4.2 第2课时 非线性回归模型-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学非线性回归模型核心知识点，系统梳理幂函数、指数函数、对数函数回归模型的转化方法，通过变量替换（如取对数、令u=ln x等）将非线性问题转化为线性回归，搭建从线性回归到非线性回归的学习支架。 该资料采用习题讲评式教学，通过例题解析、思维建模总结方法、针对训练巩固，培养学生数学思维（转化思想、逻辑推理）和数学语言（模型构建、数据分析），如例1将幂函数模型转化为线性回归，例2通过相关系数比较模型相关性。课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

第2课时　非线性回归模型 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　幂函数回归模型 [例1]　某工厂生产一种不同规格的产品,根据统计分析,其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间的关系可用回归模型y=cxb(b,c都为正常数)进行拟合.现随机抽取6件合格产品,其检测数据如下表: 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)检测标准指出,当产品质量与尺寸的比值在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现从所抽取的6件合格产品中再任选2件,求选中的2件产品均为优等品的概率; (2)经计算,ln xi≈24.6,ln yi≈18.3,(ln xi)2≈101.4,(ln xi·ln yi)≈75.3,求y关于x的非线性回归方程. 附:对于样本数据(ui,vi)(i=1,2,…,n),其回归直线=u+的斜率和截距的最小二乘法分别为==,=-. 解:(1)由题意得随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,3件为非优等品,现从抽取的6件合格产品中再任选2件,选中的2件均为优等品的概率为=. (2)对y=cxb两边取自然对数得ln y= ln c+bln x,令u=ln x,v=ln y,a=ln c,则=u+,由所给统计量及最小二乘法有=≈=0.5,=-≈=1,由=ln 得=e,所以y关于x的回归直线方程为=ex0.5. |思|维|建|模| 幂函数型回归模型的处理方法 幂函数型y=axn(n为常数,a,x,y均取正值),两边取自然对数ln y=ln(axn),即ln y=nln x+ln a,令原方程变为y'=nx'+ln a,然后按线性回归模型求出n,ln a. 　　[针对训练] 1.某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据,散点图如图所示,对数据作出如下处理:令ui=ln xi,vi=ln yi,得到相关数据如表所示: uivi ui vi 30.5 15 15 46.5 (1)从①y=bx+a,②y=m·xk(m>0,k>0)两个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归模型,判断哪个模型符合,不必说明理由; (2)根据(1)中选择的回归模型求出y与x的回归方程. 参考公式:=,=-. 解:(1)由散点图知,年广告费用x和年利润额y的回归模型并不是直线型的,而是曲线型的,且y与x呈正相关. 所以选择回归模型y=m·xk更好. (2)对y=m·xk两边取自然对数, 得ln y=ln m+kln x. 因为v=ln y,u=ln x,所以=ln m+u. 由题表中数据得,=1.5,=1.5, 则===, 所以ln m=-=1.5-×1.5=1, 所以m=e, 所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为=e·. 题型(二)　指数函数回归模型 [例2]　某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划,该研发团队需要了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额,该团队建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数.经过对历史数据的初步处理,得到散点图如图所示.令ui=,vi=ln yi(i=1,2,…,12),计算得到如下数据. (xi-)(vi-) 20 66 770 200 14 (ui-)(yi-) 460 4.20 3 125 000 0.308 21 500 (1)设变量u和变量y的相关系数为r1,变量x和变量v的相关系数为r2,请从相关系数的角度,选择一个y与x相关性较强的模型; (2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程;(系数精确到0.01) (3)若下一年的销售额需达到80亿元,预测下一年的研发资金投入量. 附:≈8.944 3,e4.382 0≈80. 解:(1)由题意知r1====0.86, r2===≈0.91.因为0.86<0.91,所以|r1|<|r2|,故从相关系数的角度,模型y=eλx+t中y与x的相关性较强. (2)由y=eλx+t,得ln y=t+λx,即v=t+λx.因为==≈0.02, 所以=-=4.20-×20≈3.84. 故v关于x的回归直线方程为=0.02x+3.84,即 ln =0.02x+3.84,所以=e0.02x+3.84. (3)将=80代入=e0.02x+3.84,得80=e0.02x+3.84. 因为e4.382 0≈80,所以0.02x+3.84≈4.382,解得x=27.1, 故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. |思|维|建|模| 指数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y=ebx+a的图象,如图所示. (2)处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b. 　　[针对训练] 2.某小微企业对其产品研发的年投入金额x(单位:万元)与其年销售量y(单位:万件)的数据进行统计,整理后得到如下的数据统计表: x 1 5 7 8 9 y 2 3 6 8 11 z=ln y 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 (1)公司拟分别用①y=bx+a和②y=enx+m两种模型作为年销售量y关于年投入金额x的回归分析模型,根据上表数据,分别求出两种模型的回归方程; (2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量. 参考数据:(xi-)(yi-)=42,(xi-)(zi-)=8.6,e2.48≈11.94. 解:(1)由题知,==6,==6,==1.62,所以=(1-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(9-6)2=40, 所以===1.05,=6-1.05×6=-0.3, 所以模型①的回归直线方程为=1.05x-0.3. 由y=enx+m,两边取自然对数可得ln y=nx+m,即=x+, 所以===0.215,=1.62-0.215×6=0.33, 所以模型②的回归方程为=e0.215x+0.33. (2)因为9.9>4.2,即②的残差平方和较小,所以模型②的拟合效果更好. 所以当x=10时,=e0.215×10+0.33=e2.48≈11.94, 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 题型(三)　对数函数回归模型 [例3]　某企业生产一种热销产品,产品日产量为x(x≥1)吨,日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕),且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销,随机收集了某5天的日产量xi(i=1,2,…,5)(单位:吨)和日销售额yi(i=1,2,…,5)(单位:万元)的统计数据,并对这5组数据做了初步处理,得到统计数据如下表: xi yi ui (xi- )2 (yi- )2 (ui- )2 (xi-)· (yi-) (ui-)· (yi-) 15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9 其中,ui=ln xi(i=1,2,…,5),,,分别为数据xi,yi,ui(i=1,2,…,5)的平均数. (1)请从相关系数的角度,判断=x+与=ln x+哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系; (2)根据(1)的结果解决下列问题: ①建立y关于x的回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数); ②如果日产量x(单位:吨)与日生产总成本c(x)(单位:万元)满足关系c(x)=x+3,根据①中建立的回归方程估计日产量x为何值时,日利润r(x)最大? 参考数据:≈40,≈16,≈25. 解:(1)设模型=x+的相关系数为r1, 模型=ln x+的相关系数为r2, 则r1= =≈0.975, r2= =≈0.994. 由于0<r1<r2,所以模型=ln x+拟合得更好,即模型=ln x+更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系. (2)①由(1)知y关于x的回归方程为=ln x+. 由题表可得,===9.937 5≈10,=-=-10×=5,所以=10ln x+5. ②由题意可得r(x)=10ln x+5-x-3=10ln x-x+2(x≥1), 所以r'(x)=-=.令r'(x)=0,得x=20.当1≤x<20时,r'(x)>0,当x>20时,r'(x)<0, 则r(x)的单调递增区间为[1,20),单调递减区间为(20,+∞).所以当x=20时,r(x)最大. 故估计日产量为20吨时,日利润最大. |思|维|建|模| 对数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y=bln x+a的图象,如图所示. (2)处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b. 　　[针对训练] 3.某新能源汽车公司对其产品研发投资额x(单位:百万元)与其月销售量y(单位:千辆)的数据进行统计,得到如下统计表和散点图. x 1 2 3 4 5 y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 (1)通过分析散点图的特征后,计划用y=ln(bx+a)作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型,根据统计表和参考数据,求出y关于x的回归方程; (2)公司决策层预测当投资额为11百万元时,决定停止产品研发,转为投资产品促销.根据以往的经验,当投资11百万元进行产品促销后,月销售量ξ的分布列为 ξ 3 4 5 P p2 p p+ 结合回归方程和ξ的分布列,试问公司的决策是否合理. 参考数据:ln 7≈1.95. y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 ey(保留整数) 2 5 6 8 9 解:(1)因为y=ln(bx+a),令z=bx+a,所以z=ey. 由题可得=(1+2+3+4+5)=3,=(2+5+6+8+9)=6,则====1.7,=-=6-1.7×3=0.9, 所以=1.7x+0.9,所以回归方程为=ln(1.7x+0.9). (2)当x=11时,=ln(1.7×11+0.9)=ln 19.6=ln =ln 2+2ln 7-ln 5≈2.98. 因为p2+p+p+=1且0<p<1,所以p=, 所以E(X)=3×+4×+5×=>2.98, 所以公司的决策合理. 学科网（北京）股份有限公司 $