垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图与证明综合问题专项训练 2026年中考数学一轮复习

垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图与证明综合问题专项训练 垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图与证明综合问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的尺规作图与证明综合问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·贵州黔东南·一模）下面是小星同学的尺规作图步骤：（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点；（）画射线；（）连接．根据上面的作图方法，下列结论错误的是（    ） A． B． C．直线是线段的垂直平分线 D．是线段的垂直平分线 例3．（2026·湖北孝感·一模）如图，，在上，．分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 例4．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，、相交于点，点为所在直线上一点．连接、，若，则的周长为______． 例5．（2026·四川南充·一模）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________． 例6．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 变式1．（2026·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，已知，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在两侧分别交于、两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖南邵阳·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·西藏·一模）如图，在中，，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，该直线交于点D，交于点E，连接； （2）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H，分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交于点F． 若，则_______ °． 变式5．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 变式6．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 考点二 垂直平分线的尺规作图与证明综合问题 例1．（2026·广东深圳·一模）在中，为上一点，以为圆心，为半径的交于另一点的垂直平分线交于，交于点 (1)利用圆规和无刻度直尺，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）； (2)连接，求证：是的切线； (3)当四边形为矩形时，若，求弧的长度？ 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）下面是尺规作图作矩形的一种方法： 第一步：在中，，分别以点，为圆心，以大于 为半径作弧，两弧相交于 ，两点，作直线交于点； 第二步：连接并延长，在的延长线上截取，使得； 第三步：连接，，则四边形就是所求作的矩形． (1)尺规作图的“第一步”中，与的数量关系为 ； (2)求证：四边形是矩形． 例3．（2026·河南平顶山·一模）如图，在四边形中，，，连接． (1)将四边形翻折，使点A与点C重合，折痕分别与边，交于点E，F，请用无刻度的直尺和圆规作出折痕，连接，（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 例4．（2026·山西吕梁·一模）如图，已知在中，． (1)利用尺规作图，在边上确定一点，使得点到点和点的距离相等(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求证：是等边三角形． 变式1．（2026·浙江舟山·一模）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形． 小亮的作法：如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形． (1)判断小亮的作法是否正确，并说明理由； (2)小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）． 变式2．（2026·河南信阳·一模）如图，矩形中，． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，与，，交于点，，； (2)点在上，点在上，，连接，，求证：四边形是正方形； (3)若，，直接写出四边形的周长． 变式3．（2026·广东中山·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，分别交于点、；（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的周长． 变式4．（2026·甘肃·模拟预测）如图，已知． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图与证明综合问题专项训练 垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图与证明综合问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的尺规作图与证明综合问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 例2．（2026·贵州黔东南·一模）下面是小星同学的尺规作图步骤：（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点；（）画射线；（）连接．根据上面的作图方法，下列结论错误的是（    ） A． B． C．直线是线段的垂直平分线 D．是线段的垂直平分线 【答案】D 【详解】解：由作图可知，，， ∵， ∴，故选项正确，不合题意； ∵， ∴，故选项正确，不合题意； ∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项正确，不合题意； 由作图无法得知，， ∴不能确定点是否在线段的垂直平分线上， ∴不一定是线段的垂直平分线，故选项错误，符合题意． 例3．（2026·湖北孝感·一模）如图，，在上，．分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知， 是等边三角形， ， 又， 是的垂直平分线， ，， 在中，， ． 例4．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，、相交于点，点为所在直线上一点．连接、，若，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 例5．（2026·四川南充·一模）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 例6．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 【答案】/90度 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 变式1．（2026·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，已知，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在两侧分别交于、两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过点作交于点，如下图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 变式2．（2026·湖南邵阳·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 变式3．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 变式4．（2026·西藏·一模）如图，在中，，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，该直线交于点D，交于点E，连接； （2）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H，分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交于点F． 若，则_______ °． 【答案】15 【详解】解：由作图得：垂直平分平分， ∴， ∴， ∴． 变式5．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式6．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图， 由题可知，垂直平分， 设交于点G，则， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 考点二 垂直平分线的尺规作图与证明综合问题 例1．（2026·广东深圳·一模）在中，为上一点，以为圆心，为半径的交于另一点的垂直平分线交于，交于点 (1)利用圆规和无刻度直尺，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）； (2)连接，求证：是的切线； (3)当四边形为矩形时，若，求弧的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于，交于点，如图， 为线段的垂直平分线； （2）证明：连接， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：当四边形为矩形时，如图， 四边形为矩形， ， ∴， 为线段的垂直平分线， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 劣弧的长度． 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）下面是尺规作图作矩形的一种方法： 第一步：在中，，分别以点，为圆心，以大于 为半径作弧，两弧相交于 ，两点，作直线交于点； 第二步：连接并延长，在的延长线上截取，使得； 第三步：连接，，则四边形就是所求作的矩形． (1)尺规作图的“第一步”中，与的数量关系为 ； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意可知，是线段的垂直平分线， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 例3．（2026·河南平顶山·一模）如图，在四边形中，，，连接． (1)将四边形翻折，使点A与点C重合，折痕分别与边，交于点E，F，请用无刻度的直尺和圆规作出折痕，连接，（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：由翻折可知，折痕是线段的垂直平分线， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是菱形． 例4．（2026·山西吕梁·一模）如图，已知在中，． (1)利用尺规作图，在边上确定一点，使得点到点和点的距离相等(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见详解 【详解】（1）解：如图，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，交于点，点即为所求． （2）证明：，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 是等边三角形． 变式1．（2026·浙江舟山·一模）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形． 小亮的作法：如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形． (1)判断小亮的作法是否正确，并说明理由； (2)小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)小亮的作法正确，理由见解析； (2)小丽的作法错误；见解析． 【详解】（1）解：小亮的作法正确，理由如下： 设与交于点． 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 四边形是平行四边形， ∴，即． ， ∴， ∴， ∴ 四边形是菱形； （2）解：作图如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明是菱形， ∴小丽的作法不正确． 变式2．（2026·河南信阳·一模）如图，矩形中，． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，与，，交于点，，； (2)点在上，点在上，，连接，，求证：四边形是正方形； (3)若，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接，， ∵垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形； （3）解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的周长． 变式3．（2026·广东中山·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，分别交于点、；（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长:． 【详解】（1）如图所示，为所求作的直线， （2）如图，连接，， ∵垂直平分于点，交于点、， ∴，， ∵矩形，，， ∴，，． ∵设，， ∴，． ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴菱形的周长为． 变式4．（2026·甘肃·模拟预测）如图，已知． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）证明：由垂直平分线的性质可得， ， 又是的一个外角， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $