3.1.5 贝叶斯公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

3.1.3　乘法公式　3.1.4　全概率公式　*3.1.5　贝叶斯公式 [学习目标]　1.结合古典概型，会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 知识点一　乘法公式 [问题导引]　一个盒子装2个白球，3个红球，不放回地随机摸球，每次摸出一个，事件A＝“第一次摸出红球”，事件B＝“第二次摸出红球”，事件C＝“第三次摸出红球”，那么事件ABC＝“三次都摸出红球”的概率是多少？ 提示：　样本空间基本事件的总数为n＝C＝10，“取三个红球”包含基本事件数m＝C＝1，所以P(ABC)＝＝，换条件概率的角度：P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，P(C|AB)＝＝，则 P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝＝P(ABC)． 概率的乘法公式 (1)若P(AB)>0，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB) (2)若Ai(i＝1,2,3，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)常称为概率的乘法公式． 点拨：　(1)式是(2)式的特例(n＝3时)，当n＝2时P(AB)＝P(A)P(B|A)(P(A)>0)； 若事件Ai(i＝1,2,3，…，n)相互独立，则②式变为P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)·…·P(An)． 角度一　概率乘法公式(事件个数不超过3个) 的应用 一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取三次，第三次才取得一等品的概率． 解析：　令Ai为第i(i＝1,2,3)次取得一等品． (1)P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1) ＝×＝. (2)P(1 2A3)＝P(1)P(2|1)P(A3|12) ＝××＝. 审清题意，进行建模，利用概率乘法公式求概率．　　 即时练1.在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率． 解析：　设A：甲中奖，B：乙中奖，则P(A)＝＝. (1)因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(B|A)＝， 根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (2)因为P(A)＋P()＝1 ，所以P()＝， 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(B|)＝， 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 P(B) ＝P()P(B|)＝×＝. 角度二　概率乘法公式(事件个数超过3个)的应用 一场精彩的足球赛即将举行，5个球迷好不容易才买到一张入场券．大家都想去，只好用抽签的方法来决定．准备5张同样的卡片，其中一张卡片的正面写有“入场券”，其余的什么也不写．将它们背面朝上放在一起洗匀，让5个人依次不放回地抽取．问后抽比先抽的吃亏吗？ 学生用书第91页 解析：　我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”(i＝1,2,3,4,5)，则i表示“第i个人未抽到入场券”． 由题意可得，P(A1)＝，P(1)＝. 也就是说，第1个人抽到入场券的概率是. 若第2个人抽到了入场券，则第1个人肯定没抽到，即A2＝1A2， 由乘法公式P(A2)＝P(1)P(A2|1)计算可得 P(A2)＝×＝. 同理，第3个人要抽到入场券，必须第1个、第2个人都没有抽到，因此 P(A3)＝P(12A3) ＝P(1)P(2|1)P(A3|12) ＝××＝. 同理可得P(A4)＝P(123A4) ＝P(1)P(2|1)P(3|12)P(A4|123) ＝， P(A5)＝P(1234A5) ＝P(1)P(2|1)P(3|12)P(4|123)P(A5|1234) ＝. 也就是说，每个人抽到入场券的概率都是. 因此，抽签不必争先恐后． 事件个数多时容易产生混淆，审清题意，求解概率．　　 即时练2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为 ． 解析：　用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95.5%, P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%, P(A4