第02讲 分式方程及其应用（复习讲义，3考点+9题型）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“分式方程及其应用”核心专题，覆盖解分式方程、含参问题（解的正负、无解与增根）、实际应用（行程、工程、经济问题）等中考必考考点，构建“基础解法-含参突破-实际应用-重难拓展”的递进式知识网络。教案通过“考点解析（步骤拆解+易错警示）、命题洞悉（题型分类+典例变式）、分层训练（基础巩固→能力提升→全国新趋势）”的教学流程，帮助学生系统梳理知识内在联系，突破去分母漏乘、增根忽略等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“问题分层突破”和“核心素养导向”的教学策略，如针对含参问题设计“化整-表根-找增根-列不等式组”四步解题法，通过分类讨论培养学生数学思维；新定义问题探究环节，引导学生用数学眼光抽象问题本质，发展创新意识。特设双重验根（代数+实际意义）训练和5分钟限时真题测评，确保学生高效掌握解题规范，教师可据此精准把控复习节奏，助力学生提升中考应考能力。

第一章 数与式 第02讲 分式方程及其应用 目 录 01·知识导航·网络构建 2 02·考点解析·知识通关 3 03·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 解分式方程 题型01判断去分母是否正确 题型02解分式方程 命题点二 分式方程中含参问题 题型01 已知分式方程解的正负求参数的取值范围 题型02 分式方程中无解和增根问题 题型03 分式方程与不等式综合 命题点三 分式方程的实际应用 题型01 列分式方程 题型02 分式方程中行程问题 题型03 分式方程中工程问题 题型04 分式方程中经济问题 04·重难突破·思维进阶难 42 突破一 分式方程中新定义问题 突破二 分式方程中规律探索 05·优题精选·练能提分 46 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点一 解分式方程 以解分式方程为例，分步拆解每一步操作和注意事项： 步骤1：找最简公分母，标注分母不为0的条件 1.确定所有分母：本题分母为，最简公分母即为； 2.标注分母不为0的前提：，即(此条件为后续验根做准备)。找最简公分母技巧： ①单分母：直接取分母为最简公分母； ②多分母(如和)：取各分母所有因式的最高次幂的积，即； ③分母含因式分解形式(如)：先因式分解,再找最简公分母。 步骤2：去分母，将分式方程化为整式方程 方程两边每一项同时乘最简公分母，消去分母，注意两点： 1.无分母的项（如本题的“1”）也必须乘最简公分母，不能漏乘； 2.分子是多项式时，去分母后要给分子加括号（避免符号/乘法错误）。 本题操作： 。 步骤3：解转化后的整式方程(一元一次/一元二次方程) 按整式方程解法求解(本题为一元一次方程)：。 步骤4：验根(分式方程必考步骤，不可省略) 将整式方程的解代入最简公分母，验证是否为0,分两种情况： 1.若最简公分母不等于0：该解是原分式方程的解； 2.若最简公分母等于0：该解是增根(因违背分母不为0的前提),原分式方程无解。 本题操作：将，故是原方程的解。 1．分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故选：． 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程；先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可． 【详解】解： 解得， 经检验，是增根，应舍去． 故原方程的解为． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， 即分式方程的解是． 4．解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得： 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原方程无解． 考点二 根据分式方程解的情况求参数 1.增根的定义：使分式方程的最简公分母为0的未知数的值，称为分式方程的增根。 关键性质： ①增根是转化后的整式方程的解，但不是原分式方程的解(因违背分母不为0的前提); ②增根是分式方程特有的概念，整式方程无增根。 2.分式方程的解的有效性 分式方程的有效解必须同时满足两个条件： ①是转化后整式方程的解； ②代入最简公分母，最简公分母≠0(即不是增根)。 3.分式方程“无解”的两种情况(中考高频考点，易漏解) 分式方程无解分两类，需分类讨论、合并参数取值，缺一不可： 情况1：转化后的整式方程有解，但解为分式方程的增根(最常见)； 情况2：转化后的整式方程本身无解(初中仅一元一次方程存在此情况)。 4.一元一次方程无解的条件 对于一元一次方程ax=b(a、b为常数)，当未知数系数为0，且常数项不为0(即a=0且b≠0)时，方程无解； 若a=0且b=0,方程有无数个解。 1．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，先解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 2．已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答． 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 3．若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解确定参数的取值范围，解一元一次不等式；首先将分式方程转化为整式方程，求解后结合分式方程有解的条件（分母不为零且系数不为零）确定参数m的取值范围． 【详解】解：原方程可改写为， 方程两边同乘（注意），得：， 整理得：， 解得：； 因为分母，即， 依题意，，即， 解得：， 综上，且； 故选：D． 4．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 考点三 分式方程的实际应用 分式方程实际应用的解题步骤与整式方程应用题一致，核心差异在列方程的分式特征和双重验根，步骤可简记为：审→设→列→解→验→答(验为核心步骤，不可省略),每步要求明确： 步骤1：审——审清题意，锁定3个关键 通读题干，标注已知量、未知量、关键关系词，确定问题所属类型(行程/工程/销售),找到构成分式的核心量(如行程问题的时间、销售问题的数量)。 步骤2：设——巧设未知数，优先直接设元 直接设元：题目问什么就设什么为未知数x 间接设元：直接设元导致方程复杂时，设与所求量相关的量为x(如求时间，可先设速度为x)；设元后注明未知数的单位，且明确后续用含x的代数式表示的量也为正数。 步骤3：列——找等量关系，列分式方程(核心步骤) 1.找等量关系的3种方法(题干必含提示) ①关键词提示法：根据“相等、相同、早到/晚到t小时、多/少n个、提前x天”等词锁定(如”甲的时间=乙的时间”“甲的时间-乙的时间=1”); ②公式推导法：根据基础公式，结合问题中的“不变量”找(如稀释问题溶质不变、合作工程工作量和为1)； ③列表法：将已知量、未知量(含x的代数式)按“核心量分类”列成表格，直观找到等量关系(适合复杂题)。 2.列方程的关键要求 ①用含x的分式表示核心量(未知量在分母),确保方程为分式方程； ②等式两边的量单位统一，等量关系符合实际逻辑。 步骤4：解——解分式方程，化为整式方程求解 按分式方程的常规解法：找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程，求解过程注意符号、漏乘问题。步骤5：验——双重验根，缺一不可(中考评分点) 这是分式方程应用的特有步骤，未验根会扣分，验根分两步： 1.代数验根：将整式方程的解代入最简公分母，若≠0，排除增根；若=0，为增根，原方程无解； 2.实际验根：将符合代数要求的解代入实际问题，验证是否为正数/正整数，符合实际意义。 步骤6：答——规范作答，注明单位 根据验根后的有效解，回答题目问题，答案必须带单位，且表述贴合题意（如“甲的速度为5km/h““每件商品的进价为20元“）。 1．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据顺流速度等于船速加水速，逆流速度等于船速减水速，结合以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 2．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 3．列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 (2)a的值为5 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【详解】（1）解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． （2）解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 4．法门寺舍利塔，地处于陕西省宝鸡市，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量舍利塔的高度，如图2，塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且舍利塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出舍利塔的高度． 【答案】 【分析】设，则，利用三角形相似的判定和性质，分式方程的应用，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，分式方程的应用，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴． 命题点一 解分式方程 ►题型01 判断去分母是否正确 易错点：漏乘方程中无分母的项(最高频) 错因核心：把“去分母”理解为“只消去分母的项”，忽略方程中常数项、单独的未知数项等无分母的项，未将其同乘最简公分母，违背等式基本性质2。 典型错例 解，最简公分母， 错误操作：两边乘，得(漏乘无分母的项“1”)； 正确操作：两边乘,得(所有项均乘公分母)。 避错技巧 去分母前，把方程的每一项用序号/圆圈标记（包括常数项、单独的项），确保一项一乘，无例外。 【典例】解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程．去分母时，方程两边同乘最简公分母，注意符号变化，即可作答． 【详解】解：∵， 则， 整理得， 故选：B． 【变式1】在解方程的过程中，去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解分式方程，通过找到分母的最简公分母，乘以方程两边，消除分母，得到正确等式即可． 【详解】解：∵方程 的分母为和， ∴最简公分母为， 去分母得：， 故选：A    ． 【变式2】把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程变形后，两边乘以最简公分母化简得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得， 去分母得， 故选：D． 【变式3】解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程；先确定分式的最简公分母为，并注意，然后等式两边同时乘以去分母． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘：， 即． 故选：B． ►题型02 解分式方程 解分式方程需紧扣化整、验根、避错三大核心，这三点是中考解题的关键，直接决定解题的正确性，归纳为以下最重要的三点，极简易记、直击核心： 一、去分母化整式方程：乘遍每一项，多项式分子必加括号 这是解分式方程的基础，核心遵循等式基本性质，两点硬性要求缺一不可：①方程两边所有项同乘最简公分母，无分母的常数项/单独项绝不能漏乘；②分子是多项式时，去分母后必须加括号，避免后续符号/乘法错误。 二、验根：必代最简公分母验证，排除增根是硬性步骤 这是分式方程的特有核心步骤，也是中考评分点，增根本质是使分母为0的解，整式方程的解必须代入最简公分母验证，若公分母≠0，才是原分式方程的解；若=0，则为增根，原方程无解，此步骤不可省略。 三、找最简公分母：先整理分母(统一相反数分母)、因式分解，再确定 找对最简公分母是去分母的前提，避免因公分母错误导致后续全错：①若出现分母互为相反数(如x-2和2-x)，先变号统一分母；②分母为多项式时，先因式分解(提公因式、平方差)，再取所有因式最高次幂的积作为最简公分母。 【典例】分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的求解，通过交叉相乘化为整式方程并求解，再检验整式方程的解是否为增根即可． 【详解】解： ， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为； 故选：B． 【变式1】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程是解分式方程的关键；解分式方程不要忘记检验． 按照解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、检验即可求解． 【详解】（1） 解：方程两边同乘以，得 检验：时， 所以，原分式方程的解为 （2） 解：方程两边同乘以 检验：当时， 所以，原分式方程的解为 【变式2】解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）（2）把方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 整理得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式3】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，熟练解分式方程是解题的关键． 解分式方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，求得后代入方程检验，即可解决问题． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ． 经检验，原分式方程的解是． （2）解：原方程转化为， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， ． 经检验，原分式方程的解是． 命题点二 分式方程中含参问题 ►题型01 已知分式方程解的正负求参数的取值范围 已知分式方程解的正负求参数取值范围核心解题思路 此类题型的核心逻辑是先将分式方程转化为整式方程，用参数表示解，再通过“解的正负特征+分式有意义(排除增根)”双条件列不等式组，两个条件缺一不可，解题全程为固定四步法，无复杂推导，直接套用即可。 通用四步解题法(所有变式题型适配，核心框架) 步骤1：化整——消分母，转化为整式方程 方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为一元一次整式方程(初中考法均为此类); 关键注意：无分母的常数项/单独项必须乘公分母，不能漏乘；分子是多项式时，去分母后先加括号，避免符号错误。 步骤2：表根——用参数表示整式方程的解 将参数当作常数，解转化后的整式方程，得到未知数用参数表示的一次代数式，形式为x=含参数的式子(如)。 步骤3：找增根——确定分式方程的增根 令最简公分母=0，解出的x值即为分式方程的增根； 核心理解：增根本质是使分式方程分母为0的解，是整式方程的解，但不是原分式方程的有效解，即使满足正负特征，也必须排除。 步骤4：列不等式组——双条件联立，求参数范围 这是解题的关键，根据“解为正/负”的要求，列两个条件同时成立的不等式组，逻辑关系为且： ①解为正数：整式方程的解≠增根；整式方程的解>0 ②解为负数：整式方程的解≠增根；整式方程的解<0 最后解该不等式组，所得结果即为参数的取值范围。 【典例】已知关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了含参数的分式方程的解法、不等式的解集，掌握分式方程解法的一般步骤及分式方程有非负数解的解题技巧是解题关键．首先，解分式方程得到 ，然后，根据解是非负数得到 ，同时，分母 ，即 ，从而推导出 的取值范围． 【详解】∵ ， 两边同乘 （注意 ）， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 分式方程的解是非负数， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 又 ∵ 分母 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ 综上， 的取值范围为 且 故选：C． 【变式1】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解等知识点，正确求得分式方程的解是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程可求出，再根据解为正数和分母不为零的条件，即可确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 解为正数，∴ ， ∴，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴且． 故选D． 【变式3】关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件． 先把分式方程化为，再根据分式方程无解得到有增根，然后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴有增根， ∴代入，得， 解得，． 故答案为：4． 【变式4】已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再根据分式方程有正数解得不等式，求解不等式得结论．本题主要考查了分式方程，掌握分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 整理，得， 关于x的分式方程有正数解， 且 且 故答案为：且 ►题型02 分式方程中无解和增根问题 易错点1：求无解时，漏算“整式方程本身无解”的情况 ×错误：只将增根代入求参数，忽略整式方程无解的情况，导致答案不完整； ☑避错：解无解问题时，先在草稿纸标注分两类：增根+整式无解”，完成一类再做另一类，杜绝遗漏。 易错点2：代根时，代入分式方程而非整式方程 ×错误：将增根代入原分式方程(分母为0，无意义)，导致计算错误； ☑避错：增根是整式方程的解，代根时必须代入整理后的整式方程，而非原分式方程。 易错点3：化整时基础变形错误 ×错误：去分母漏乘无分母项、多项式分子未加括号，导致整式方程错误，后续全错； ☑避错：化整前标记方程所有项，确保漏乘；分子是多项式时，先加括号再去分母。 【典例】解分式方程会产生增根，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式无解的情况．分式方程产生增根时，增根为使最简公分母为零的未知数的值，代入去分母后的整式方程可求参数的值． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 化简得． ∵解分式方程会产生增根， ∴或， 解得或． 将 代入整式方程，得； 将 代入整式方程，得． 故的值为或． 故答案为：或． 【变式1】关于x的分式方程无解，则 ； 【答案】5 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，将分式方程化简为整式方程，根据分式方程无解的条件，得到整式方程的解为分式方程的增根，代入求解a的值即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于x的整式方程总有解 ∴当关于x的分式方程无解时，关于x的分式方程有增根， ∴，即， ∴， 故答案为：5． 【变式2】若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 【变式3】若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查的是分式方程无解的情况，关键是化为一元一次方程，把增根（让分母等于 0 的数）代入整式方程．分式方程无解，就是考虑两个方面，一是增根，二是化成的一元一次方程的系数为 0 ． 【详解】解：， 方程两边都乘以， 得：， 整理，得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴①整式方程无解，即，解得：； 当时，此时方程为，方程不成立，故不是增根； ②当产生增根，当时，此时，解得：； ∴或 2 ． 故答案为：或 2 ． ►题型03 分式方程与不等式综合 【典例】若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数的值之积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，解分式方程. 解关于的不等式组得，根据“有且只有3个整数解”求出，解分式方程得，根据且求出且，可知且，再找出范围内的所有整数的值，相乘即可. 【详解】解：解关于的不等式组得， 该不等式组有且只有3个整数解， ， 解得， 将分式方程的两边都乘以得， 解得， 且， 即且， 且， 综上所述，且， 又为整数， 或， 即满足条件的整数的值之积为． 故选：C． 【变式1】若关于x的分式方程有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程和不等式组的含参数问题，解题的关键是正确解分式方程与不等式组． 先解分式方程得到，根据有正数解且得到且；再解不等式组，根据无解条件得到；结合整数，确定满足条件的值个数． 【详解】解：∵分式方程， 解得， ∵方程有正数解， ∴，且， ∴，， ∵为整数， ∴且； 解得，， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 综上，为整数且，且， ∴，，，共3个． 故选：C． 【变式2】若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键．先解不等式组，得到有解的条件是；再解分式方程，得到，要求y为正整数且，从而是4的正约数，但排除的情况，得到或；结合不等式组条件，和均满足． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 【变式3】若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 命题点三 分式方程的实际应用 ►题型01 列分式方程 【典例】某新能源汽车电池生产车间计划加工800块电池．车间引入新型生产技术后，每天可以比原来多加工20块电池，最终，这批电池的生产时间比原计划缩短了4天，则原计划每天加工多少块电池？设原计划每天加工块电池，所得方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系． 根据题意，原计划每天加工x块电池，总工作量为800块，原计划时间为天；新技术每天多加工20块，即每天加工块，新时间为天；时间缩短4天，即原时间减新时间等于4，即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天加工块电池， 由题意得， 故选：A． 【变式1】某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“新工艺比原工艺少用9小时”这一等量关系列出方程． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工千克梨干， 因此根据题意，列方程为：， 故选：B． 【变式2】某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从年开始通过拆违建绿、拆墙透绿等方式在全城打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用元购买的A种绿植比用元购买的B种绿植少株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确地列出分式方程是解题的关键．设B种绿植单价为x元，则A种绿植单价为3x元，根据购买A种绿植的数量比B种绿植少株，列方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价为x元，则A种绿植单价为3x元， 根据题意列方程为， 故选B． 【变式3】《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，记载一道题，大意为：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，绫布每尺价格与罗布每尺价格之和为120文，由此列方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺，由题意可列方程为； 故选B． ►题型02 分式方程中行程问题 分式方程行程问题是中考高频考法，核心是利用行程公式时间构造分式，结合时间差/时间相等的等量关系列方程，解题关键为巧设速度为未知数、找准时间类等量关系、规范双重验根，全程按固定五步走，适配所有同类题型。 核心前提(必记) 1.核心公式：时间(因设速度为未知数时，速度会出现在分母，自然构成分式方程，这是此类题的核心特征)； 2.常见等量关系：题干均围绕时间给出关联(中考唯一考法)，分两种： ①路程相同，速度不同→慢速度的时间-快速度的时间=时间差(如"甲比乙早到1h"“乙比甲晚到2h”)； ②时间相同，路程不同→甲的时间=乙的时间(如“相同时间内，甲走100km,乙走80km”)； 3.单位统一：路程(km/m)、速度(km/h/m/min)、时间(h/min)三者单位必须一致，不一致先统一(如1小时=60分钟)。 【典例】某公司的两台智能机器人“闪电”和“追风”进行40米竞走比赛．第一轮比赛，它们同时从起点出发，当“闪电”到达终点时，“追风”走了全程的．已知“闪电”比“追风”每秒多行走1.2米． (1)求“追风”的行走速度． (2)如果将“闪电”的行走路程增加，“追风”的行走路程不变，两台机器人以原始速度再次比赛，它们能同时到达终点吗？请通过计算说明． 【答案】(1)2米每秒 (2)不能同时到达，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数运算；理解题意找出数量关系是解题的关键； （1）设“追风”的速度为米／秒，则“闪电”的速度为米／秒．根据题意列方程解答即可； （2）比较“闪电”， “追风”到达终点所用的时间即可． 【详解】（1）解：设“追风”的速度为米／秒，则“闪电”的速度为米／秒． 根据题意，得， 解得 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴“追风”的速度为2米每秒 （2）解：不能同时到达 调整后“闪电”的行走路程为（米）， “闪电”到达终点所用的时间为（秒） “追风”到达终点所用的时间为（秒）， ∴两台机器人不能同时到达终点． 【变式1】八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍． (1)设大巴的平均速度为，列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度； (2)参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．方案A：前半段路程以的速度匀速行驶，后半段路程以的速度匀速行驶；方案B：全程以的速度匀速行驶．如果，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由． 【答案】(1)所列方程为，大巴的平均速度为； (2)选择方案B能更早返回学校，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式除法的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为，根据一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达列出方程求解即可； （2）根据时间等于路程除以速度分别表示出两种方案的时间，再利用作商法比较两种方案的时间的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴的平均速度为； 答：所列方程为，大巴的平均速度为； （2）解：选择方案B能更早返回学校，理由如下： 方案A需要的时间为， 方案B需要的时间为， ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴方案B需要的时间更少， ∴选择方案B能更早返回学校． 【变式2】深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 【变式3】某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙客车；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为，利用时间路程速度，结合甲客车比乙客车多用，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． ►题型03 分式方程中工程问题 【典例】甲、乙两个工程队分别完成72千米的道路施工任务．甲队计划前36千米按每天施工a千米完成，剩下的36千米按每天施工b千米完成；乙队计划一半的时间每天施工a千米，另一半的时间每天施工b千米．（已知） (1)当时，甲队恰好6天完成任务，求a的值； (2)如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由． 【答案】(1)9 (2)乙队更早完成施工任务，见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及分式的加减法等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程． （1）根据“队计划前36千米按每天施工a千米完成，剩下的36千米按每天施工b千米完成；”列出方程，即可求解； （2）设乙队完成施工任务需要的时间为天，根据乙队计划一半的时间每天施工a千米，另一半的时间每天施工b千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得： 又因为， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 即a的值为9； （2）解：乙队更早完成施工任务，理由如下： 由题意可知，甲队完成施工任务需要的时间为天， 设乙队完成施工任务需要的时间为天， 由题意得：， 解得：， ， 且，，， ， ， 乙队更早完成施工任务． 【变式1】 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【答案】(1)A型每小时搬运，B型每小时搬运 (2)至少购进A型机器人14台 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型每小时搬运，B型每小时搬运； （2）解：设购进A型a台，B型台，由题意得： ， 解得，， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， 答：至少购进14台A型机器人． 【变式2】政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙工程队各需要6天，12天 (2)乙至少施工4天 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程即可解答； （2）设乙工程队施工a天，则甲需施工天，由题意得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，依题意列方程得： 解得： 经检验是原方程的解， 则乙：（天） 答：甲、乙工程队单独完成这项工程各需要6天，12天； （2）解：设乙工程队施工a天，则甲需施工天， 由题意得， 解得：， 答：乙工程队至少施工4天． ►题型04 分式方程中经济问题 【典例】重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． (1)求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 【答案】(1)制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个 (2)8个 【分析】此题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，乙比甲多用4天，据此列方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，依题意得： 解得 制作一个甲款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 制作一个乙款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 答：制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个． （2）设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，依题意得： 解得： 检验：当时是原方程的解． 乙每天增加个 答：每天生产的乙款传感器的增加的数量为8个． 【变式1】“每年4月23日为世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，一个热爱读书的民族，方能行稳致远，心向星辰，铸就民族精神的底蕴与洞见”．某书店在世界读书日之际，计划购进A、B两类图书，A类图书比B类图书每本的进价高，现用960元等额资金，分别购进A，B两类图书，A类图书的数量比B类图书的数量少12本． (1)求A、B两类图书每本的进价； (2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书本及B类图书本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【答案】(1)A类图书每本进价48元，B类图书每本进价30元 (2)书店购进A类图书50本，B类图书70本 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式方程的应用，确定等量关系列方程组是解本题的关键． （1）设B类图书每本的进价为元，再根据“A类图书比B类图书每本的进价高，现用960元等额资金，分别购进A，B两类图书，A类图书的数量比B类图书的数量少12本”建立方程作答即可； （2）根据“用4500元购进A类图书本及B类图书本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元” 建立方程组作答即可． 【详解】（1）解：设B类图书每本的进价为元， 根据题意得 解得， 经检验是原方程的解． ∴A类图书进价元， 类图书每本进价48元，B类图书每本进价30元； （2）解：根据题意得：， 解得， ∴书店购进A类图书50本，B类图书70本． 【变式2】由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱，现有两种包含吉祥物的礼盒供顾客选购： (1)已知礼盒的单价比礼盒的单价贵30元，若用880元购买礼盒的数量恰好是用290元购买礼盒数量的2倍．设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为______元（直接用含的代数式表示），根据题意可列方程______； (2)某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．求该工厂每天分别生产“喜洋洋”和“乐融融”多少个？ 【答案】(1)； (2)该工厂每天生产“喜洋洋”1200个，“乐融融”800个 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确列出方程为解题关键． （1）根据题意设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为元，根据用880元购买礼盒的数量恰好是用290元购买礼盒数量的2倍即可列出方程； （2）设该工厂每天生产“乐融融”y个，则生产“喜洋洋”个，该工厂完成这批订单总共用了10天列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为元， 根据题意得：， 故答案为：；； （2）设该工厂每天生产“乐融融”y个，则生产“喜洋洋”个， 根据题意得：， 解得：， 经验证是原方程的解，符合题意， ， 答：该工厂每天生产“喜洋洋”1200个，“乐融融”800个． 【变式3】儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． (1)求购进，两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? (3)已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【答案】(1)购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元 (2)有三种购买方案如下：购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系或数量关系，列方程或不等式求解． （1）设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元，根据“用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同”列分式方程求解即可． （2）设购进种风筝个，则购进种风筝个，根据“用于购买的资金不少于元，还不超过元”列不等式组解得的取值范围，再由为正整数，即可得进货方案； （3）分别表示出三种方案的利润，根据“商家获利都相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元． （2）解：设购进种风筝个，则购进种风筝个， 由题意得：， 解得， 是正整数， 或或， 有三种购买方案如下： 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个． （3）解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 令，解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 【变式4】“一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．磁器口古镇一茶馆售卖特色茶饮“巴渝云雾”和“沙磁茉莉”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元． (1)求上周末售出这两种茶饮各多少杯？ (2)已知每大罐“巴渝云雾”的成本为180元，每大罐“沙磁茉莉”的成本为160元，一罐“巴渝云雾”和一罐“沙磁茉莉”共计可冲泡35杯，且“巴渝云雾”每杯成本是“沙磁茉莉”每杯成本的1.5倍．求上周末售出这两种茶饮的利润一共多少元？ 【答案】(1)30杯；40杯 (2)520元 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的销售利润问题的应用，熟悉销售问题的数量关系是解题的关键. （1）设上周末售出“巴渝云雾”杯，则上周末售出“沙磁茉莉”杯，根据“总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元”建立一元一次方程求解； （2）设 “沙磁茉莉”每杯成本是元，“巴渝云雾”每杯成本是元，根据题意建立分式方程求解，再由利润公式求解利润． 【详解】（1）解：设上周末售出“巴渝云雾”杯，则上周末售出“沙磁茉莉”杯， 由题意得，， 解得： ， （杯）， 答：上周末售出“巴渝云雾”30杯，上周末售出“沙磁茉莉”40杯； （2）解：设 “沙磁茉莉”每杯成本是元，“巴渝云雾”每杯成本是元． ， 解得： ， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴“沙磁茉莉”每杯成本是8元，“巴渝云雾”每杯成本是元， 则利润为：（元）， 答：上周末售出这两种茶饮的利润一共520元． 突破一 分式方程中新定义问题 【典例】对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，正确理解题意、熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．分类讨论的大小，分别求出方程的解，检验即可． 【详解】若，根据新定义，，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合； 若，根据新定义，，解得， 经检验，是原分式方程的解但不符合，∴应该舍去． 综合可知． 故选：B． 【变式1】对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如 ，按照这个规定，方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是解分式方程，实数的大小比较，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况求解：当时和当时，分别得到分式方程，求解并检验即可得到答案． 【详解】解：当，即时， ， ， 去分母得：， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 综上所述，方程的解为． 故选：A． 【变式2】定义运算“*”：若，则的值为（   ） A． B．6 C．或6 D．或 【答案】C 【分析】此题考查解不等式，解分式方程，根据题意分情况：①当，②当，分别求出x的取值范围，根据公式列分式方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ①当，即时， ∴，即 解得， 经检验，当时，， 是分式方程的解且符合； ②当，即时， ∴， ， 解得， 经检验，当时，， 是分式方程的解且符合， 则的值为或6， 故选：C． 【变式3】当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解运算方式是解题的关键． 根据运算方式分类讨论的值，列出分式方程运算即可． 【详解】解：当时，则，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，此情况不成立； 当时，则，， ∴， 解得：， 检验：把代入可得：， 故是原方程的解； 故选：B． 突破二 分式方程中规律探索 【典例】现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律，解分式方程，先由，，，，，所以，，，，则，所以，从而有，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴， ， ， 经检验：是原方程的解， ∴的值为， 故选：． 【变式1】已知，若(都为正整数)，则的结果为（   ） A．91 B．100 C．109 D．110 【答案】C 【分析】此题考查数字的变化规律型，分式方程，掌握知识点是解题的关键． 观察题目给出的几个式子发现，，将其代入并解方程求出b的值，最后将a，b的值代入求解即可． 【详解】解：由题意得， ，将代入得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 故选C． 【变式2】已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 1．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 2．花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率． 乙队每天施工米，甲队每天施工米，两队合作每天施工米，合作100天完成2890米，由此列方程即可． 【详解】解：设乙队每天施工米，则甲队每天施工米． 依题意得：． 故选：C． 3．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的m个红球和5个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则m的值为（   ） A．10 B．5 C．15 D．9 【答案】A 【分析】本题考查概率的定义，根据摸出红球的概率等于红球数与总球数之比，建立方程求解即可． 【详解】解：∵ 袋中有 m 个红球和 5 个白球， ∴ 总球数为， ∵ 摸出红球的概率为 ， ∴ . 解得， 经检验，符合题意； 故选A． 4．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过移项和交叉相乘求解分式方程，并验证分母不为零． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 验证：当 时，分母 且 ，成立. ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 5．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，注意分式方程无解的情况是解题的关键． （1）按照分式方程的计算步骤，即可解答． （2）按照分式方程的计算步骤，注意分式方程无解的情况，即可解答． 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的根； （2）解：， 方程两边都乘以，得， 解得， 经检验，是分式方程的增根， 所以原方程无解． 6．随着全民健身意识的提高和科技的发展，智能健身设备逐渐受到健身爱好者的喜爱．小慧准备购买一台智能跑步机，在A、B两款智能跑步机之间犹豫．小慧通过线上线下调查，获取了以下信息： 信息一：若两款健身设备均运行m小时，A款智能跑步机需要消耗电能7.5千瓦时，B款智能跑步机需要消耗电能5千瓦时，电费为0.6元/千瓦时； 信息二：在运行能耗上，A款智能跑步机每小时比B款智能跑步机多花费0.25元电费．根据以上信息解决下列问题： (1)A、B两款智能跑步机每小时运行电能费用分别是多少元？ (2)若A、B两款智能跑步机每年的其它费用分别为900元和1000元，则每年运行时长为多少小时，买B款智能跑步机的年费用更低？并帮小慧给出购买建议．（备注：年费用年运行费用＋年其它费用） 【答案】(1)A款智能跑步机和B款智能跑步机每小时运行费用分别是0.75元，0.5元． (2)当每年运行时长大于400小时，买B款智能跑步机的年费用更低．购买建议见解析 【分析】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到A款智能跑步机运行时，每小时的电费为元，B款智能跑步机运行时，每小时的电费为元，再根据A款智能跑步机每小时比B款智能跑步机多花费0.25元电费列出分式方程求解并检验即可； （2）设每年运行时长为x小时，结合（1）中结果得到A款智能跑步机每年的费用为元，B款智能跑步机每年的费用为元，根据B款智能跑步机的年费用更低建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：． 整理得：， 解得． 经检验，是原分式方程的根． ∴． A款智能跑步机：（元）； B款智能跑步机：（元）． 答：A款智能跑步机和B款智能跑步机每小时运行费用分别是0.75元，0.5元． （2）解：设每年运行时长为x小时， 根据题意可得：， 解得． 所以当每年运行时长大于400小时，买B款智能跑步机的年费用更低． 购买建议： 若小慧预计每年使用跑步机的时间超过400小时，购买B款智能跑步机更经济； 若每年使用时间少于400小时，购买A款智能跑步机更经济； 若每年使用时间恰好等于400小时，两款年费用相同，可任意选择． 1．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 2．如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有正整数解．首先求解分式方程，得到参数的可能取值；再根据不等式组无解的条件筛选的值；最后计算符合条件的整数的和． 【详解】解：分式方程， 方程两边同乘以，得， 整理得， 解得， 为正整数， 是的正因数（，，，，，）， ，即， ，解得， 的取值为，，，，， 取值为，，，，； 解不等式得，， 不等式组无解， ， 取值为，，，，（排除）， 符合条件的所有整数的和是． 故答案为：． 3．【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，． (1)【理解应用】方程的解为______，______． (2)【知识迁移】若方程的解为，，求的值； (3)【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值． 【答案】(1)3， (2)71 (3)17 【分析】本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． （1）根据材料中的方法求解即可； （2）由题意可得，，再由完全平方公式可得求解即可； （3）方程变形为，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理进而即可求解． 【详解】（1）解：的解为，， ，即，的解为，， 故答案为：3，； （2）方程的解为，， ，， ； （3）关于的方程的解为，， 的解为，， ，， ，， ， 整理得： 将代入，得 ， 1．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 2．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 3．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 4．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【答案】(1)8 (2)至少需要6个这样的机器人 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； （2）解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 5．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 分式方程及其应用 目 录 01·知识导航·网络构建 2 02·考点解析·知识通关 3 03·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 解分式方程 题型01判断去分母是否正确 题型02解分式方程 命题点二 分式方程中含参问题 题型01 已知分式方程解的正负求参数的取值范围 题型02 分式方程中无解和增根问题 题型03 分式方程与不等式综合 命题点三 分式方程的实际应用 题型01 列分式方程 题型02 分式方程中行程问题 题型03 分式方程中工程问题 题型04 分式方程中经济问题 04·重难突破·思维进阶难 42 突破一 分式方程中新定义问题 突破二 分式方程中规律探索 05·优题精选·练能提分 46 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点一 解分式方程 以解分式方程为例，分步拆解每一步操作和注意事项： 步骤1：找最简公分母，标注分母不为0的条件 1.确定所有分母：本题分母为，最简公分母即为； 2.标注分母不为0的前提：，即(此条件为后续验根做准备)。找最简公分母技巧： ①单分母：直接取分母为最简公分母； ②多分母(如和)：取各分母所有因式的最高次幂的积，即； ③分母含因式分解形式(如)：先因式分解,再找最简公分母。 步骤2：去分母，将分式方程化为整式方程 方程两边每一项同时乘最简公分母，消去分母，注意两点： 1.无分母的项（如本题的“1”）也必须乘最简公分母，不能漏乘； 2.分子是多项式时，去分母后要给分子加括号（避免符号/乘法错误）。 本题操作： 。 步骤3：解转化后的整式方程(一元一次/一元二次方程) 按整式方程解法求解(本题为一元一次方程)：。 步骤4：验根(分式方程必考步骤，不可省略) 将整式方程的解代入最简公分母，验证是否为0,分两种情况： 1.若最简公分母不等于0：该解是原分式方程的解； 2.若最简公分母等于0：该解是增根(因违背分母不为0的前提),原分式方程无解。 本题操作：将，故是原方程的解。 1．分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．解方程：． 3．解方程：． 4．解方程：． 考点二 根据分式方程解的情况求参数 1.增根的定义：使分式方程的最简公分母为0的未知数的值，称为分式方程的增根。 关键性质： ①增根是转化后的整式方程的解，但不是原分式方程的解(因违背分母不为0的前提); ②增根是分式方程特有的概念，整式方程无增根。 2.分式方程的解的有效性 分式方程的有效解必须同时满足两个条件： ①是转化后整式方程的解； ②代入最简公分母，最简公分母≠0(即不是增根)。 3.分式方程“无解”的两种情况(中考高频考点，易漏解) 分式方程无解分两类，需分类讨论、合并参数取值，缺一不可： 情况1：转化后的整式方程有解，但解为分式方程的增根(最常见)； 情况2：转化后的整式方程本身无解(初中仅一元一次方程存在此情况)。 4.一元一次方程无解的条件 对于一元一次方程ax=b(a、b为常数)，当未知数系数为0，且常数项不为0(即a=0且b≠0)时，方程无解； 若a=0且b=0,方程有无数个解。 1．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 2．已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 考点三 分式方程的实际应用 分式方程实际应用的解题步骤与整式方程应用题一致，核心差异在列方程的分式特征和双重验根，步骤可简记为：审→设→列→解→验→答(验为核心步骤，不可省略),每步要求明确： 步骤1：审——审清题意，锁定3个关键 通读题干，标注已知量、未知量、关键关系词，确定问题所属类型(行程/工程/销售),找到构成分式的核心量(如行程问题的时间、销售问题的数量)。 步骤2：设——巧设未知数，优先直接设元 直接设元：题目问什么就设什么为未知数x 间接设元：直接设元导致方程复杂时，设与所求量相关的量为x(如求时间，可先设速度为x)；设元后注明未知数的单位，且明确后续用含x的代数式表示的量也为正数。 步骤3：列——找等量关系，列分式方程(核心步骤) 1.找等量关系的3种方法(题干必含提示) ①关键词提示法：根据“相等、相同、早到/晚到t小时、多/少n个、提前x天”等词锁定(如”甲的时间=乙的时间”“甲的时间-乙的时间=1”); ②公式推导法：根据基础公式，结合问题中的“不变量”找(如稀释问题溶质不变、合作工程工作量和为1)； ③列表法：将已知量、未知量(含x的代数式)按“核心量分类”列成表格，直观找到等量关系(适合复杂题)。 2.列方程的关键要求 ①用含x的分式表示核心量(未知量在分母),确保方程为分式方程； ②等式两边的量单位统一，等量关系符合实际逻辑。 步骤4：解——解分式方程，化为整式方程求解 按分式方程的常规解法：找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程，求解过程注意符号、漏乘问题。步骤5：验——双重验根，缺一不可(中考评分点) 这是分式方程应用的特有步骤，未验根会扣分，验根分两步： 1.代数验根：将整式方程的解代入最简公分母，若≠0，排除增根；若=0，为增根，原方程无解； 2.实际验根：将符合代数要求的解代入实际问题，验证是否为正数/正整数，符合实际意义。 步骤6：答——规范作答，注明单位 根据验根后的有效解，回答题目问题，答案必须带单位，且表述贴合题意（如“甲的速度为5km/h““每件商品的进价为20元“）。 1．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 2．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 3．列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 4．法门寺舍利塔，地处于陕西省宝鸡市，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量舍利塔的高度，如图2，塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且舍利塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出舍利塔的高度． 命题点一 解分式方程 ►题型01 判断去分母是否正确 易错点：漏乘方程中无分母的项(最高频) 错因核心：把“去分母”理解为“只消去分母的项”，忽略方程中常数项、单独的未知数项等无分母的项，未将其同乘最简公分母，违背等式基本性质2。 典型错例 解，最简公分母， 错误操作：两边乘，得(漏乘无分母的项“1”)； 正确操作：两边乘,得(所有项均乘公分母)。 避错技巧 去分母前，把方程的每一项用序号/圆圈标记（包括常数项、单独的项），确保一项一乘，无例外。 【典例】解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在解方程的过程中，去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 解分式方程 解分式方程需紧扣化整、验根、避错三大核心，这三点是中考解题的关键，直接决定解题的正确性，归纳为以下最重要的三点，极简易记、直击核心： 一、去分母化整式方程：乘遍每一项，多项式分子必加括号 这是解分式方程的基础，核心遵循等式基本性质，两点硬性要求缺一不可：①方程两边所有项同乘最简公分母，无分母的常数项/单独项绝不能漏乘；②分子是多项式时，去分母后必须加括号，避免后续符号/乘法错误。 二、验根：必代最简公分母验证，排除增根是硬性步骤 这是分式方程的特有核心步骤，也是中考评分点，增根本质是使分母为0的解，整式方程的解必须代入最简公分母验证，若公分母≠0，才是原分式方程的解；若=0，则为增根，原方程无解，此步骤不可省略。 三、找最简公分母：先整理分母(统一相反数分母)、因式分解，再确定 找对最简公分母是去分母的前提，避免因公分母错误导致后续全错：①若出现分母互为相反数(如x-2和2-x)，先变号统一分母；②分母为多项式时，先因式分解(提公因式、平方差)，再取所有因式最高次幂的积作为最简公分母。 【典例】分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】解下列方程： (1) (2) 【变式2】解下列分式方程： (1) (2) 【变式3】解分式方程： (1)； (2)． 命题点二 分式方程中含参问题 ►题型01 已知分式方程解的正负求参数的取值范围 已知分式方程解的正负求参数取值范围核心解题思路 此类题型的核心逻辑是先将分式方程转化为整式方程，用参数表示解，再通过“解的正负特征+分式有意义(排除增根)”双条件列不等式组，两个条件缺一不可，解题全程为固定四步法，无复杂推导，直接套用即可。 通用四步解题法(所有变式题型适配，核心框架) 步骤1：化整——消分母，转化为整式方程 方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为一元一次整式方程(初中考法均为此类); 关键注意：无分母的常数项/单独项必须乘公分母，不能漏乘；分子是多项式时，去分母后先加括号，避免符号错误。 步骤2：表根——用参数表示整式方程的解 将参数当作常数，解转化后的整式方程，得到未知数用参数表示的一次代数式，形式为x=含参数的式子(如)。 步骤3：找增根——确定分式方程的增根 令最简公分母=0，解出的x值即为分式方程的增根； 核心理解：增根本质是使分式方程分母为0的解，是整式方程的解，但不是原分式方程的有效解，即使满足正负特征，也必须排除。 步骤4：列不等式组——双条件联立，求参数范围 这是解题的关键，根据“解为正/负”的要求，列两个条件同时成立的不等式组，逻辑关系为且： ①解为正数：整式方程的解≠增根；整式方程的解>0 ②解为负数：整式方程的解≠增根；整式方程的解<0 最后解该不等式组，所得结果即为参数的取值范围。 【典例】已知关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式3】关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【变式4】已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为 ． ►题型02 分式方程中无解和增根问题 易错点1：求无解时，漏算“整式方程本身无解”的情况 ×错误：只将增根代入求参数，忽略整式方程无解的情况，导致答案不完整； ☑避错：解无解问题时，先在草稿纸标注分两类：增根+整式无解”，完成一类再做另一类，杜绝遗漏。 易错点2：代根时，代入分式方程而非整式方程 ×错误：将增根代入原分式方程(分母为0，无意义)，导致计算错误； ☑避错：增根是整式方程的解，代根时必须代入整理后的整式方程，而非原分式方程。 易错点3：化整时基础变形错误 ×错误：去分母漏乘无分母项、多项式分子未加括号，导致整式方程错误，后续全错； ☑避错：化整前标记方程所有项，确保漏乘；分子是多项式时，先加括号再去分母。 【典例】解分式方程会产生增根，则 ． 【变式1】关于x的分式方程无解，则 ； 【变式2】若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ． 【变式3】若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． ►题型03 分式方程与不等式综合 【典例】若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数的值之积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式1】若关于x的分式方程有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【变式3】若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 命题点三 分式方程的实际应用 ►题型01 列分式方程 【典例】某新能源汽车电池生产车间计划加工800块电池．车间引入新型生产技术后，每天可以比原来多加工20块电池，最终，这批电池的生产时间比原计划缩短了4天，则原计划每天加工多少块电池？设原计划每天加工块电池，所得方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式2】某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从年开始通过拆违建绿、拆墙透绿等方式在全城打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用元购买的A种绿植比用元购买的B种绿植少株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，记载一道题，大意为：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． ►题型02 分式方程中行程问题 分式方程行程问题是中考高频考法，核心是利用行程公式时间构造分式，结合时间差/时间相等的等量关系列方程，解题关键为巧设速度为未知数、找准时间类等量关系、规范双重验根，全程按固定五步走，适配所有同类题型。 核心前提(必记) 1.核心公式：时间(因设速度为未知数时，速度会出现在分母，自然构成分式方程，这是此类题的核心特征)； 2.常见等量关系：题干均围绕时间给出关联(中考唯一考法)，分两种： ①路程相同，速度不同→慢速度的时间-快速度的时间=时间差(如"甲比乙早到1h"“乙比甲晚到2h”)； ②时间相同，路程不同→甲的时间=乙的时间(如“相同时间内，甲走100km,乙走80km”)； 3.单位统一：路程(km/m)、速度(km/h/m/min)、时间(h/min)三者单位必须一致，不一致先统一(如1小时=60分钟)。 【典例】某公司的两台智能机器人“闪电”和“追风”进行40米竞走比赛．第一轮比赛，它们同时从起点出发，当“闪电”到达终点时，“追风”走了全程的．已知“闪电”比“追风”每秒多行走1.2米． (1)求“追风”的行走速度． (2)如果将“闪电”的行走路程增加，“追风”的行走路程不变，两台机器人以原始速度再次比赛，它们能同时到达终点吗？请通过计算说明． 【变式1】八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍． (1)设大巴的平均速度为，列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度； (2)参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．方案A：前半段路程以的速度匀速行驶，后半段路程以的速度匀速行驶；方案B：全程以的速度匀速行驶．如果，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由． 【变式2】深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【变式3】某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． ►题型03 分式方程中工程问题 【典例】甲、乙两个工程队分别完成72千米的道路施工任务．甲队计划前36千米按每天施工a千米完成，剩下的36千米按每天施工b千米完成；乙队计划一半的时间每天施工a千米，另一半的时间每天施工b千米．（已知） (1)当时，甲队恰好6天完成任务，求a的值； (2)如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由． 【变式1】 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【变式2】政府计划在斗南花卉产业园新建一座智能温室示范工程，工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ ►题型04 分式方程中经济问题 【典例】重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． (1)求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 【变式1】“每年4月23日为世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，一个热爱读书的民族，方能行稳致远，心向星辰，铸就民族精神的底蕴与洞见”．某书店在世界读书日之际，计划购进A、B两类图书，A类图书比B类图书每本的进价高，现用960元等额资金，分别购进A，B两类图书，A类图书的数量比B类图书的数量少12本． (1)求A、B两类图书每本的进价； (2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书本及B类图书本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【变式2】由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱，现有两种包含吉祥物的礼盒供顾客选购： (1)已知礼盒的单价比礼盒的单价贵30元，若用880元购买礼盒的数量恰好是用290元购买礼盒数量的2倍．设礼盒的单价为元，则礼盒的单价为______元（直接用含的代数式表示），根据题意可列方程______； (2)某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．求该工厂每天分别生产“喜洋洋”和“乐融融”多少个？ 【变式3】儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． (1)求购进，两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? (3)已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【变式4】“一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．磁器口古镇一茶馆售卖特色茶饮“巴渝云雾”和“沙磁茉莉”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元． (1)求上周末售出这两种茶饮各多少杯？ (2)已知每大罐“巴渝云雾”的成本为180元，每大罐“沙磁茉莉”的成本为160元，一罐“巴渝云雾”和一罐“沙磁茉莉”共计可冲泡35杯，且“巴渝云雾”每杯成本是“沙磁茉莉”每杯成本的1.5倍．求上周末售出这两种茶饮的利润一共多少元？ 突破一 分式方程中新定义问题 【典例】对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 【变式1】对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如 ，按照这个规定，方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．2 【变式2】定义运算“*”：若，则的值为（   ） A． B．6 C．或6 D．或 【变式3】当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 突破二 分式方程中规律探索 【典例】现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，若(都为正整数)，则的结果为（   ） A．91 B．100 C．109 D．110 【变式2】已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（    ） A． B． C． D． 1．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的m个红球和5个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则m的值为（   ） A．10 B．5 C．15 D．9 4．方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．解方程： (1)． (2)． 6．随着全民健身意识的提高和科技的发展，智能健身设备逐渐受到健身爱好者的喜爱．小慧准备购买一台智能跑步机，在A、B两款智能跑步机之间犹豫．小慧通过线上线下调查，获取了以下信息： 信息一：若两款健身设备均运行m小时，A款智能跑步机需要消耗电能7.5千瓦时，B款智能跑步机需要消耗电能5千瓦时，电费为0.6元/千瓦时； 信息二：在运行能耗上，A款智能跑步机每小时比B款智能跑步机多花费0.25元电费．根据以上信息解决下列问题： (1)A、B两款智能跑步机每小时运行电能费用分别是多少元？ (2)若A、B两款智能跑步机每年的其它费用分别为900元和1000元，则每年运行时长为多少小时，买B款智能跑步机的年费用更低？并帮小慧给出购买建议．（备注：年费用年运行费用＋年其它费用） 1．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是 ． 3．【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，． (1)【理解应用】方程的解为______，______． (2)【知识迁移】若方程的解为，，求的值； (3)【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 2．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 4．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 5．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $