4.2 第2课时 非线性回归模型 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

4.2 第2课时 非线性回归模型 [课时跟踪检测] 1.某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范,生产成本逐年降低,该公司对2011年至2023年的生产成本y(万元)进行统计,根据统计数据作出如下散点图: 由此散点图,判断下列四个回归方程模型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本y与时间变量x(x的值依次为1,2,…,13)的回归方程模型的是 (　　) A.y=ax2+b(a>0) B.y=ax+b(a>0) C.y=aln x+b(a<0) D.y=+b(a<0) 解析:选C　根据散点图可知,散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围,A是“抛物线型”的拟合函数,且是增加的;B是“直线型”的拟合函数,且是增加的;D是“幂函数型”的拟合函数,且是增加的;只有C的拟合函数符合题意. 2.已知变量y关于x的回归方程为y=ekx-0.2,其一组数据如下表所示.若x=8,则预测y的值为 (　　) x 2 3 4 5 6 y e2.5 e3.5 e5 e6.5 e7.5 A.e10.2 B.e10 C.e9.8 D.e9.5 解析:选A　由y=ekx-0.2,得ln y=kx-0.2,令z=ln y,即z=kx-0.2.因为==4,===5,将点(4,5)代入直线方程=x-0.2中,即5=4k-0.2,可得=1.3,所以回归方程为=e1.3x-0.2,若x=8,则y=e1.3×8-0.2=e10.2. 3.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位:dm2)与水生植物的株数y(单位:株)之间的相关关系,收集了4组数据,用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系,设z=ln y,x与z的数据如表格所示,得到x与z的回归直线方程为=1.2x+,则c= (　　) x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A.-2 B.-1 C.e-2 D.e-1 解析:选C　由已知可得,==5,==4,所以4=1.2×5+,解得=-2,所以=1.2x-2.由z=ln y,得ln y=1.2x-2,所以y=e1.2x-2=e-2·e1.2x,则c=e-2. 4.(5分)由样本数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),得到的回归方程为=x2+,已知如下数据:xi=12,yi=22,=27,则实数的值为　　　　.  解析:令t=x2,则回归方程=t+必过样本中心点(,),又=,=,所以=×+,解得=-. 答案:- 5.(5分)预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料,配以调味料等,经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y(万元)得到如表所示的数据,根据数据得到y关于x的非线性回归方程=. x 1 2 3 4 y e4.2 e4.4 e4.6 e4.8 按照这样的速度,预估第8个月的预制菜市场规模是　　　　　万元.(结果用e表示)  解析:由题设,令z=ln y=-a,则=×(1+2+3+4)=2.5,=×(4.2+4.4+4.6+4.8)=4.5,所以4.5=0.5-a,解得a=-4,则z=+4.所以将x=8代入回归直线方程,得z=5.6,所以=e5.6万元. 答案:e5.6 6.(15分)已知某公司生产不同规格的一种产品,根据检测精度的标准,其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=c·xb(b,c为大于0的常数).现随机从中抽取6件合格产品,测得数据如下: 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 根据测得的数据作出如下处理:令vi=ln xi,ui=ln yi,得相关统计量的值如下表: viui vi ui 75.3 24.6 18.3 101.4 (1)根据所给统计数据,求y关于x的回归方程;(8分) (2)若从一批该产品中抽取n件进行检测,已知检测结果的误差εn满足εn~N,求至少需要抽取多少件该产品,才能使误差εn在(-0.1,0.1)的概率不少于0.954?(7分) 附:①对于样本(vi,ui)(i=1,2,…,n),其回归直线u=v+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为==,=-.②若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954. 解:(1)由y=c·xb两边取对数得ln y=ln c·xb=bln x+ln c.所以=v+ln c.由题表数据得====0.5,=-=-0.5×=1,所以=0.5v+1,即ln y=0.5ln x+1,所以y关于x的回归方程为=e. (2)因为P(|X-μ|<2σ)=0.954,εn~N,所以P=0.954.要想使误差εn在(-0.1,0.1)的概率不少于0.954,则满足2≤0.1,解得n≥800,即至少需要抽取800件该产品,才能使误差εn在(-0.1,0.1)的概率不少于0.954. 7.(15分)“不关注分数,就是对学生的今天不负责;只关注分数,就是对学生的未来不负责.”为锻炼学生的综合实践能力,某中学组织学生对某奶茶店的营业情况进行调查统计,得到的数据如下: 月份x 2 4 6 8 10 12 净利润y/万元 0.9 2.0 4.2 3.9 5.2 5.1 (1)设μi=ln xi,vi=.试建立y关于x的非线性回归方程=ln x+和=+n;(保留2位有效数字)(10分) (2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好,并据此预测次年2月(x=14)的净利润.(保留1位小数)(5分) 附:①相关系数r=; ②参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6,ln 7≈1.9,≈1.4,≈2.4,≈2.8,≈3.2,≈3.5,≈3.7,≈57.6,≈67.7. 解:(1)由题意得=×(ln 2+ln 4+ln 6+ln 8+ln 10+ln 12)=≈1.8, ==3.55, (μi-)(yi-)=(-1.1)×(-2.65)+(-0.4)×(-1.55)+0×0.65+0.3×0.35+0.5×1.65+0.7×1.55=5.55, (μi-)2=(-1.1)2+(-0.4)2+02+0.32+0.52+0.72=2.2, 所以==≈2.5, =3.55-2.5×1.8=-0.95, 所以模型=ln x+的方程为=2.5ln x-0.95.因为=≈2.55, (vi-)(yi-)=(-1.15)×(-2.65)+(-0.55)×(-1.55)+(-0.15)×0.65+0.25×0.35+0.65×1.65+0.95×1.55=6.435,=(-1.15)2+(-0.55)2+(-0.15)2+0.252+0.652+0.952=3.035,所以=≈2.1,=3.55-2.1×2.55≈-1.8,所以模型=+的方程为y=2.1-1.8. (2)因为=(-2.65)2+(-1.55)2+0.652+0.352+1.652+1.552≈15.1, 所以r1==≈≈0.964, r2=≈≈≈0.951. 因为r1更接近1,所以模型y=2.5ln x-0.95的拟合效果更好, 则预测次年2月净利润为y=2.5ln 14-0.95≈5.6万元. 学科网（北京）股份有限公司 $