3.1.4-3.1.5 全概率公式 贝叶斯公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学全概率公式与贝叶斯公式核心知识点，基于古典概型和条件概率基础，系统阐述全概率公式将复杂事件概率转化为互斥事件概率求和的原理，及贝叶斯公式在结果已知下求原因概率的应用，构建从概念到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过手机优质率、疾病诊断等实例，培养学生用数学思维分析问题的推理能力和用数学语言表达现实问题的模型观念。课中助力教师分层教学，课后针对训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用与理解。

3.1.4&3.1.5　全概率公式　贝叶斯公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 结合古典概型和具体实例,理解并掌握全概率公式.会利用全概率公式解决简单的应用问题. 1.全概率公式 若将样本空间Ω分为A,两部分,则事件B的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). 若将样本空间Ω分为n部分,则可以推广得到以下结论: 设Ai(i=1,2,…,n)为n个事件,若满足 (1)AiAj=∅(i≠j); (2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,…,n, 则对任一事件B,有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)= P(Ai)P(B|Ai).此公式称为全概率公式. 2.贝叶斯公式* 设A1,A2,…,An满足AiAj=∅(i≠j),且A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任一事件B(其中P(B)>0),由条件概率及全概率公式,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)全概率公式为概率论中的重要公式,它将对一个复杂事件A的概率求解问题,转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. (　　) (2)所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能,在这多种可能中,均有所研究的事件发生,这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. (　　) (3)全概率公式用于求复杂事件的概率,是求最后结果的概率. (　　) (4)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai=Ω. (　　) (5)若P(A)>0,P()>0,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)✕　(5)√ 2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机,其占有率和优质率的信息如下表所示. 品牌 甲 乙 占有率 60% 40% 优质率 95% 90% 从该专卖店中随机购买一部智能手机,则买到的是优质品的概率是 (　　) A.93% B.94% C.95% D.96% 解析:选A　买到的是优质品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%. 3.某种疾病的患病率为0.5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人验血结果为阳性,患者中有2%的人验血结果为阴性,随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为 (　　) A.0.068 9 B.0.049 C.0.024 8 D.0.02 解析:选C　随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为P=0.5%×(1-2%)+(1-0.5%)×2%=0.024 8. 题型(一)　全概率公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　长假期间,某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选,第一条路堵车的概率为,第二条路堵车的概率为,第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率. 解:设事件Bi(i=1,2,3)表示“走第i条路”,事件A表示“堵车”. 则P(B1)=P(B2)=P(B3)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=, 所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 所以从甲地到乙地堵车的概率为. |思|维|建|模| 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). (2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 　　[针对训练] 1.已知A,B为两个随机事件,0<P(B)<1,若P(B)=0.4,P(B|A)=0.7,P(B|)=0.3,则P(A)= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.7P(A)+0.3P()=0.7P(A)+0.3[1-P(A)],即0.4=0.4P(A)+0.3,解得P(A)=. 2.某批麦种中,一等麦种占80%,二等麦种占20%,等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 (　　) A.0.48 B.0.52 C.0.56 D.0.65 解析:选B　设“种植一等麦种和二等麦种”的事件分别为A1,A2,“所结麦穗含有50粒以上麦粒”为事件B,依题意,得P(A1)=0.8,P(A2)=0.2,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.2,由全概率公式得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故选B. 题型(二)　全概率公式的实际应用 [例2]　为了考查学生对高中数学知识的掌握程度,准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中,甲箱中有2道概念叙述题,2道计算题;乙箱中有2道概念叙述题,3道计算题(所有题目均不相同).现有A,B两个同学来抽题回答,每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答,答完题目后不放回,再抽取一道题作答(不在题目上作答).两道题答题结束后,再将这两道题目放回原纸箱. (1)如果A同学从甲箱中抽取两道题,求第二题抽到的是概念叙述题的概率; (2)如果A同学从甲箱中抽取两道题,解答完后,误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答,若他从乙箱中抽取两道题目,求第一个题目抽取概念叙述题的概率. 解:(1)设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”,i=1,2, 则P(A1)=,P(A2|A1)=,P(A2|)=, 所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=. (2)设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题”,事件B2表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是计算题”,事件B3表示“A同学从甲箱中取出1道概念叙述题、1道计算题”,事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目,第一个题目抽取概念叙述题”, 则P(B1)==,P(B2)==, P(B3)===,P(C|B1)==, P(C|B2)==,P(C|B3)==, 所以P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=×+×+×=. |思|维|建|模| 　　当直接求事件A发生的概率不易求出时,可以采用化整为零的方式,即把事件A分解,然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 　　[针对训练] 3.设甲袋中有4个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同). (1)从甲袋中取4个球,求这4个球中恰好有3个红球的概率; (2)先从乙袋中取2个球放入甲袋,再从甲袋中取2个球,求从甲袋中取出的是2个红球的概率. 解:(1)依题意知,从甲袋8个球中取4个球有种取法,其中4个球中恰好有3个红球, 即恰好有3个红球、1个白球,有种取法, 所以4个球中恰好有3个红球的概率 P==. (2)记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”,A2为“从乙袋中取出2个红球”,B为“从甲袋中取出2个红球”, 则P(A1)==,P(A2)==, P(B|A1)==,P(B|A2)==, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 题型(三)　贝叶斯公式* 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　玻璃杯整箱出售,共3箱,每箱20只.假设各箱含有0,1,2只残次品的概率对应为0.8,0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机查看4只玻璃杯,若无残次品,则买下该箱玻璃杯;否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”,事件Bi表示“箱中恰好有i(i=0,1,2)只残次品”,求: (1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A); (2)在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率P(B0|A). 解:(1)由题设可知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,且P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==, 所以P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+0.1×=. 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. (2)因为P(B0|A)===,所以在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率是. |思|维|建|模| 　　若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验具体结果怎样未知,那么:(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,要熟记这个特征. 　　[针对训练] 4.某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率有多大? 解:设“抽查的人患有癌症”为事件C,“试验反应为阳性”为事件A,则“抽查的人不患癌症”为事件, 已知P(C)=0.005,P()=0.995, P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04, 由贝叶斯公式得 P(C|A)= =≈0.106 6. 所以此人是癌症患者的概率约为0.106 6. 学科网（北京）股份有限公司 $