根据分式方程解的情况求参数、解分式方程、分式方程的实际应用复习讲义-2026届中考数学一轮复习高频考点复习讲义

根据分式方程解的情况求参数、解分式方程、分式方程的实际应用复习讲义 根据分式方程解的情况求参数、解分式方程、分式方程的实际应用复习讲义 考点目录 根据分式方程解的情况求参数 解分式方程 分式方程的实际应用 知识点解析 一、核心原理：将分式方程转化为整式方程求解，依托等式性质去分母，结合增根存在条件（分母为0）、实际意义约束解的有效性，分纯计算、参数求解、实际应用三类突破。 二、根据分式方程解的情况求参数 解题思路（四步法，核心抓“解的限定+增根”） 1. 去分母：方程两边乘最简公分母，化为整式方程，用参数表示出整式方程的解（如，为参数）； 1. 定限定条件：根据题意列解的约束（解为正/负/非零/某定值，或方程无解/有增根）； 1. 列不等式/等式： · 解的符号/定值：直接对整式解列不等式/等式； · 有增根：令最简公分母=0，求增根，代入整式方程求参数； · 无解：整式方程无解 或 整式方程的解为增根，分情况求参数； 1. 验参数：排除使原方程分母为0的参数值，确定最终范围。 关键：增根是整式方程的解但使原分母为0，无解需分“整式无解+解为增根”两类。 三、解分式方程 解题思路（五步法，核心“去分母转整式+验根”） 1. 找公分母：确定各分母的最简公分母（系数取最小公倍数，因式取最高次）； 1. 去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为一元一次/二次整式方程； 1. 解整式方程：用整式方程解法求根； 1. 验根：将解代入最简公分母，若分母≠0则为原方程解，若=0则为增根，舍去； 1. 写结论：写出原方程的解（无解答：原方程无解）。 关键：验根是必步骤，不可省略；去分母时常数项也要乘公分母，勿漏乘。 四、分式方程的实际应用 解题思路（六步法，核心“建模+验根+验实际意义”） 1. 审：审清题意，找等量关系（如路程=速度×时间、工作总量=效率×时间）； 1. 设：设未知量（直接设所求量或间接设关键量），带单位； 1. 列：根据等量关系，列出分式方程（注意分母为含未知量的代数式，对应实际量的比值）； 1. 解：按分式方程解法，去分母化整式方程并求解； 1. 双验：① 验根：代入公分母，排除增根；② 验实际意义：解需符合实际（如速度/人数为正、时间不为负）； 1. 答：写出答案，带单位。 关键：找准等量关系是建模核心，双验缺一不可，避免增根或不符合实际的解。 五、注意事项 1. 去分母时，若分子是多项式，需加括号后再乘公分母，防止符号/系数错误； 1. 含参数问题，始终牢记“分母≠0”是前提，所有参数范围均需排除使分母为0的情况； 1. 实际应用中，常见模型为行程问题、工程问题、销售问题，熟记对应等量关系可快速建模。 真题速递 1．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 3．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为_______． 4．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 5．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 6．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 考点一 根据分式方程解的情况求参数 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 例2．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 例3．（2026·宁夏银川·一模）分式方程无解，则a的值为________． 例4．（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【变式训练】 变式1．（2025·四川眉山·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 变式2．（2025·广东广州·模拟预测）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 变式3．（2025·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为________． 变式4．（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为______． 考点二 解分式方程 【例题分析】 例1．（2026·广西玉林·一模）解方程：． 例2．（2026·陕西西安·二模）解下列方程：． 例3．（2026·甘肃天水·一模）解方程并检验： 例4．（2025·甘肃嘉峪关·二模）解方程：. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）解分式方程：． 变式2．（2026·陕西咸阳·一模）解方程：． 变式3．（2025·上海·模拟预测）解方程： 变式4．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 考点三 分式方程的实际应用 【例题分析】 例1．（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 例2．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 例3．（2026·河南郑州·模拟预测）为推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．用2500元购进乙种智能收纳桶的数量是用4000元购进甲种智能收纳桶数量的一半． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种智能收纳桶？ 例4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等． (1)求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ (2)该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元．设采购A型设备台，每月总获利为万元，求的最大值． 【变式训练】 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． (1)求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 变式2．（2026·湖南永州·一模）长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店．已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元． (1)求A产品和B产品的单价各是多少元？ (2)开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个．请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 变式3．（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 变式4．（2026·重庆·一模）年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $根据分式方程解的情况求参数、解分式方程、分式方程的实际应用复习讲义 根据分式方程解的情况求参数、解分式方程、分式方程的实际应用复习讲义 考点目录 根据分式方程解的情况求参数 解分式方程 分式方程的实际应用 知识点解析 一、核心原理：将分式方程转化为整式方程求解，依托等式性质去分母，结合增根存在条件（分母为0）、实际意义约束解的有效性，分纯计算、参数求解、实际应用三类突破。 二、根据分式方程解的情况求参数 解题思路（四步法，核心抓“解的限定+增根”） 1. 去分母：方程两边乘最简公分母，化为整式方程，用参数表示出整式方程的解（如，为参数）； 1. 定限定条件：根据题意列解的约束（解为正/负/非零/某定值，或方程无解/有增根）； 1. 列不等式/等式： · 解的符号/定值：直接对整式解列不等式/等式； · 有增根：令最简公分母=0，求增根，代入整式方程求参数； · 无解：整式方程无解 或 整式方程的解为增根，分情况求参数； 1. 验参数：排除使原方程分母为0的参数值，确定最终范围。 关键：增根是整式方程的解但使原分母为0，无解需分“整式无解+解为增根”两类。 三、解分式方程 解题思路（五步法，核心“去分母转整式+验根”） 1. 找公分母：确定各分母的最简公分母（系数取最小公倍数，因式取最高次）； 1. 去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为一元一次/二次整式方程； 1. 解整式方程：用整式方程解法求根； 1. 验根：将解代入最简公分母，若分母≠0则为原方程解，若=0则为增根，舍去； 1. 写结论：写出原方程的解（无解答：原方程无解）。 关键：验根是必步骤，不可省略；去分母时常数项也要乘公分母，勿漏乘。 四、分式方程的实际应用 解题思路（六步法，核心“建模+验根+验实际意义”） 1. 审：审清题意，找等量关系（如路程=速度×时间、工作总量=效率×时间）； 1. 设：设未知量（直接设所求量或间接设关键量），带单位； 1. 列：根据等量关系，列出分式方程（注意分母为含未知量的代数式，对应实际量的比值）； 1. 解：按分式方程解法，去分母化整式方程并求解； 1. 双验：① 验根：代入公分母，排除增根；② 验实际意义：解需符合实际（如速度/人数为正、时间不为负）； 1. 答：写出答案，带单位。 关键：找准等量关系是建模核心，双验缺一不可，避免增根或不符合实际的解。 五、注意事项 1. 去分母时，若分子是多项式，需加括号后再乘公分母，防止符号/系数错误； 1. 含参数问题，始终牢记“分母≠0”是前提，所有参数范围均需排除使分母为0的情况； 1. 实际应用中，常见模型为行程问题、工程问题、销售问题，熟记对应等量关系可快速建模。 真题速递 1．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为_______． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 4．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 【答案】 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 5．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 6．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 考点一 根据分式方程解的情况求参数 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数， ∴，即，解得， 综上，实数m的取值范围是且． 例2．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 例3．（2026·宁夏银川·一模）分式方程无解，则a的值为________． 【答案】7 【详解】解：原分式方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， ∵原分式方程无解， ∴，即是原分式方程的增根， 将代入整式方程，得 ， 解得：． 例4．（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 【变式训练】 变式1．（2025·四川眉山·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 变式2．（2025·广东广州·模拟预测）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 变式3．（2025·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为________． 【答案】或 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 变式4．（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为______． 【答案】 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 考点二 解分式方程 【例题分析】 例1．（2026·广西玉林·一模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 例2．（2026·陕西西安·二模）解下列方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解． 例3．（2026·甘肃天水·一模）解方程并检验： 【答案】，检验见解析 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：将代入原方程分母和，均不为0；将代入原方程分母和，均不为0； 故均为原方程的解． 例4．（2025·甘肃嘉峪关·二模）解方程：. 【答案】 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 【变式训练】 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）解分式方程：． 【答案】原方程无解 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 变式2．（2026·陕西咸阳·一模）解方程：． 【答案】 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 变式3．（2025·上海·模拟预测）解方程： 【答案】， 【详解】解：方程两边同时乘以得，，   整理，得 ， 化简，得， 解得，， 经检验、都是原方程的根， 所以原方程的根为，． 变式4．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【答案】 【详解】解：， 整理得， ∴， 去分母得， ∴， 则， ， 则， ∴． 经检验：都是原分式方程的解． ∴该分式方程的解为． 考点三 分式方程的实际应用 【例题分析】 例1．（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 【答案】(1) (2)每台机器人每天采茶40千克 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况． （千克）． 答：每台机器人每天采茶40千克． 例2．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 例3．（2026·河南郑州·模拟预测）为推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．用2500元购进乙种智能收纳桶的数量是用4000元购进甲种智能收纳桶数量的一半． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种智能收纳桶？ 【答案】(1)甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元； (2)社区最多可以购买20个乙种智能收纳桶． 【详解】（1）解：设甲种智能收纳桶的单价为元，则乙种智能收纳桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元； （2）解：设购买个乙种智能收纳桶，则购买个甲种智能收纳桶， 由题意得，， 解得， 的最大值为20， 答：社区最多可以购买20个乙种智能收纳桶． 例4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等． (1)求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ (2)该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元．设采购A型设备台，每月总获利为万元，求的最大值． 【答案】(1)每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元 (2)14.4万元 【详解】（1）解：设每台A型发酵设备的采购费用为万元，则每台B型发酵设备的采购费用为万元． 根据题意得：， 解得 检验：当时，，所以是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴每台B型发酵设备的采购费用（万元） 答：每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元． （2）解：根据题意得：， 解得， 由实际意义设备数量为非负整数，即：， ∴， ∴的取值范围是：（为整数）， 由题意知：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 答：w的最大值为14.4万元． 【变式训练】 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． (1)求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； (2)购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 【详解】（1）解：设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递， 根据题意得 ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义， ∴（件）， 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元， 根据题意得， 化简得， 解得， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵为整数， ∴的最小值为，此时最小值为：（万元）， 答：购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 变式2．（2026·湖南永州·一模）长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店．已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元． (1)求A产品和B产品的单价各是多少元？ (2)开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个．请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)A产品的单价是16元， B产品的单价是10元 (2)购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元 【详解】（1）解：设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：A产品的单价是16元， B产品的单价是10元； （2）解：设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意得： ， ∵A产品的数量不少于70个， ∴， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为1920， 答：购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元． 变式3．（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 【答案】该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 【详解】解：设第一批T恤每件的进价是元，则第二批T恤每件的进价是元， 由题可列，， 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际意义， ， 则该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 变式4．（2026·重庆·一模）年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 【答案】(1)该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； (2)该智慧大棚全年总销售额为元． 【详解】（1）解：设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个， 根据题意得， 解得：， 则， 答：该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； （2）解：设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则草莓售价为，草莓总产量为（千克），番茄总产量为（千克）， ∴总销售额为：（元）， 答：该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后总销售额为元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $