3.2.4 离散型随机变量的方差-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

3．2.4　离散型随机变量的方差 [学习目标]　1.通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.2.会求离散型随机变量的方差、标准差.3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题． 知识点　离散型随机变量的方差 [问题导引]　随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，那么我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征，比如要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”，则如何考察这个班的数学成绩？ 提示：　平均分很难反映成绩的两极分化，引入方差，它反映随机变量取值波动大小． 1．离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋…＋(xi－E(X))2pi＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi 为随机变量X的方差，用σ2表示．并称为随机变量X的标准差，用σ表示． 点拨：　D(ξ)是一个常数，它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量，在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此我们常用样本方差估计总体方差． 2．特殊分布的方差 (1)若X～B(1，p)，则D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． (3)若Y＝aX＋b，a，b为常数，则D(Y)＝a2D(X)． 点拨：　若X～B(1，p)，则E(X)＝p，D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)；根据方差的定义和数学期望的性质，对于离散型随机变量X，可以得到： D(X)＝E{[X－E(X)]2} ＝E{X2－2XE(X)＋[E(X)]2} ＝E(X2)－2E(X)E(X)＋[E(X)]2 ＝E(X2)－[E(X)]2. 角度一　求离散型随机变量的方差 某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算： (1)抽出的10件产品中平均有多少件正品； (2)抽出的10件产品中正品数的方差和标准差． 解析：　因为正品率是98%，所以任取一件产品时，得到正品的概率为0.98. 用X表示抽得的正品数，由于是有放回的随机抽样，所以X服从二项分布X～B(10,0.98)． (1)E(X)＝10×0.98＝9.8， 因此抽出的10件产品中平均有9.8件正品． (2)D(X)＝10×0.98×(1－0.98)＝0.196， 标准差σ＝≈0.44. 求方差的步骤：(1)先求出随机变量X的分布列；(2)再求出E(X)；(3)由方差的计算公式求出D(X)和.本题为特殊的二项分布，代入二项分布的方差公式计算即可．　　 学生用书第109页 即时练1.袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差． 解析：　取球次数X是一个随机变量，X的所有可能取值是1,2,3,4,5. P(X＝1)＝＝0.2， P(X＝2)＝×＝0.2， P(X＝3)＝××＝0.2， P(X＝4)＝×××＝0.2， P(X＝5)＝××××＝0.2. ∴随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2. 即时练2.袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球． (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率； (2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差． 解析：　(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A． 易知第一次取到偶数球的概率为＝， 第二次取球时袋中有三个奇数， 所以第二次取到奇数球的概率为， 而这两次取球相互独立， 所以P(A)＝×＝. (2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球； 若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个数． 所以X的可能取值为3,5,6,7. 所以P(X＝3)＝×＝， P(X