4.2 第1课时 一元线性回归模型 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

4.2 第1课时 一元线性回归模型 [课时跟踪检测] 1.船员人数y关于船的吨位x的回归直线方程是=95+0.06x.如果两艘轮船吨位相差1 000吨.则船员平均人数相差 (　　) A.40 B.57 C.60 D.95 解析:选C　由于船员人数y关于船的吨位x的回归直线方程是=95+0.06x,两艘轮船吨位相差1 000吨,所以船员平均人数的差值是0.06×1 000=60. 2.已知一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)满足线性相关关系,且回归直线方程为=10x+30,若xi=3,则yi= (　　) A.30 B.60 C.630 D.1 200 解析:选D　易知样本数据的中心点(,)在回归直线方程=10x+30上,又=xi=3,所以=10+30=60,即=yi=60,可得yi=1 200. 3.某地区为研究居民用电量y(单位:度)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天的气温,并得到了如下数据: 气温x/℃ 3 6 9 12 用电量y/度 24 20 14 10 由表中数据得到的回归直线方程为=x+,若=-1.6,则的值为 (　　) A.27 B.29 C.34 D.36 解析:选B　由已知==7.5,==17,所以17=-1.6×7.5+,解得=29. 4.某商店记录了某种产品近5个月的月销售量y(千台)如下表,样本中心为(3,4).由于保管不善,记录的5个数据中有两个数据看不清楚,现用m,n代替,已知3≤m≤4,4≤n≤5,则下列结论正确的是 (　　) 第x个月 1 2 3 4 5 月销售量y 2.5 m 4 n 5 A.在m,n确定的条件下,去掉样本点(3,4),则样本的相关系数r增大 B.在m,n确定的条件下,样本的相关系数r<0 C.在m,n确定的条件下,经过拟合,发现数据基本符合回归直线方程=0.76x+,则=1.7 D.在m,n确定的条件下,经过拟合,发现数据基本符合回归直线方程=0.76x+,则可预计该款商品第6个月的销售量为6 280台 解析:选D　对于A,因为回归直线方程过数据的样本中心(3,4),所以在m,n确定的条件下,去掉样本点(3,4),则样本的相关系数r不变,故A错误;对于B,在m,n确定的条件下,月销售量y随着x的增大而增大,故样本的相关系数r>0,故B错误;对于C,在m,n确定的条件下,样本中心(3,4)在回归直线上,可得4=0.76×3+,解得=1.72,故C错误;对于D,由C得回归直线方程=0.76x+1.72,因为=(0.76×6+1.72)×1 000=6 280台,则可预计该款商品第6个月的销售量为6 280台,故D正确. 5.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则E(X)= B.某人在10次射击中,击中目标次数为X,X~B(10,0.7),当X=7时概率最大 C.在经验回归方程=-0.3x+10中,当自变量每增加1个单位时,因变量将平均减少0.3个单位 D.设随机变量X~B(n,p),若D(X)≤3恒成立,则n的最大值为12 解析:选BCD　因为随机变量X服从两点分布且P(X=0)=,所以P(X=1)=,所以E(X)=0×+1×=,故A错误;P(X=k)=·0.7k·0.310-k, 由 得 解得6.7≤k≤7.7,所以k=7,即当X=7时概率最大,故B正确;在回归直线方程=-0.3x+10中,当自变量每增加1个单位时,因变量将平均减少0.3个单位,故C正确;因为随机变量X~B(n,p),D(X)≤3恒成立,所以D(X)=np(1-p)≤3恒成立,所以np(1-p)=n(p-p2)=-n+≤≤3,所以n≤12,故D正确.故选BCD. 6.[多选]某实验室搜集了大量的A,B两种相似物种,记录其身长为x(单位:cm)与体重y(单位:kg),得A,B两物种的平均身长分别为=5.2,=6.标准差分别为0.3,0.1.令A,B两物种的平均体重分别为,.若A,B两物种其体重y对身长x的回归直线方程分别为lA:=2x-0.6,lB:=1.5x+0.4,相关系数分别为0.6,0.3.现发现一只身长5.6 cm、体重8.6 kg的个体P.则下列说法正确的是 (　　) A.< B.A物种的体重标准差大于B物种的体重标准差 C.点(5.6,8.6)到直线lA的距离小于其到直线lB的距离 D.点(5.6,8.6)与点(,)的距离大于其与点(,)的距离 解析:选BD　对于A,将=5.2,=6分别代入方程lA:y=2x-0.6,lB:y=1.5x+0.4,可得=9.8,=9.4,所以>,所以A错误;对于B,设A,B物种的体重标准差分别为sA,sB,由题中信息可得sA==1,sB==0.5,所以sA>sB,所以B正确;对于C,由点到直线距离公式,点(5.6,8.6)到直线lA的距离为,点(5.6,8.6)到直线lB的距离为,所以C错误;对于D,由点(5.6,8.6)与点(,)的距离d1=,点(5.6,8.6)与点(,)的距离d2=,所以d1>d2,所以D正确. 7.(5分)近年来,政府相关部门引导乡村发展旅游业,助力乡村振兴,建设了旅游景点“秘境大峡谷”,景区内有大型瀑布群、森林覆盖率达98%,是天然氧吧,避暑胜地,吸引了大量游客.据统计该景点2020—2024年第三季度游客人次如下表: 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 游客人次/万人 6 7 9 10 12 已知变量x,y具有线性相关关系,每年第三季度游客人次y(万人)关于年份代码x的回归直线方程为=1.5x+.那么预计该景点2026年第三季度的游客人次约为　　　　　万人.  解析:由题意得=3,==8.8,则样本中心点为(3,8.8),而样本中心点一定在回归直线上,∴=-1.5=8.8-1.5×3=4.3,即得回归直线方程为=1.5x+4.3,所以2026年第三季度,即当x=7时,=1.5×7+4.3=14.8. 答案:14.8 8.(10分)某学校对高一年级学生某次考试成绩进行统计,从全体高一学生中抽出32名学生的数学成绩(x)和物理成绩(y),数据经过处理后,得到一些统计数据和数据关系:xi=3 584,yi=2 368,36(xi-)2=169(yi-)2,其中xi,yi分别表示学生的数学成绩和物理成绩,其中i=1,2,…,32.通过计算得到y与x的相关系数r=0.91. (1)求y与x的回归直线方程;(6分) (2)已知同学甲的此次数学成绩为125分,根据回归直线方程估计其物理成绩是否会超过80分?(4分) 参考公式:=,=-;相关系数r=. 解:(1)由题中数据可得,=xi=112, =yi=74, 由r==0.91得, ==r×=0.91×=0.42, 所以=-=74-112×0.42=26.96, 所以回归直线方程为=0.42x+26.96. (2)当x=125时,=0.42×125+26.96=79.46,即同学甲物理成绩不会超过80分. 9.(15分)某高校统计的连续5天入校参观的人数(单位:千人)如下: 样本号i 1 2 3 4 5 第xi天 1 2 3 4 5 参观人数yi 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得xiyi=85.2,=55,=3,=4.7. (1)求y关于x的回归直线方程,并预测第10天入校参观的人数;(7分) (2)已知该校开放1号,2号门供参观者进出,参观者从这两处门进校的概率相同,且从进校处的门离校的概率为,从另一处门离校的概率为.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响,已知甲、乙两名参观者从1号门离校,求他们从不同门进校的概率.(8分) 解:(1)依题意,====1.47, =-=0.29,所以=1.47x+0.29. 当x=10时,=14.99,所以第10天入校参观的人数约为14.99千人. (2)记“两名参观者从不同门进校”为事件A,“两名参观者都从1号门离校”为事件B,即求P(A|B). 则P(B)=×××+×××+×2=, P(AB)=××××2=, 所以P(A|B)==. 故他们从不同门进校的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $