4.2 第1课时 一元线性回归模型-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“一元线性回归模型”核心知识点，系统梳理回归直线方程、回归分析、随机误差等概念，通过基础落实训练、题型示例（样本中心应用、回归方程求解）及思维建模搭建学习支架，引导学生从概念理解到参数估计再到预测应用。 该资料采用梯度进阶式教学，结合脚长与身高、广告投入与销量等实例，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理参数、用数学语言预测应用的核心素养。课中题型示例助教师高效授课，课后训练助学生查漏补缺，提升实际问题解决能力。

　　　　　　4.2　一元线性回归模型 第1课时　一元线性回归模型 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合具体实例,了解线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义. 2.了解最小二乘原理,掌握线性回归模型参数的最小二乘法. 3.针对实际问题,会用线性回归模型进行预测.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.回归直线方程 在散点图中与各点散布趋势相似的直线叫作回归直线,这条直线的方程叫作回归直线方程. 2.回归分析 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. 在回归分析中,被预测或被解释的变量称为因变量,用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为自变量,用x表示. 3.一元线性回归方程 如果具有相关关系的两个变量x,y可用方程y=a+bx (1)来近似刻画,则称(1)式为y关于x的一元线性回归方程,其中a,b称为回归系数. 由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程,所以估计的回归直线方程形式为=+x. 4.随机误差 当自变量x取值xi(i=1,2,…,n)时,我们将根据回归直线方程估计出的与实际观测值yi的误差,即yi-=yi-(+xi)(i=1,2,…,n),称为随机误差,记作ei. 5.一元线性回归模型 我们把yi=+xi+ei(i=1,2,…,n)这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在线性回归模型中,ε是bx+a预报真实值y的随机误差,它是一个可观测的量. (　　) (2)用最小二乘法求出的可能是正的,也可能是负的. (　　) (3)随机误差平方和越大,一元线性回归模型的拟合效果越好. (　　) (4)回归直线方程=x+必过点(,). (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据,运用Excel软件计算得=0.577x-0.448(x为人的年龄,y为人体脂肪含量).对年龄为37岁的人来说,下面说法正确的是 (　　) A.年龄为37岁的人体内脂肪含量一定为20.90 B.年龄为37岁的人体内脂肪含量约为21.01 C.年龄为37岁的人群中的体内脂肪含量平均为20.90 D.年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为31.5 解析:选C　当x=37时,=0.577×37-0.448=20.901≈20.90,由此估计,年龄为37岁的人群中的体内脂肪含量平均为20.90. 题型(一)　回归直线方程与样本中心 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　为了研究某班学生的脚长x(单位:cm)和身高y(单位:cm)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24 cm,据此估计其身高为 (　　) A.162 cm B.166 cm C.170 cm D.174 cm 解析:选B　根据题意,得=xi=×225=22.5,=yi=×1 600=160,=4,由(22.5,160)在=x+上,得160=4×22.5+,即=70,故=4x+70.令x=24,得y=4×24+70=166,即该学生身高约为166 cm. |思|维|建|模| 　　已知回归直线方程=x+,有以下结论 (1)表示x每增加1个单位,y的平均变化量,>0为正相关,<0为负相关. (2)回归直线过样本中心(,),其他测量值不一定满足方程. (3)由方程得到的值为预测值,有一定的偏差,但有一定的指导作用. 　　[针对训练] 1.已知变量x和y的统计数据如表: x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得回归直线方程=0.6x+,据此可以预测当x=8时,y= (　　) A.8.5 B.9 C.9.5 D.10 解析:选D　==3,==7,则7=0.6×3+,∴=5.2,∴=0.6x+5.2,∴x=8时,预测y=0.6×8+5.2=10.故选D. 2.[多选]根据某班学生的物理成绩(y),数学成绩(x),得到y与x具备线性关系,并求得其线性回归直线方程为=22.05+0.625x,则下列说法正确的是 (　　) A.x与y正相关,说明数学成绩优秀对物理的学习有一定的促进作用 B.某同学数学考了96分,可以预测他的物理成绩约为82分 C.某同学数学因为其他原因没考,则他物理能考22.05分 D.数学每提高1分,物理大约会提高0.625分 解析:选ABD　因为=22.05+0.625x,0.625>0,所以x与y正相关,A正确;将x=96代入方程,得约为82,B正确;用数学成绩预测物理成绩时,应用正常情况下的数学成绩,故C错误;由的意义易知D正确. 题型(二)　求回归直线方程 [例2]　一般来说,广告投入的增加有助于提高产品的知名度和消费者的购买意愿,从而可能带来销量的提升.某商家统计了7个月的月广告投入x(单位:万元)与月销量y(单位:万件)的数据如表所示: 月广告投入x(万元) 1 2 3 4 5 6 7 月销量y(万件) 28 32 35 45 49 52 60 (1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明,并求y关于x的回归直线方程; (2)根据(1)的结论,预计月广告投入大于多少万元时,月销量能突破70万件. 参考数据:(xi-)(yi-)=150,(yi-)2=820,≈37.88. 参考公式:相关系数r=; 回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-. 解:(1)由题意,知==4, ∴(xi-4)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,结合(xi-)(yi-)=150,(yi-)2=820可得, r===≈0.99. 显然y与x的线性相关程度相当高,从而线性回归模型能够很好地拟合y与x的关系. 易知===. ==43, 所以=-=43-×4=. 即y关于x的回归直线方程为=x+. (2)若月销量突破70万件,则x+>70,解得x>=9.04. 故预计当月广告投入大于9.04万元时,月销量能突破70万件. |思|维|建|模| 1.求回归直线方程的基本步骤 (1)列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系; (2)计算:,,,,xiyi; (3)代入公式求出=x+中参数,的值; (4)写出回归直线方程并对实际问题作出估计. [提醒]　只有在散点图大致呈线性相关关系时,求出的回归直线方程才有实际意义,否则求出的回归直线方程毫无意义. 2.使用回归直线方程进行预测时需注意的问题 (1)回归直线方程只适用于所研究的样本的总体. (2)回归直线方程一般都有时效性. (3)自变量的取值不能离样本数据的范围太远,一般自变量的取值在样本数据范围内. 　　[针对训练] 3.市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价x(单位:元)与月销量y(单位:个)之间的一组数据如下表所示: 单价x/元 18 19 20 21 22 月销量y/个 570 520 420 320 270 (1)根据以往经验,y与x具有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程; (2)若这款拖把的进货价为14元/个,根据(1)中回归直线方程,求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.(结果精确到0.1元) 附:回归直线方程y=x+中,=,=-. 解:(1)由题表数据求得=×(18+19+20+21+22)=20,=×(570+520+420+320+270)=420,∴== ===-80. ∴=-=420+80×20=2 020, 故y关于x的回归直线方程为y=-80x+2 020. (2)设每月的总利润Q(x)=(-80x+2 020)(x-14)=-80x2+3 140x-28 280,∵抛物线y=Q(x)的对称轴方程为x==19.625,∴该拖把月利润最大时,拖把的单价为19.6元. 学科网（北京）股份有限公司 $