角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题 专项训练 考点目录 角平分线的判定与性质 垂直平分线的判定与性质 角平分线与垂直平分线作图问题 考点一 角平分线的判定与性质 例1.(2025·福建泉州二模)如图，OC平分∠A0B,点P是0C上一点，PM⊥0B于点M,点N是射线OA上的 一个动点.若0M=4,OP=5,则PN的最小值为() M B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【详解】解：~PM⊥0B于点M,OM=4,OP=5, 六PM=V52-42=3, 当PN⊥OA时，PN的值最小， 0C平分∠AOB,PM⊥OB, 2.PM PN PM=3, ∴PN的最小值为3. 故选：B. 例2.(2026陕西西安.一模)如图，在ABC中，∠C=60°，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.若 DE=3,则CD的长为() D 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 A.25 B.3V5 C.5 D.6 【答案】A 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AC于点F, B AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,DE=3, DF DE =3, ∠C=60°， .∠CDF=90°-∠C=30°， ∴CD=2CF, ∴DF=VCD2-CF2=√3CF, V3CF=3,即CF=V3, ∴CD=2CF=2V5. 故选：A 例3.(2026云南模拟预测)如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,BC于点M, N,再分别以点M,N为圆心，大于二MN的长为半径画弧，两弧相交于点O,作射线BO交边AC于点D,过点 D作DE⊥BC于点E,若DE=2,AB=4,则△ABD的面积为() D A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F, 2 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 B 由题意可知：BD平分∠ABC, DE⊥BC,DF⊥AB, ·DF=DE=2, 5.m DF-x4x24. 2 故选：B. 例4.(2025宁夏银川模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB,BC于点D,E;分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在LCBA内交于点F;作射线BF交 AC于点G,点P为线段AB上的一个动点，连接GP.若CG=I,则线段GP长度的最小值是 G B 【答案】1 【详解】解：由垂线段最短可知，当GP⊥AB时，线段GP的值最小， 由作图可知，BG平分∠CBA, ~GP⊥AB,∠C=90°，即GC⊥BC,且CG=1, ∴GP=CG=1, 线段GP长度的最小值是1， 故答案为：1. 例5.(2025四川内江·三模)如图，以矩形ABCD的顶点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC及BC的延 长线于点E,F,再分别以点E,F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点H,作射线CH交AD的延长 线于点G.若BC=3,AB=4,则DG= D G 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 【答案】2 【详解】解：过点G作GM⊥BC,GN⊥AC,垂足分别为点M和N,则∠GMC=90°， B 由题意可知，CG平分∠ACF, ..GM =GN ~四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=CD=4,BC=AD=3, :∴.AC=VAB2+BC2=5,∠DCM=∠CDG=∠GMC=90°， ∴四边形CMGD是矩形， :GM =GN=CD=4, S..co-1AC-GN=-CD-AG, 2 2 ÷AG=4C-GN=5x4-5, CD 4 DG=AG-AD=5-3=2, 故答案为：2. 例6.(2025湖南·模拟预测)如图，在BA,CA上分别截取线段AE,AF,使得AE=AF;分别以点E,F为圆心，大 于EF的长为半径画弧，两弧交于点D,作射线AD,连接BD,CD,若∠ACD=145°，∠BCD=35°，则∠ADB的 度数为 D E B 【答案】55°55度 【详解】解：如图，过点D作DM L AC交AC的延长线于点M,作DN⊥AB交AB的延长线于点N,作 DG⊥BC交BC于G. 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 C B 由作图得AD是∠BAC的平分线， :.DM DN ∠ACD=145°，∠BCD=35°， .∠ACB=145°-35°=110°，∠DCM=180°-145°=35°， ∴LDCM=∠BCD,即CD平分LBCM. DM⊥CM,DG⊥BC, :.DM =DG. .DG=DN DG⊥BC,DN⊥BN, BD平分∠CBN. ÷∠ADB=∠DBN-∠BAD=∠CBN-∠BAC=∠ACB=xIIO°=55°： 2 2 故答案为：55° 变式1.(2025北京模拟预测)如图，在ABC中，LABC=90°，∠C=30°，BC=6,以点A为圆心，以AB的 长为半径作弧交4C于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大于2BD的长为半径作弧，两弧交于点P,作 射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论：①△ABD是等边三角形；②DE垂直平分线段AC;③BE=DE=2 ；④AB=3.其中错误的个数是() A D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【详解】解：：在ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°， :∠A=60°， 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 由作图可知，AB=AD, :△ABD是等边三角形，故①正确： 由作图可知AE平分∠BAC, :∠BAE=∠DAE=30°， AB=AD,AE=AE, :△ABE≌△ADE(SAS), :∠ADE=∠ABC=90°， :∠C=∠DAE=30°， :AE=CE, 又：∠ADE=90°， :DE垂直平分线段AC,故②正确； 设BE=DE=x,则AE=CE=6-x, ∠BAE=30°， BE=E,即x=6-, 2 解得：x=2, :BE=DE=2,故③正确； ：AE=6-2=4, 在Rt△ABE中，AB=√AE2-BE2=V42-22=2V5,故④错误： 故选：A. 变式2.(2025天津.一模)如图，已知∠A0B,以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E,交OB于点F, 分别以点E,F为圆心，大于二EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P,点T在射线OP上，过点T 2 作TM⊥OA,TN⊥OB,垂足分别为点M,N,点G,H分别在OA,OB边上，TG=TH.若OM=3,则 0G+0H的值为() M A G KP 9 15 A. B.6 C. 2 D.9 2 6 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 【答案】B 【详解】解：根据题意，可知OP平分∠AOB, TM⊥OA,TN⊥OB, TM=TN,∠TM0=∠TN0=∠TNH=90°， 0T=0T, ∴Rt△OTM≌Rt△OTN(HL), 0M=0N=3, TG=TH, ∴Rt△MTG≌Rt△NTH(HL), ∴MG=NH, :.0G+0H=0M-MG+ON+NH=OM+0N=6. 故选：B. 变式3.(2025·甘肃武威模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,以B为圆心，以小于BC长 度的任意长为半径作弧，分别与边BC,BA交于点M,N.分别以点M,N为圆心，大于2MN长为半径作弧，两 弧交于点P,作射线BP,交AC于点D,则AD的长为() M 3 A. B. 5 C.2 2 2 D.5 【答案】B 【详解】解：过点D作DE⊥AB,垂足为E,则LAED=90°， E M 由题意得，BD平分∠ABC, ∠C=90°，则DC⊥BC, ∴CD=ED, > 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 在RtABDC和Rt△BDE中， BD=BD DC=DE' ·.RtABDC≌Rt△BDE(HL), BC=BE=3, ∠C=90°，BC=3,AC=4, ·AB=VBC2+AC2=5, AE AB-BE =2, 设AD=x,则CD=AC-AD=4-x=DE, AE2+DE2=AD2, 22+4-x2=x2, 解得x= 2 0 故选：B. 变式4.(2025·山东德州模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,AC=4, AD=5,则点D到AB的距离为 B D 【答案】3 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, B D C ∠C=90°，AC=4,AD=5, ∴DC⊥AC,DC=VAD2-AC2=V52-42=3, AD平分∠BAC, ..DE =DC=3, 即点D到AB的距离为3， 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 故答案为：3. 变式5.(2025·贵州遵义一模)如图，在四边形ABCD中，连接AC,AD=CD,∠BAC=∠BCD=2∠DCA=45°.若 AB=2,则△4DC的面积为 B 【答案】√2+1/1+√2 【详解】解：过C作CE⊥AB交AB的延长线于E,根据∠BAC=∠BCD=2LDCA=45°， 得等腰RtAACE,AC=VAE2+CE2=√2CE, 2a D M 6 E 由条件可知LDCA=∠BCA=∠BCE=22.5°， 则CB平分∠ACE, 过点B作BM⊥AC于点M, BC平分∠ACE, :.EB MB, S.ABC=AB 1 AC.BM AC S.BCE BE 1 BE-EC CE AB_AC=, BE CE 把AB=2代入得BE=√2， ∴CE=AE=2+V2. 过C作CF⊥AD交延长线于F, 由AD=CD,LDCA=22.5°， 得等腰Rt△CDF, 设CF=DF=a,则AD=CD=√2a, 根据勾股定理，得AF2+CF2=AE2+CE2,即(V2a+a+a2=22+2), 解得a2=√2+2. 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 nc的面积为0：F-分a号。-，2=51. 故答案为：√2+1. 变式6.(2025·湖北武汉模拟预测)如图，等腰ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一点，过D作AB的垂线， 垂足为E,DE、AC交于点F.若DE=AB,BE=m,DF=n,则AF的长为 (用含m、n的式 子表示) E D 【答案】m+n/n+m 【详解】解：过点A作AG‖BD,截取AG=BD,连接DG,则四边形ABDG是平行四边形 A G E B D AB=DG,AB∥DG, DE⊥AB, ∠GDE=∠BED=∠AED=90°， 过点G作GM⊥AB交BA延长线于点M,则∠M=90°， 四边形MEDG是矩形， :MG=DE=AB, AGIBD, ∴∠MAG=LEBD ∠M=∠BED=90° AAMG≌△BED(AAS), ∴.AM=BE=m, :.AB=EM, 10角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线与垂直平分线作图问题专项训练 考点目录 角平分线的判定与性质 垂直平分线的判定与性质 角平分线与垂直平分线作图问题 考点一 角平分线的判定与性质 例1．（2025·福建泉州·二模）如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 例3．（2026·云南·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 例4．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ． 例5．（2025·四川内江·三模）如图，以矩形的顶点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交及的延长线于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交的延长线于点G．若，，则 例6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为 ． 变式1．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 变式3．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，，，以B为圆心，以小于长度的任意长为半径作弧，分别与边，交于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点D，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 变式4．（2025·山东德州·模拟预测）如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 ． 变式5．（2025·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，连接，．若，则的面积为 ． 变式6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，等腰中，，D为延长线上一点，过D作的垂线，垂足为E，交于点F．若，则的长为 ． ( 用含m、n 的式子表示) 考点二 垂直平分线的判定与性质 例1．（2024·海南·三模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点、；②作直线交于点． 若，，，则的面积等于（   ） A．15 B．12 C．14 D．28 例2．（2026·湖南邵阳·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别交边，于点，． 若，，则线段的长为 ． 例5．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 ． 例6．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，的中垂线分别交于点E，F． （1）若，，则 ； （2）若，，则 （用含m，n的代数式表示）． 变式1．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·天津·一模）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接，交于点H，以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接，若，则（　　）． A． B． C． D． 变式3．（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 变式4．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    变式5．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，D为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为19，，则的长为 ． 变式6．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分．若，，则的长为 ． 考点三 角平分线与垂直平分线作图问题 例1．（2026·广东中山·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，分别交于点、；（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的周长． 例2．（2024·福建泉州·二模）如图，中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的周长． 例3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． (1)画出，点C在方格纸上的格点上，的面积为18且； (2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出平分线，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线） (3)直接写出的值． 变式1．（2025·福建福州·模拟预测）尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． (1)连接，根据作图痕迹，请说明平分． (2)如图2，用尺规作图法在上确定点（画出作图痕迹），使得，连接．求证：四边形是菱形． 变式2．（2025·山东青岛·二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：平行四边形，使得点在边上，且为的一半． 变式3．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点； (2)作直线交于点，连接，若，，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $