3.2.4离散型随机变量的方差教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二 册

课题 3.2.4 离散型随机变量的方差 编号 选择性必修 第二册 第三章 第2节 共5课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 《离散型随机变量的方差》是湘教版高中教材《数学.选择性必修.第二册》第三章第2节《离散型随机变量及其分布列》的第四节内容，是在上一节研究了数学期望之后设计的，反映了随机变量与其均值的平均偏离程度，从而更进一步的研究随机变量的现象．解决一些简单的实际问题，揭示了离散型随机变量的统计规律．离散型随机变量的方差作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值，是本章的关键知识之一． 教学目标 理解离散型随机变量的方差、标准差的意义、性质及应用，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决实际问题． 核心素养 ○直观想象 ●数学运算 ●数据分析 ○数学抽象 ●逻辑推理 ●数学建模 教学重点 离散型随机变量的方差、标准差． 教学难点 比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题． 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 复习回顾 1. 离散型随机变量的均值： … … P … … 2. 离散型随机变量期望的性质： 1) 若，则 ． 2)若，则 ． 3)若，则 ． 4)若， ，为常数，则 ． 5)若， 则． 离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平或集中趋势． 但只了解期望是不够的．有时，我们还希望用一个特征数值来反映随机变量偏离期望值的程度，也就是考察随机变量的离散程度． 1. 回顾离散型随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.回顾两点分布与二项分布两种特殊分布的均值. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 问题：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别为 1. 根据已学知识，我们怎么比较两名同学射击水平的高低？【生回答，并求均值，发现均值相等】 2. 认真观察分布列，学生发现甲比乙偏离均值小.如何刻画离散型随机变量与其期望的偏离程度? 探究1：随机变量方差、标准差的概念 表示随机变量与其期望偏离的大小， 表示平均偏离的大小。为了便于数学处理，可用或表示平均偏离的大小. 设离散型随机变量 的分布列为 … … P … … ：随机变量的方差，也可用表示. ：随机变量的标准差，也可用表示. 探究2：随机变量方差、标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量偏离于期望的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散. 计算上述问题中甲、乙两名射手射击成绩的方差，得出结论. 由此可知，射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在8环左右，而射手乙的射击成绩稳定性略差． 思考：随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数, 而样本的方差依赖于样本的选取,带有随机性,即样本方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差会接近于总体方差,因此,我们常用样本方差估计总体的方差. 例1. 若随机变量的概率分布如下表所示，求方差和标准差. 进一步探究，得： 1. 根据方差的定义和数学期望的性质： 2. 方差的几点重要性质： （1）若，则 （2）若，则. （3）若，，为常数，则. 例2. 若某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算： （1）抽出的10件产品中平均有多少件正品； （2）抽出的10件产品中正品数的方差和标准差． 例3. 某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位:万元),Y表示方案二所得收益(单位:万元).其分布列分别为： -2 8 -3 12 P 0.7 0.3 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 引导思考：随机变量的决策问题应该利用哪些数字特征？如何比较？ 再解题并小结：先计算均值，比较随机变量平均水平的高低，再计算方差，比较随机变量取值的稳定性. 由复习引出新的问题，为新知学习铺垫. 旧知类比新知，知识迁移，形成概念. 呼应问题引入，立即应用新知. 深度理解随机变量的方差. 例1考查服从两点分布的随机变量的方差和标准差. 探究出方差的计算公式及3点重要性质. 通过产品检验的情境考查服从二项分布的随机变量的数学期望"方差和标准差 例3是方差的实际应用问题，借助生活中的投资问题，考查学生对于数学期望、方差和标准差含义的理解. 课堂练习 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的方差和标准差. 2. 甲每次投篮命中的概率为0.8,用表示甲在10次相互独立的投篮中命中的次数,计算和. 3. 已知投资项目A和B有如下资料可供投资者参考,试说明投资哪个项目较佳. 项目A 投资回报率 概率 项目B 投资回报率 概率 4. 设随机变量的分布列如下： 求的值. 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正. 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？用到的数学方法有哪些？ 1. 熟记方差计算公式 2. 三个重要的方差公式 3. 求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤. 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P148习题3.2第9、10、11题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P148习题3.2第14题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$