第02讲 分式方程及其应用（复习讲义，3考点+11题型+3重点）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式方程及其应用”专题，覆盖解分式方程、含参问题（增根、无解、解的范围）及实际应用（行程、工程、销售等）核心考点，构建“定义-解法-含参-应用”递进知识体系，通过考点解析、题型预测、真题训练等环节，帮助学生系统突破难点。 亮点在于“流程化解题”和“分类建模”策略，如解分式方程建立“找公分母-去分母-求解-验根”标准流程，含参问题分增根与无解两类模型，培养学生抽象能力与模型意识。设分层练习与跨学科题型，适配中考创新趋势，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第02讲 分式方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 5 03·考点解析·知识通关 7 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 解分式方程 题型01解分式方程中判断去分母是否正确 题型02解分式方程 命题点二 分式方程的解 题型01 已知分式方程的解正负求参数 题型02 已知分式方程增根或无解求参数 题型03 已知分式方程的整数解求参数 命题点三 分式方程的实际应用 题型01 列分式方程 题型02 分式方程实际应用之行程问题 题型03 分式方程实际应用之工程问题 题型04 分式方程实际应用之销售问题 题型05 分式方程实际应用之和差倍问题 题型06 分式方程实际应用之其它问题 05·重难突破·思维进阶 133 突破一 解分式方程中新定义类题型 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 突破三 分式方程中探究类题型 考点 课标要求 考法分析 解一元一次分式方程 学生要熟练掌握将分式方程化为一元一次方程的解题流程，包括找最简公分母(分母是多项式时需先因式分解)、去分母转化整式方程、解一元一次方程这几个关键步骤。同时明确验根的必要性，能通过最简公分母是否为0判断解的有效性，清楚增根产生的原因是去分母时最简公分母为0。 多以填空题、解答题形式出现，侧重考查解题步骤的完整性，验根是得分要点（如2025·江苏镇江卷，2025·湖北武汉卷等）；判断去分母的变形正误（基础送分题）：常以选择题形式考查去分母的步骤，考验对等式性质的掌握（如2025·广东卷，2025·湖南卷）。 分式方程的解 ①掌握解的求解与检验方法：学生要能熟练将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解后，通过代入最简公分母检验该解是否为原分式方程的有效解，清晰辨别增根，明确增根是使最简公分母为0的根，且增根不是原分式方程的解。 ②会根据解的条件求参数：能结合分式方程的解的特殊限制条件，如正整数解、负数解等，求解方程中参数的取值范围；同时能准确区分分式方程无解的两种情况，即整式方程本身无解，或是整式方程的解为原分式方程的增根，进而求出对应参数的值。 直接求分式方程的解(基础必考题)：该考法侧重考查解题步骤的完整性，常以选择题、填空题或解答题的基础小题形式出现，验根是得分关键。 （2025·四川资阳卷、2025·浙江卷等）； 根据解的正负性等求参数范围(高频中档题)：此类题型需先解分式方程，再根据解的正负性、整数性等条件列不等式，同时兼顾分母不为0的限制，进而确定参数取值（2025·黑龙江卷、2025·四川眉山卷）；已知分式方程有解、无解、增根等条件求参数的取值范围（2025·黑龙江齐齐哈尔卷、2025·四川凉山卷等） 分式方程的实际应用 ①建模能力要求：能从工程、行程、销售、浓度等实际问题中，找出等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程。 ②求解与检验要求：熟练掌握分式方程的解法，严格按照“去分母→解整式方程→验根”的步骤求解； ③验根需兼顾双重要求：一是检验是否为增根(代入最简公分母),二是检验解是否符合实际意义(如时间、数量、单价不能为负数或零)。 多为解答题，难度中等。常考分式方程中行程问题（2025·山东淄博卷、2025·吉林长春卷等）；分式方程中经济类问题（2025·江苏盐城卷、2025·山东济南卷等）；分式方程中工程问题（2025·江苏常州卷、2025·广东广州卷等）；分式方程中其它类问题（2025·云南卷、2025·四川南充等）。 命题预测 命题趋势：基础核心稳守，情境与综合双升 核心考点聚焦分式方程的求解、含参问题及实际应用，题型分布稳定(选择、填空、解答题均有涉及),分值保持在10分左右，重点考查通分、因式分解、验根等基本功，且验根、避免去分母漏乘等细节仍是主要失分点筛查方向。同时命题呈现两大升级：一是应用情境创新，紧密结合生态保护、绿色经济、购物消费等社会热点与生活实际，部分融入地方特色或跨学科素材(如物理行程、化学浓度),题干信息更复杂，侧重建模能力考查；二是综合难度提升，含参问题(增根、无解、解的范围限定)成为中档拉分题，且常与不等式组、函数等知识融合，开放探究型题目(自编应用题、参数探究)有所增加，凸显素养导向。 备考建议：流程化夯实基础，靶向性突破难点 一方面，建立标准化解题流程，解分式方程严格遵循“因式分解找公分母→去分母化整式方程→求解→双重验根(公分母非零+实际意义)”,每天强化基础题训练，重点攻克去分母漏乘、约分不分解因式等高频错误，熟练掌握“根号2加减1“等常考根式的运算技巧。另一方面，靶向突破核心难点：分类总结含参问题解题模型(增根先求根再代整式方程，无解分整式方程无解与增根两类),针对行程、工程、销售三大应用题型提炼等量关系模板；额外练习热点情境题和开放探究题，梳理近3-5年本地真题规律，通过错题分类复盘(基础错误、建模错误、综合错误)强化薄弱点，适配命题创新趋势。 考点一 解分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有 叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：是分式方程；是整式方程。 2.核心解题思想 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为 求解。 3.增根的概念 增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为 ，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。 4.解分式方程步骤（以为例） 1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。 若分母是多项式，需先因式分解。 2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的 )，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘，得：） 3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。 本题展开：→移项得：。 4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验： ①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解； ②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。 本题把x=3代入x(x-1),得,故是原方程的解。 5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 4．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 考点二 根据分式方程增解的情况求参数 题型1：已知分式方程有增根，求参数 核心逻辑：增根的本质是使 的根，且是整式方程的解。 解题步骤 ①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根； ②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程； ③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。 题型2：已知分式方程无解，求参数 核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可： 情况1：整式方程的解是 (即解使最简公分母为0)； 情况2：整式方程本身 (仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。 解题步骤 ①去分母转化为整式方程； ②分两类讨论： ★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数； ★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数； ③整合两类情况的参数值。 1．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 4．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 考点三 已知分式方程解的正负求参数 解分式方程实际应用的一般思路 步骤 具体操作 关键注意事项 ①审题 标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系（如路程 = 速度 × 时间） 抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同” 等关键词，锁定等量关系 ②设未知数 ① 直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h） ② 间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x） 设未知数时要带单位 ③列分式方程 根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程 确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱 ④解方程 按照 “找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程” 的步骤求解 去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘 ⑤双重验根 ① 增根检验：将解代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去 ② 实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或 0） 双重验根是得分关键，缺一不可 ⑥作答 写出最终结论，带单位 结论要与题目所求一致，语言简洁规范 1．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 2．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 3．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 4．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 5．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 命题点一 解分式方程 ►题型01 解分式方程中判断去分母是否正确 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错点类型 具体表现 判断方法 漏乘常数项或整式项 只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项 检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘 最简公分母找错 1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母 2. 忽略分母间的公因式 分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母 符号处理失误 1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘 2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误 1. 遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号） 2. 分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号 错用 “约分” 代替去分母 直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构 去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母 忽略分母不为0 的前提 去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解 去分母是 “等价变形” 的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性 【典例】（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 解分式方程 快速避错口诀 ①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 【典例】（2025·四川成都·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【变式1】（2025·江苏·一模）解方程：； 【变式2】（2025·广东清远·三模）解方程：． 【变式3】（2025·青海西宁·一模）解分式方程：． 命题点二 分式方程的解 ►题型01 已知分式方程的解正负求参数 已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下： 一、 通用解题步骤（四步法） 去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b) 注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。 二、解整式方程，用参数表示解 把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数） 注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0： 若系数为 0 且常数项≠0 → 整式方程无解，原分式方程也无解； 若系数为 0 且常数项 = 0 → 整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。 三、列不等式，限制解的符号 若解为正数 → 列不等式：解大于0； 若解为负数 → 列不等式：解大于0； 解不等式，初步确定参数的取值范围。 四、排除增根，补充限制条件 增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3】（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【变式4】（2025·西藏日喀则·一模）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． ►题型02 已知分式方程增根或无解求参数 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 概念 本质特征 关键区别 增根 1.是去分母后整式方程的解 2.代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义） 增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解 无解 分式方程无解分两类情况： 1.整式方程的解都是增根 2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中 0⋅x=a，a=0时成立） 无解包含 “有增根导致无解” 和 “整式方程无解导致无解” 两种情况 【典例】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【变式2】（2025·四川自贡·二模）若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【变式3】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 ►题型03 已知分式方程的整数解求参数 高频易错点规避 1.忽略参数的限定条件 如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 规避：审题时圈画参数的限定词（如 “整数”“正整数”“负整数”）。 2.未排除增根直接求参数 只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 规避：步骤 4 是必做环节，增根一定要排除。 3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系 如解为且为整数→m+3必须是2的倍数，即 技巧：若 4.忽略整式方程无解的情况 当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 规避：先讨论系数是否为 0，再分析整数解条件。 【典例】（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组所有整数解的和为14，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【变式1】（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【变式2】（2025·重庆渝中·二模）关于的不等式组只有4个整数解，且关于的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【变式2】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式3】（2025·重庆渝北·一模）若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 命题点三 二元一次方程组的解 ►题型01 列分式方程 【典例】（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖北十堰·三模）汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． ►题型02 分式方程实际应用之行程问题 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 核心公式与等量关系 1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2.常见的等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 速度变化导致时间差 原时间−现时间=提前时间 现时间−原时间=推迟时间 提速后提前到达、减速后迟到 顺逆流 / 顺风逆风航行 顺流时间−逆流时间=时间差 或反之 轮船航行、飞机飞行 不同主体行驶同一路程 甲的时间−乙的时间=时间差 两人同时出发，一人先到 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（） 逆流速度=静水速度-水流速度（） 顺风/逆风同理 【典例】（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度． 【变式1】（2025·广东佛山·三模）年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点 电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲 求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值． 【变式2】（2025·浙江衢州·一模）年“有礼杯”衢州马拉松于月日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点米处因体力不支，最终以米分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题： (1)求a的值； (2)求图中线段对应的函数表达式； (3)求小聪休息前的速度． 【变式3】（2025·山西太原·二模）年低空经济的核心产业（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ ►题型03 分式方程实际应用之工程问题 分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 核心公式与等量关系 1.基本公式 工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单人效率变化 原工作时间−现工作时间=提前完成时间 提高效率后提前完工 多人合作 甲工作量+乙工作量=总工作量 合作效率=甲效率+乙效率 甲乙合作完成任务 分段工作 先做工作量+后做工作量=总工作量 先单独做，再合作做 【典例】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【变式1】（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【变式2】（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【变式3】（2025·甘肃武威·二模）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ ►题型04 分式方程实际应用之销售问题 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 核心公式与等量关系 1.基本公式：总价=单价×数量 变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单价变化导致数量差 原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数 降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数 用固定总价买商品，单价变化引发数量变化 两种商品单价对比 甲单价=k×乙单价（k为倍数） 甲购买数量=乙购买数量±差值 已知两种商品单价关系和数量差，求单价 总价相同的两种方案 方案一总价=方案二总价 不同单价和数量组合，总价相等 【典例】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【变式2】（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【变式3】（2025·河南南阳·三模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． 两种型号车的进货和销售价格如表： 型车 型车 进货价格/元 1000 1300 销售价格/元 今年的销售价格 1800 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ ►题型05 分式方程实际应用之和差倍问题 【典例】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【变式1】（2025·江苏·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【变式2】（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【变式3】（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． ►题型06 分式方程实际应用之其它问题 【典例】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【变式1】（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式2】（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 突破一 解分式方程中新定义类题型 【典例】（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【变式2】（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 【变式3】（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 【典例】（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【变式1】（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【变式2】（2025·重庆·一模）我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 突破三 分式方程中探究类题型 【典例】（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【变式1】（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【变式2】（2024·江西宜春·模拟预测）“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是，小汽车的速度为，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在内（不包含），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”． 问题思考与解决： (1)若， ①计算此时小汽车到斑马线的距离； ②若在点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度． (2)若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求的度数． （参考数据：，，） 【变式3】（2025·广东汕尾·二模）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产． 素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅． 素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元． 素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元． 问题解决： 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第02讲 分式方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 5 03·考点解析·知识通关 7 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 解分式方程 题型01解分式方程中判断去分母是否正确 题型02解分式方程 命题点二 分式方程的解 题型01 已知分式方程的解正负求参数 题型02 已知分式方程增根或无解求参数 题型03 已知分式方程的整数解求参数 命题点三 分式方程的实际应用 题型01 列分式方程 题型02 分式方程实际应用之行程问题 题型03 分式方程实际应用之工程问题 题型04 分式方程实际应用之销售问题 题型05 分式方程实际应用之和差倍问题 题型06 分式方程实际应用之其它问题 05·重难突破·思维进阶 133 突破一 解分式方程中新定义类题型 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 突破三 分式方程中探究类题型 考点 课标要求 考法分析 解一元一次分式方程 学生要熟练掌握将分式方程化为一元一次方程的解题流程，包括找最简公分母(分母是多项式时需先因式分解)、去分母转化整式方程、解一元一次方程这几个关键步骤。同时明确验根的必要性，能通过最简公分母是否为0判断解的有效性，清楚增根产生的原因是去分母时最简公分母为0。 多以填空题、解答题形式出现，侧重考查解题步骤的完整性，验根是得分要点（如2025·江苏镇江卷，2025·湖北武汉卷等）；判断去分母的变形正误（基础送分题）：常以选择题形式考查去分母的步骤，考验对等式性质的掌握（如2025·广东卷，2025·湖南卷）。 分式方程的解 ①掌握解的求解与检验方法：学生要能熟练将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解后，通过代入最简公分母检验该解是否为原分式方程的有效解，清晰辨别增根，明确增根是使最简公分母为0的根，且增根不是原分式方程的解。 ②会根据解的条件求参数：能结合分式方程的解的特殊限制条件，如正整数解、负数解等，求解方程中参数的取值范围；同时能准确区分分式方程无解的两种情况，即整式方程本身无解，或是整式方程的解为原分式方程的增根，进而求出对应参数的值。 直接求分式方程的解(基础必考题)：该考法侧重考查解题步骤的完整性，常以选择题、填空题或解答题的基础小题形式出现，验根是得分关键。 （2025·四川资阳卷、2025·浙江卷等）； 根据解的正负性等求参数范围(高频中档题)：此类题型需先解分式方程，再根据解的正负性、整数性等条件列不等式，同时兼顾分母不为0的限制，进而确定参数取值（2025·黑龙江卷、2025·四川眉山卷）；已知分式方程有解、无解、增根等条件求参数的取值范围（2025·黑龙江齐齐哈尔卷、2025·四川凉山卷等） 分式方程的实际应用 ①建模能力要求：能从工程、行程、销售、浓度等实际问题中，找出等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程。 ②求解与检验要求：熟练掌握分式方程的解法，严格按照“去分母→解整式方程→验根”的步骤求解； ③验根需兼顾双重要求：一是检验是否为增根(代入最简公分母),二是检验解是否符合实际意义(如时间、数量、单价不能为负数或零)。 多为解答题，难度中等。常考分式方程中行程问题（2025·山东淄博卷、2025·吉林长春卷等）；分式方程中经济类问题（2025·江苏盐城卷、2025·山东济南卷等）；分式方程中工程问题（2025·江苏常州卷、2025·广东广州卷等）；分式方程中其它类问题（2025·云南卷、2025·四川南充等）。 命题预测 命题趋势：基础核心稳守，情境与综合双升 核心考点聚焦分式方程的求解、含参问题及实际应用，题型分布稳定(选择、填空、解答题均有涉及),分值保持在10分左右，重点考查通分、因式分解、验根等基本功，且验根、避免去分母漏乘等细节仍是主要失分点筛查方向。同时命题呈现两大升级：一是应用情境创新，紧密结合生态保护、绿色经济、购物消费等社会热点与生活实际，部分融入地方特色或跨学科素材(如物理行程、化学浓度),题干信息更复杂，侧重建模能力考查；二是综合难度提升，含参问题(增根、无解、解的范围限定)成为中档拉分题，且常与不等式组、函数等知识融合，开放探究型题目(自编应用题、参数探究)有所增加，凸显素养导向。 备考建议：流程化夯实基础，靶向性突破难点 一方面，建立标准化解题流程，解分式方程严格遵循“因式分解找公分母→去分母化整式方程→求解→双重验根(公分母非零+实际意义)”,每天强化基础题训练，重点攻克去分母漏乘、约分不分解因式等高频错误，熟练掌握“根号2加减1“等常考根式的运算技巧。另一方面，靶向突破核心难点：分类总结含参问题解题模型(增根先求根再代整式方程，无解分整式方程无解与增根两类),针对行程、工程、销售三大应用题型提炼等量关系模板；额外练习热点情境题和开放探究题，梳理近3-5年本地真题规律，通过错题分类复盘(基础错误、建模错误、综合错误)强化薄弱点，适配命题创新趋势。 考点一 解分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：是分式方程；是整式方程。 2.核心解题思想 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 3.增根的概念 增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为0，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。 4.解分式方程步骤（以为例） 1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。 若分母是多项式，需先因式分解。 2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的常数项)，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘，得：） 3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。 本题展开：→移项得：。 4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验： ①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解； ②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。 本题把x=3代入x(x-1),得,故是原方程的解。 5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 2．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 4．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 考点二 根据分式方程增解的情况求参数 题型1：已知分式方程有增根，求参数 核心逻辑：增根的本质是使最简公分母为0的根，且是整式方程的解。 解题步骤 ①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根； ②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程； ③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。 题型2：已知分式方程无解，求参数 核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可： 情况1：整式方程的解是增根(即解使最简公分母为0)； 情况2：整式方程本身无解(仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。 解题步骤 ①去分母转化为整式方程； ②分两类讨论： ★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数； ★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数； ③整合两类情况的参数值。 1．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 2．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 考点三 已知分式方程解的正负求参数 解分式方程实际应用的一般思路 步骤 具体操作 关键注意事项 ①审题 标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系（如路程 = 速度 × 时间） 抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同” 等关键词，锁定等量关系 ②设未知数 ① 直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h） ② 间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x） 设未知数时要带单位 ③列分式方程 根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程 确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱 ④解方程 按照 “找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程” 的步骤求解 去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘 ⑤双重验根 ① 增根检验：将解代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去 ② 实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或 0） 双重验根是得分关键，缺一不可 ⑥作答 写出最终结论，带单位 结论要与题目所求一致，语言简洁规范 1．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 3．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 4．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 5．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 命题点一 解分式方程 ►题型01 解分式方程中判断去分母是否正确 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错点类型 具体表现 判断方法 漏乘常数项或整式项 只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项 检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘 最简公分母找错 1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母 2. 忽略分母间的公因式 分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母 符号处理失误 1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘 2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误 1. 遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号） 2. 分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号 错用 “约分” 代替去分母 直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构 去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母 忽略分母不为0 的前提 去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解 去分母是 “等价变形” 的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性 【典例】（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果． 【详解】解：， 方程两边同乘， 得． 故选：B． 【变式1】（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键． 【详解】解：， 去分母得， ， 故选：D． 【变式2】（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，将方程转化为整式方程进行判断即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：； 故选：D． 【变式3】（2025·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母进行去分母即可． 【详解】解：原方程两边同乘得：， 故选：D． ►题型02 解分式方程 快速避错口诀 ①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 【典例】（2025·四川成都·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 【变式1】（2025·江苏·一模）解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握相关的解法及注意事项是解答本题的关键． 先化为整式方程，求解后进行检验即可； 【详解】解：， 两边同时乘以得 ， ， ， ， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是； 【变式2】（2025·广东清远·三模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解并检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式3】（2025·青海西宁·一模）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．去分母，将分式方程化为整式方程后，验根即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 解得； 检验，当时，， ∴原方程的解为． 命题点二 分式方程的解 ►题型01 已知分式方程的解正负求参数 已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下： 一、 通用解题步骤（四步法） 去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b) 注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。 二、解整式方程，用参数表示解 把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数） 注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0： 若系数为 0 且常数项≠0 → 整式方程无解，原分式方程也无解； 若系数为 0 且常数项 = 0 → 整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。 三、列不等式，限制解的符号 若解为正数 → 列不等式：解大于0； 若解为负数 → 列不等式：解大于0； 解不等式，初步确定参数的取值范围。 四、排除增根，补充限制条件 增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解的问题求参数．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键． 利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得： ， 移项，合并同类项，系数化1得： ． ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1，故有4个， 故选：A． 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 方程的解为非正数， ， 解得， 又， ， ， ， 的取值范围是． 故选：B． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，解题的关键在于根据分式方程解的情况建立不等式组． 根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，建立不等式组求解，注意考虑分母不为0即可． 【详解】解： ， 分式方程的解是非正数， ，且， ， 整理得：，且， 解得，且，， 综上所述，则取值范围是且， 故选：B。 【变式3】（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 【变式4】（2025·西藏日喀则·一模）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，根据题意列出不等式且，求出不等式的解集即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． ►题型02 已知分式方程增根或无解求参数 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 概念 本质特征 关键区别 增根 1.是去分母后整式方程的解 2.代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义） 增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解 无解 分式方程无解分两类情况： 1.整式方程的解都是增根 2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中 0⋅x=a，a=0时成立） 无解包含 “有增根导致无解” 和 “整式方程无解导致无解” 两种情况 【典例】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 【变式2】（2025·四川自贡·二模）若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先将分式方程转化为整式方程，再分一元一次方程无解和分式方程有增根进行讨论即可． 【详解】解： 分式方程无解， ， ； ， 当时，，不成立； 当时，，则， ， 综上所述，若分式方程无解，则的值为或， 故答案为：C． 【变式3】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， 解得：， 综上所述，a的值为4或． 故选：C． ►题型03 已知分式方程的整数解求参数 高频易错点规避 1.忽略参数的限定条件 如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 规避：审题时圈画参数的限定词（如 “整数”“正整数”“负整数”）。 2.未排除增根直接求参数 只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 规避：步骤 4 是必做环节，增根一定要排除。 3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系 如解为且为整数→m+3必须是2的倍数，即 技巧：若 4.忽略整式方程无解的情况 当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 规避：先讨论系数是否为 0，再分析整数解条件。 【典例】（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组所有整数解的和为14，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】14 【分析】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行计算求解．关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组所有整数解的和为14， 该不等式组的整数解为或， 或， 解得或； 解分式方程， 得， 解为非负整数， 这种情况应舍去， ，即且为偶数， 由题意得，当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 所有满足条件的整数的值为8、6， ， 所有满足条件的整数的值之和为14， 故答案为：14． 【变式1】（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组有解且最多有4个整数解， ， 解得：， ∵， 分式方程去分母得：， 解得：，且， ∴， 分式方程的解为整数， 或， 则满足题意整数之和为． 故答案为：． 【变式2】（2025·重庆渝中·二模）关于的不等式组只有4个整数解，且关于的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了含字母参数的一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确计算、讨论．先分别解该不等式组和分式方程求得所有满足条件的整数的值，再求和计算． 【详解】解：解不等式组， 得， 可得其4个整数解为：，，， ， 解得； 解方程得， ， 且， 解得且， 且， 所有满足条件的整数的值为：，0，2， ， 即所有满足条件的整数的值之和为1， 故答案为：1． 【变式2】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 不等式组有解且最多有4个整数解， ， 解得：， ∵， 分式方程去分母得：， 解得：，且， 分式方程的解为整数， 或或1或， 则满足题意整数之和为． 故答案为： 【变式3】（2025·重庆渝北·一模）若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】解：由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为正整数， ∴是2的倍数，即a是偶数．， 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 命题点三 二元一次方程组的解 ►题型01 列分式方程 【典例】（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为天，快马送达所需时间为天．慢马速度为里/天，快马速度为里/天．根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：∵慢马所需时间比规定时间多1天，即天， ∴慢马速度为里/天； ∵快马所需时间比规定时间少2天，即天， ∴快马速度为里/天； 又∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 【变式2】（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 【变式2】（2025·四川成都·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得工效提升了后，每小时加工个零件，再根据题意可得等量关系：采用新工艺前加工个零件所用时间采用新工艺后加工个零件所用时间，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工个零件，根据题意得， 故选：A． 【变式3】（2025·湖北十堰·三模）汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据路程、速度和时间的关系，分别表示出两种交通工具的行驶时间，再依据时间差列出方程． 根据路程除以速度等于时间，分别求出原来火车行驶全程的时间和动车行驶全程的时间；由于动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，即原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，据此列出方程． 【详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为2.5x千米/时．原来火车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时． 动车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时． 因为动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，所以原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，即． 故选：D． 【变式4】（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，根据题意，得． 故选D． ►题型02 分式方程实际应用之行程问题 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 核心公式与等量关系 1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2.常见的等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 速度变化导致时间差 原时间−现时间=提前时间 现时间−原时间=推迟时间 提速后提前到达、减速后迟到 顺逆流 / 顺风逆风航行 顺流时间−逆流时间=时间差 或反之 轮船航行、飞机飞行 不同主体行驶同一路程 甲的时间−乙的时间=时间差 两人同时出发，一人先到 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（） 逆流速度=静水速度-水流速度（） 顺风/逆风同理 【典例】（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度． 【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可． 【详解】解：设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为：， 答：小林跑步的平均速度为4米每秒． 【变式1】（2025·广东佛山·三模）年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点 电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲 求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值． 【答案】的值为． 【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：的值为． 【变式2】（2025·浙江衢州·一模）年“有礼杯”衢州马拉松于月日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点米处因体力不支，最终以米分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题： (1)求a的值； (2)求图中线段对应的函数表达式； (3)求小聪休息前的速度． 【答案】(1) (2) (3)米/分 【分析】此题考查了一次函数的应用、从函数图象获取信息等知识，准确求出函数解析式是关键． （1）利用“ 在距离终点 米处因体力不支，最终以 米分的速度坚持跑到终点 ”求解； （2）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出线段BC的解析式； （3）先当时，得出，再设小聪休息前的速度为v米分，列出关于v的分式方程求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：小明共休息（分钟）， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 设线段的解析式为，由题意得： ， 解得， ∴线段的解析式为：； （3）解：当时，； 由图可得小聪休息时所跑的路程为米， 设小聪休息前的速度为v米分，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解,，且符合题意， 答：小聪休息前的速度为米分． 【变式3】（2025·山西太原·二模）年低空经济的核心产业（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 【答案】元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，首先设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元，根据飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元， 根据题意可得：， 解方程得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：飞行器平均每公里航程的能源成本为元． ►题型03 分式方程实际应用之工程问题 分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 核心公式与等量关系 1.基本公式 工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单人效率变化 原工作时间−现工作时间=提前完成时间 提高效率后提前完工 多人合作 甲工作量+乙工作量=总工作量 合作效率=甲效率+乙效率 甲乙合作完成任务 分段工作 先做工作量+后做工作量=总工作量 先单独做，再合作做 【典例】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 【变式1】（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 【变式2】（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 【变式3】（2025·甘肃武威·二模）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【答案】(1)不会穿过古建筑保护群，理由见解析； (2)原计划完成这项工程需要天． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）要求是否穿过古建筑保护群，也就是求到的距离，要构造直角三角形，再解直角三角形即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过作于，设， 由已知有，，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：（米）（米）， ∴不会穿过古建筑保护群； （2）解：设原计划完成这项工程需要天，则实际完成工程需要天． 根据题意得：， 解得：， 经检验知：是原方程的根， 答：原计划完成这项工程需要天． ►题型04 分式方程实际应用之销售问题 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 核心公式与等量关系 1.基本公式：总价=单价×数量 变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单价变化导致数量差 原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数 降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数 用固定总价买商品，单价变化引发数量变化 两种商品单价对比 甲单价=k×乙单价（k为倍数） 甲购买数量=乙购买数量±差值 已知两种商品单价关系和数量差，求单价 总价相同的两种方案 方案一总价=方案二总价 不同单价和数量组合，总价相等 【典例】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 【变式2】（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． (2)购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【变式3】（2025·河南南阳·三模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． 两种型号车的进货和销售价格如表： 型车 型车 进货价格/元 1000 1300 销售价格/元 今年的销售价格 1800 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】(1)1200元 (2)购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多 【分析】（1）设今年型车每辆售价元，则去年型车每辆售价元，今年与去年的销售数量均为辆，根据今年型车每辆售价今年型车的销量今年型车的销售额列关于的分式方程并求解即可； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设这批车获利元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取值时值最大，再求出此时的值即可． 【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，则去年型车每辆售价元，今年与去年的销售数量均为辆， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 答：今年型车每辆售价1200元； （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆， 根据题意，得， 解得， 设这批车获利元， 则， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，则购进型车辆， 答：购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． ►题型05 分式方程实际应用之和差倍问题 【典例】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 【变式1】（2025·江苏·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 【变式2】（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 【变式3】（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． ►题型06 分式方程实际应用之其它问题 【典例】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 【变式1】（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可． 【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【变式2】（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元；纯电新能源车每千米行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据表中的信息，用油和电的费用除以a，表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，求出燃油车和纯电新能源车的每千米费用，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为：（元）； （2）解：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意； 故，， 设每年行驶里程超过x千米时，新能源车的年费用比燃油车更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低． 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 突破一 解分式方程中新定义类题型 【典例】（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键； 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：根据题意：方程即为：， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 等号两边同时乘以，， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该方程的解， ∴该方程的解为． 故答案为：． 【变式3】（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 【典例】（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)学校购买这批仪器至少要花396元 【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解； （2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意得 解得 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元． 由题意得 解得 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时，396（元）． 答：学校购买这批仪器至少要花396元． 【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键． 【变式1】（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)． (2)学校买这批仪器至少要花费670元． 【分析】本题主要考查欧姆定律、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质．解题关键在于理解电路中电阻与电流的关系，利用条件准确列出分式方程求解电阻值；通过设未知数建立函数和不等式模型，结合函数性质求出费用最小值． （1）设滑动变阻器最大电阻为，分别表示出滑动变阻器滑片在不同位置时的电阻，再结合两种情况下电流的差值为列出分式方程，求解并检验得到滑动变阻器的最大电阻． （2）通过设未知数建立函数关系来求解费用最小值．设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍列出不等式，确定的取值范围．再根据单价列出总费用关于的一次函数表达式，利用一次函数的性质（当时，随的增大而减小 ），在的取值范围内找到使最小的值，进而求出最小花费． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知：，解得：， 总费用，即， ∵，∴y随m的增大而减小． ∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 【变式2】（2025·重庆·一模）我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元，根据题意列方程得，解方程即可得到答案； （2）根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元， 根据题意列方程得， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元； （2）解：根据题意得 解得：或 ， 不符合题意，舍去， 的值为． 突破三 分式方程中探究类题型 【典例】（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 【变式1】（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 【变式2】（2024·江西宜春·模拟预测）“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是，小汽车的速度为，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在内（不包含），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”． 问题思考与解决： (1)若， ①计算此时小汽车到斑马线的距离； ②若在点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度． (2)若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求的度数． （参考数据：，，） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、分式方程的应用，理解题意、数形结合解直角三角形是解题的关键． （1）①根据题意得出，根据，，解直角三角形求出即可；②设小汽车在这一段的平均速度为，根据题意得出分式方程求解即可； （2）设，根据，由题意得出或求解，进一步得出的值，根据，，得出的度数即可． 【详解】（1）解：①由题可知：，，， 在中，，即， ∴； ②设小汽车在这一段的平均速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是该分式方程的解且符合题意， ∴小汽车在这一段的平均速度为； （2）解：设，， 由题意得：或， 解得：或， 在中，或， 又∵，， ∴的度数为或． 【变式3】（2025·广东汕尾·二模）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产． 素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅． 素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元． 素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元． 问题解决： 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？ 【答案】任务1：该商场采购蜜汁梅40件，采购话梅60件 任务2：每件话梅的售价至少为200元 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用． 任务1：设该商场采购蜜汁梅x件，则采购话梅件．每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元．据此列方程并解方程和检验即可； 任务2：设每件话梅的售价为m元．商场获利不少于7400元．据此列不等式并解不等式即可． 【详解】解：（任务1）设该商场采购蜜汁梅x件，则采购话梅件． 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． ∴． 答：该商场采购蜜汁梅40件，采购话梅60件． （任务2）设每件话梅的售价为m元． ∵蜜汁梅的进价为（元）， ∴话梅的进价为（元）． 根据题意，得， 解得． 答：每件话梅的售价至少为200元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $