之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 cm； ③若小明需要粘合长为2026cm的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【详解】（1）解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加38cm ；． ∴将表格补充完整如下： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 78 116 154 … 382 … （2）解：①根据题意和所给图形可得出： ，即． ②令，则； 故答案为：1902． ③由，可得 解得． 答：至少需要54张这样的纸。 【同步练习】 1、已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为__________（x为自变量）；自变量的取值范围__________；【答案】 2、如图，下列图形都是由形状相同的小五角星按照一定规律排列构成的，设图形的序号为x，构成对应图形的小五角星的个数为y．请解决下列问题： （1）观察图形，总结出y与x之间的关系式为____________； （2）若某个图形中有2023个小五角星，请问这个图形的序号是多少？ 【详解】（1）解：①中小五角星个数为：， ②中小五角星个数为：， ③中小五角星个数为：， ④中小五角星个数为： 故y与x之间的关系式为． （2）解：由（1）知，，令， 得，解得 所以这个图形的序号是674． 【点睛】本题考查函数关系式，图形的变化类，发现图形的变化规律是得出函数关系式的关键。 考点5：函数图像 ( y/m 甲 10 5 40 20 O x/s 乙 )例7、甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（m）与无人机飞行的时间x（s）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： （1）楼顶距离地面的高度是_______m； （2）在这个过程中，甲无人机的速度是___m/s，乙无人机的速度是___m/s； （3）当甲、乙两架无人机上升了10s时，它们的高度差是多少米？ 【详解】（1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是20m 故答案为：20； （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是 故答案为：8，4； （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了10s时，它们的高度差是20米． 【点评】本题考查了从函数图象获取信息，正确读图是解题的关键： （1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息作答即可； （2）根据图象可知，甲无人机5s升高40m，乙无人机5s升高20m，进行求解即可； （3）用10s时甲的高度减去乙的高度即可． 【同步练习】 1、回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动。队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时50分钟。讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟、设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（    B  ） ( O y/ 米 x/ 分钟 A y/ 米 x/ 分钟 B y/ 米 x/ 分钟 C y/ 米 x/ 分钟 D O O O ) ( 1.5 E 90 2 150 A B C D 4.5 3 S （ km ） t （ h ） )2、如图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离S（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了0.5h；  ②汽车共行驶了300km； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h 其中正确的说法有（　D　） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3、匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图（图中OABC为一折线），则这个容器的形状为（  B  ） ( A h t A B C O B C D ) 4、一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止。两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列说法：①两车出发2h后相遇；②A，B两地相距280km；③快车比慢车早到达目的地；④快车的速度为，慢车的速度为，其中正确的说法是_______.【答案】①②④ ( 210 2 280 S （ km ） O t （ h ） ) 考点6：一次函数的定义 例8、下列函数中，是一次函数的是（   B   ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（ C   ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、当__________时，函数是一次函数；【答案】 3、若函数是一次函数，则k的值为_________.【答案】 考点7：一次函数的图像 例9、若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（ B ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【同步练习】 1、在平面直角坐标系中，一次函数的图像不经过（   C ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、在平面直角坐标系中，直线不经过（   B ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、对于一次函数，下列结论正确的是（  D   ） A、函数图象经过点（1，） B、函数图象与y轴的交点坐标是（0，8） C、函数的图象不经过第一象限 D、函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 4、已知一次函数，若，则该函数图象一定经过（  B   ） A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限 5、若，则一次函数的图象大致是（  D   ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 6、已知，则一次函数和在同一坐标系内的图象可能是（ C   ） ( y x O ) ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 7、如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（  D  ） A、 B、 C、 D、 8、已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象大致是（ C  ） ( y x A O y x B O y x C O y x D O ) 考点8：一次函数的性质 例10、在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（ A    ） A、（0，） B、（0，4） C、（0，） D、（0，2） 【同步练习】 1、在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与x轴的交点为（  B  ） A、（0，） B、（3，0） C、（，0） D、（0，0） 2、将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（ C   ） A、 B、 C、 D、 3、已知点A（a，），点B（，）都在直线上，则，的大小关系（  B ） A、 B、 C、 D、无法确定 4、已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　A　） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5、已知点（，）和（4，）都在直线上，若，则k的取值范围是（ C    ） A、 B、 C、 D、 6、若点A（，），B（，），C（，4）在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ A  ） A、 B、 C、 D、 考点9：求一次函数的表达式 例11、已知与成正比例，当时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点P（，）在该函数图象上，求m的值。 【详解】（1）解：设函数关系式为 ∵当时， ∴ 所以， 把代入得， 故函数关系式为． （2）解：将点P（，）代入 得 解得 【同步练习】 1、已知y和成正比，当时， （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值。 【详解】（1）解：由题意设y与x的函数关系式为 把当时，代入得 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时， ∴y的值为． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握知识点的应用是解题的关键。 2、已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时， （1）求该一次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的值。 【详解】（1）设 将时，；当时，代入，得： ，解得： ∴一次函数的表达式为； （2）令，则，解得： ∴自变量x的值为6． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．一次函数图象上点的坐标特征。 3、已知关于x的一次函数 （1）若函数的图象经过原点，求m的值； （2）若函数的图象与一次函数图像平行，求m的值； （3）若函数的图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围。 【详解】（1）解：由题意知函数为一次函数，可知，即 ∵函数图象经过原点 ∴ 解得； （2）解：根据题意得， 解得； （3）解：∵函数的图象经过第一、二、三象限 ∴ 解得， ∵函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，解得 综上，． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想。 例12、如图，已知直线AB与CD：交于点E（，4），且点A的坐标为（，0） （1）求直线AB的表达式及点B的坐标； （2）求的面积； （3）点P是y轴上一点，且满足，求点P的坐标. ( )【详解】（1）解：设直线AB的表达式为，把A（，0）和E（，4）代入得， ( x A B D E y C O )，解得 ∴直线AB的表达式为． 把代入，得： ∴B（0，6）； （2）解：把代入，得 ∴D（0，3）． 把代入，得，解得 ∴C（3，0）． ∴ ∴； （3）解：设P（0，m），则 ∵ ∴．解得或． ∴点P的坐标为（0，1）或（0，5）． 【点评】本题考查一次函数的表达式求解、三角形面积的坐标法计算及坐标与图形的性质，关键是通过待定系数法确定函数解析式，结合坐标特征计算面积，再利用面积相等建立方程求解点的坐标。 【同步练习】 1、在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上。 （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标__________； （2）判断的形状并求的周长； （3）若点P为x轴上一动点，直接写出当最大时，点P的坐标为_______. 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为（3，）； ( O A B C y x 2 4 1 -2 -4 - 1 - 3 - 5 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 3 5 1 3 5 2 4 ) （2）解：由图得，， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴的周长； （3）解：根据三角形三边关系，在中，，当点P在直线AB上时，最大，此时点P是直线AB与x轴的交点 设直线AB的解析式为： 将A（2，4）、B（1，1）代入得，，解得 ∴直线AB的解析式为： 令，得，解得 ∴点P的坐标为． 2、如图，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0），B（0，b），且a，b满足 ( 备用图 x O A y B x O A y B ) （1）直接写出______，______； （2）若射线AB上有一动点P的横坐标为t，且，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，坐标平面内另有一点M（2，m），其中m的倒数是它本身。现将直线AB向下平移n个单位后恰好经过点M，求n的值。 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，． （2）解∵， ∴A（，0），B（0，2） 设直线AB的函数表达式为，将点A（，0），B（0，2）代入， 得，解得 ∴直线AB的函数表达式为 ∵点P是横坐标为t ∴点 如图1，当点P在第一象限时， ( x O A y B P 图 1 ) ∵ ∴，解得 ∴P（2，3）； 如图2，当点P在第二象限时， ( 图2 x O A y B P ) ∵， ∴，解得， ∴P（，） 综上所述，点P的坐标为（2，3）或（，）． （3）由（2）知直线AB的函数表达式为， 将直线AB向下平移n个单位后的直线的表达式为：． ∵平移后的直线过点M（2，m） ∴ ∴，即 又∵m的倒数是它本身 ∴ ∴或，即n的值为2或4． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键掌握一次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合，进行解答，即可。 3、如图，已知直线与直线相交于点A（a，1），交x轴于点B（，0），交y轴于点C （1）求直线BC的表达式； （2）求的面积； （3）点P是直线BC上的一个动点，且，求点P的坐标。 【详解】（1）解：∵把点A（a，1）代入直线，得， ∴ ∴点A的坐标为（，1）， ( x O A y B C )∵B（，0），A（，1）都在上， ∴，解得 ∴直线BC的表达式为． （2）解：∵直线BC的表达式为， ∴当时， ∴点C的坐标为（0，3） ∵A（，1）． ∴ 即的面积为3． （3）解：∵， ∴ ∵B（，0） ∴ 设，则 解得：或 ∴点P的坐标为（1，4）或（，）． 【点评】（1）把点A（a，1）代入直线，可求出点A的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可。 4、如图，直线与x轴、y轴分别交于点D、A，直线与x轴y轴分别交于点C、B，两直线相交于点P（1，b） （1）求b，m的值； （2）求的值； （3）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点M，N，若线段MN的长为2，求a的值； （4）在y轴上存在点Q，使得的值最小，则最小值是_____. 【详解】（1）解：∵点P（1，b）在直线上 ( B 1 D b x y P O A C 1 )∴ ∵点P（1，3）在直线上 ∴ ∴； （2）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点D，A ∴，A（1，0） ∵直线与x轴、y轴分别交于点C，B ∴C（4，0），B（0，4） ∴； （3）解：当时，；当时， ∵ ∴，解得或； （4）解：作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q ∵C（4，0） ∴（，0） 此时，的值最小，则最小值是 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、轴对称的性质以及三角形的面积。 例13、通过AI与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性。某AI快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙。现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示。 （1）乙机器人分拣包裹的速度是__________个/分，11分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差__________个； （2）求乙分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系式； （3）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的50%，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间； （4）直接写出12分钟之后，在分拣过程中，两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间。 【详解】（1）解：由函数图象可得乙机器人分拣包裹的速度是（个/分）， 则11分钟时，乙机器人分拣的包裹数量为（个） 甲机器人在12分钟前的分拣速度为（个/分）， 则11分钟时，甲机器人分拣的包裹数量为（个）， ( 甲 56 O 12 6 960 3000 y / 个 x / 分 乙 )∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相差（个）； 故答案为：60；580； （2）解：设， 由题可知过（6，0）和（56，3000） ∴，解得 乙分拣包裹数量y与工作时间x的关系式； （3）解：由（1）知，甲机器人视觉系统识别异常前，分拣包裹的速度是80个/分 则甲机器人视觉系统识别异常后，分拣包裹的速度是（个/分） 所以12分钟后，甲机器人分拣包裹数量y与工作时间x的关系式 设甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为x分， 则 解得， ∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42分钟． （4）解：当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， ∴ ∴整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间为 分钟． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键。 【同步练习】我国新能源汽车总销量连续十年保持全球第一，新能源汽车已进入家家户户、元旦假期，小王和小叶分别驾车从景德镇同时出发，前往武汉市。小王驾驶油车，小叶驾驶新能源汽车，途经休息区时小叶给新能源汽车充电1小时后再出发，出发后为了赶上小王加速行驶，而小王没有进入休息区休息继续原速行驶，结果小叶比小王早到达武汉0.5小时，小王、小叶两人离各自出发地的路程y（千米）与出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小叶休息前的速度和小王的速度； （2）求加速后小叶离出发地的路程y与出发的时间x之间的函数关系式； （3）请你直接写出出发多少小时两人相距30千米。 【详解】（1）解：由函数图象可知，小叶休息前的函数图象经过A（2，150），小王的函数图象经过B（2.5，150） ∴小叶休息前速度：，小王速度：； （2）解：设加速后小叶离出发地的路程y与出发的时间x之间的函数关系式为 由函数图象可知函数关系式经过E，C（4.5，300） ∵小叶给新能源汽车充电1小时后再出发 ( 2 A B C D E F 2.5 O 150 300 y / 千米 x / 小时 )∴E（3，150） ∴ 解得： ∴； （3）解：小叶休息前： ∵两人相距30千米 ∴，解得：； 小叶休息后再次出发前：，解得：； 小叶再次出发后：，解得：； 即出发小时或3小时或小时两人相距30千米． 【点评】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用。 （1）分别用A、B点坐标计算即可； （2）设加速后小叶离出发地的路程y与出发的时间x之间的函数关系式为，将E（3，150），C（4.5，300）代入求解即可； （3）分三种情况列方程求解即可。 ( 探究应用 ) 1、如图，直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（，3），B（，），C（1，），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（  A  ） A、（，2） B、（1，2） C、（1，） D、（0，1） ( y 探究应用 1 图 A B D x C O 1 - 2 O A 3 y 探究应用 2 图 A 1 A 2 A 4 A 5 A 6 A 7 - 1 - 3 2 3 4 5 A 1 y 探究应用 3 图 A B x O B 1 A 2 B 2 ) 2、如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点（1，1），（1，），（2，0），（2，）按照此规律，则点的坐标为（  C  ） A、（2024，） B、（2026，） C、（1013，） D、（1012，） 3、如图，中的OB与x轴重合，，将绕原点O顺时针旋转后得到，将绕原点O顺时针旋转得到……，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（  A ） A、（0，） B、（0，2） C、（，2） D、（1，） 4、如图，点（2，2）在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    B ） A、 B、 C、 D、 5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为（，0），以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（  C   ） A、 B、 C、 D、 ( A 3 y 探究应用 4 图 x O A 2 A 1 B 3 B 2 B 1 C 3 C 2 C 1 l A 3 y 探究应用 5 图 x O A 2 A 1 B 3 B 2 B 1 B 4 A 4 - 2 A ′ y 探究应用 6 图 x O 4 2 ) 6、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点（，4）。若点A与点关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　C　） A、 B、 C、 D、 7、已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则k、b的值依次为（  C   ） A、、2 B、2、 C、、 D、、3 8、如图，在平面直角坐标系中，点，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______；【答案】（，） ( A A 3 y 探究应用 8 图 x A 2 A 1 B 3 B 2 B 1 l 1 A 4 A 5 O A 3 y 探究应用 9 图 x A 2 l 2 C A y 探究应用 10 图 x B O ) 9、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数和的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的坐标为_____. 【答案】（，） 10、如图，在中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，2）和（5，3）.则当的周长最小时，m的值为________；【答案】2 11、【综合与实践】类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。 【特例感知】观察下列等式：， （1）根据上述特征，计算：； 【尝试类比】 （2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设的面积为.①_____；②求的值。 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：当时，，则 当时，，解得， ∴ ∵m为正整数， ∴， ∴ ①当时， 故答案为：； ②解：∵， ∴ ∴的值为． 【点评】本题考查了分式的加减运算，直线与坐标轴的交点，将分式正确的进行拆分是解题的关键。 华东师大版第16章《函数及其图象》章节考点专题复习清单（原卷版）——————第 20 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $