4.3 独立性检验-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“独立性检验”核心知识点，先通过实例梳理2×2列联表的统计意义，再系统讲解独立性检验的χ²统计量、步骤及应用，构建从分类变量交叉分类到统计推断的完整知识脉络，形成“概念理解—基础练习—综合应用”的学习支架。 该资料采用“逐点理清式”教学设计，以吸烟与肺癌、阅读达标与性别等实例引导学生用数学眼光观察现实问题中的数量关系，通过“微点练明”和“综合应用”培养逻辑推理的数学思维与数据表达的数学语言能力，课中助力教师分层授课，课后便于学生通过练习巩固知识、查漏补缺。

4.3　独立性检验 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.　2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用. 逐点清(一)　2×2列联表 [多维理解] 　　将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表;称X,Y为分类变量,其中变量X有两个变量值(如A=吸烟和=不吸烟),变量Y有两个变量值(如B=患肺癌和=未患肺癌). 如下表中的抽样数据. X Y 合计 B A a b a+b c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 由于所涉及的两个分类变量X,Y均有两个变量值,所以称上表为2×2列联表. [微点练明] 1.假设有两个分类变量x与y的2×2列联表如表: y1 y2 x1 a b x2 c d 对于以下数据,对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为 (　　) A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4 解析:选D　对于两个分类变量x与y而言,|ad-bc|的值越大,说明x与y有关系的可能性越大.对于A选项,|ad-bc|=|5×2-4×3|=2,对于B选项,|ad-bc|=|5×2-3×4|=2,对于C选项,|ad-bc|=|2×5-3×4|=2,对于D选项,|ad-bc|=|2×4-3×5|=7,显然D中|ad-bc|最大. 2.下面是一个2×2列联表: X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a 21 73 X=1 8 25 33 合计 b 46 则表中a,b处的值分别为　　　　,　　　　.  解析:根据已知条件,结合列联表之间的数据关系,由表中数据可知,a+21=73,所以a=73-21=52,b=a+8=52+8=60. 答案:52　60 3.下表是A,B两所中学的学生对报考某类大学意愿的列联表: 愿意报考 某类大学 不愿意报考 某类大学 合计 A中学 18 37 55 B中学 38 57 95 合计 56 94 150 根据表中的数据回答:A,B两所中学的学生对报考某类大学的态度是否有显著差异? 解:A中学愿意报考某类大学的比例为fA=≈0.327; B中学愿意报考某类大学的比例为fB==0.4. ∵fB-fA≈0.4-0.327=0.073, 即B中学愿意报考某类大学的比例比A中学高了7.3%, ∴A,B两所中学的学生对报考某类大学的态度有显著差异,且B中学更愿意报考. 逐点清(二)　独立性检验 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] (1)χ2统计量: χ2=. (2)定义:利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法,称为两个分类变量的独立性检验. (3)独立性检验的步骤 要推断“X与Y有关系”,可按下面的步骤进行: ①提出统计假设H0:X与Y之间没有关系; ②根据2×2列联表及χ2公式,计算χ2的观测值; ③查临界值表确定临界值x0,然后作出判断. 其中临界值如表所示: P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 例如: ①如果χ2>10.828,就有不少于99.9%的把握认为“X与Y之间有关系”;②如果χ2>6.635,就有不少于99%的把握认为“X与Y之间有关系”;③如果χ2>3.841,就有不少于95%的把握认为“X与Y之间有关系”,如果χ2≤3.841,就认为还没有充分的证据显示“X与Y之间有关系”. [微点练明] 1.如果有99%的把握认为“X与Y有关系”,那么具体算出的数据满足 (　　) A.χ2>6.635 B.χ2>5.024 C.χ2>7.879 D.χ2>3.841 答案:A 2.通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明,得知有的男大学生“不看”,有的女大学生“不看”,若有99%的把握认为性别与是否看营养说明有关,则调查的总人数的最小整数为 (　　) A.150 B.170 C.240 D.180 解析:选D　设男、女大学生各有m人,根据题意列出2×2列联表: 看 不看 合计 男 m m m 女 m m m 合计 m m 2m 所以χ2==, 因为有99%的把握认为性别与是否看营养说明有关,所以>6.635,解得2m>179.145,所以总人数的最小整数为180.故选D. 3.为了调查患胃病是否与生活规律有关,在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下: 患胃病 未患胃病 合计 生活不规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 合计 80 460 540 根据以上数据判断是否有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关. 附:χ2=,n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.025 0.010 0.005 x0 5.024 6.635 7.879 解:提出统计假设H0:40岁以上的人患胃病与生活规律无关. 由公式得χ2=≈9.638. ∵9.638>6.635, ∴有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关. 逐点清(三)　独立性检验的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　为促进全面阅读,建设书香校园,鼓励学生参加阅读活动,某校随机抽查了男、女生各200名,统计他们在暑假期间每天阅读时长,并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”,时长不超过1小时的记为“阅读不达标”,阅读达标与阅读不达标的人数比为1∶1,阅读达标的女生与男生的人数比为3∶2. (1)完成下面的2×2列联表: 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 女生 合计 (2)根据上述数据,能否有99.9%的把握认为“阅读达标情况”与“性别”有关系? (3)从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层抽样的方法抽取5人进行座谈,再从这5人中任选2人,记这2人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望. 解:(1)由题意可知阅读达标与阅读不达标的人数分别为200,200, 阅读达标的女生人数为×200=120,男生人数为×200=80, 据此可得2×2列联表: 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 80 120 200 女生 120 80 200 合计 200 200 400 (2)提出统计假设 H0: “阅读达标情况”与“性别”没有关系. 由(1)可得χ2==16>10.828, 因为当H0成立时,P(χ2≥10.828)≈0.001,所以我们有99.9%的把握认为“阅读达标情况”与“性别”有关系. (3)因为抽取5人中男、女生人数分别为×5=3,×5=2, 由题意可知X的可能取值为0,1,2,则 P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P 数学期望为E(X)=0×+1×+2×=. |思|维|建|模| (1)检验两个变量是否相互独立,主要依据是利用χ2=计算χ2的值,再利用该值与临界值x0进行比较作出判断. (2)计算χ2时要注意,一是公式要清楚;二是代入数值时不能张冠李戴;三是计算时要细心. (3)统计的基本思维模式是归纳,它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质.因此,统计推断是可能犯错误的,即从数据上体现的只是统计关系,而不是因果关系. 　　[针对训练] 　绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲、乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有M元素,乙地土质不含有M元素,其他土质情况均相同,一段时间后,为了弄清楚该品种树苗的成活情况与M元素含量是否有关联,分别在甲、乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计,甲地成活45株,乙地成活40株. (1)根据所给数据,完成下面的2×2列联表(单位:株),并判断能否有90%的把握认为该品种树苗成活与M元素含量有关联. 类别 树苗成活情况 合计 成活 不成活 含M元素 不含M元素 合计 (2)若将频率视为概率,从样本中不成活的树苗中随机抽取3株,其中取自甲地的株数为X,求X的分布列及方差. 解:(1)依题意可得2×2列联表如下: 类别 树苗成活情况 合计 成活 不成活 含M元素 45 5 50 不含M元素 40 10 50 合计 85 15 100 提出统计假设 H0:该品种树苗成活与M元素含量无关联. 根据列联表中的数据,可以求得 χ2==≈1.961<2.706, 因为当H0成立时,χ2≥1.961的概率大于10%,这个概率比较大,不能否定假设H0, 即认为该品种树苗成活与M元素含量无关联. (2)由题意知,不成活的树苗共有15株,甲地不成活的树苗有5株,X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, 故X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1, 方差D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2+×(3-1)2=. 学科网（北京）股份有限公司 $