3.1.4全概率公式学案-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3．1.4　全概率公式 学习目标 (1)理解并熟记全概率公式．(2)会利用全概率公式解决实际问题． 课前预习 要点　全概率公式 设Ai(i＝1，2，…，n)为n个事件，若满足 (1)AiAj＝∅(i≠j)； (2)A1＝Ω； (3)P(Ai)>0，i＝1，2，…，n. 则对任一事件B，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋ P(An)P(B|An)＝ 此公式称为全概率公式． 特别地，若将样本空间Ω分为A，两部分，则事件B的概率为P(B)＝______________． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)全概率公式中，A1，A2，…，An必须是一组两两互斥的事件．(　　) (2)使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间．(　　) (3)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．(　　) 2．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为(　　) A．0.068 9 B．0.049 C．0.024 8 D．0.02 3．甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 4．已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.1，则P(B)＝________． 题型探究·课堂解透——强化创新性 题型1　全概率公式的简单应用 例1　已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.4，P(B|)＝0.1，求P(B)和P(A|B)． 方法归纳 解决此类问题，要熟练应用以下公式并且注意各事件间的关系： (1)P(A)＝P(AB)＋P(A)； (2)条件概率公式和乘法公式： P(AB)＝P(A)P(B|A)，P(B|A)＝. (3)全概率公式： P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． 巩固训练1　已知P()＝0.9，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.4，求P()，P(A|B)． 题型2　全概率公式的实际应用 例2　甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7. 如果一人击中飞机，飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 方法归纳 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂的事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果．用树状图表示如下： 巩固训练2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 3．1.4　全概率公式 课前预习 要点 P(A)P(B|A)＋P()P(B|) [基础自测] 1．(1)√　(2)√　(3)√ 2．解析：随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为 P＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8. 答案：C 3．解析：设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”， 则P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝，P(C|B)＝＝， 故P(C)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝＝. 答案：D 4．解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.6＋0.2×0.1＝0.5. 答案：0.5 题型探究·课堂解透 例1　解析：由题意可知，P()＝1－0.8＝0.2，所以 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.4＋0.2×0.1＝0.34， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.4＝0.32， 所以P(A|B)＝＝＝. 巩固训练1　解析：由题意可得P(A)＝1－P()＝0.1， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.1×0.6＋0.9×0.4＝0.42. 则P()＝1－0.42＝0.58. P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.1×0.6＝0.06，所以P(A|B)＝＝＝. 例2　解析：以B表示事件“飞机被击落”，A0表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”，A3表示事件“三人同时击中飞机”． 根据题意有P(A0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)＝0.09， P(A1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.7)＋0.5×(1－0.4)×(1－0.7)＋0.7×(1－0.4)×(1－0.5)＝0.36， P(A2)＝0.4×0.5×(1－0.7)＋0.5×0.7×(1－0.4)＋0.4×0.7×(1－0.5)＝0.41， P(A3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14， P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2， P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1， 根据全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B |A1)＋ P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1 ＝0.458. 巩固训练2　解析：用事件A1、A2、A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌， 事件B表示“买到的是优质品”， 则Ω＝A1且A1，A2，A3两两互斥， 依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%， 且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%， 因此，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 学科网（北京）股份有限公司 $$