3.1.2-3.1.3 事件的独立性 乘法公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦事件的独立性与乘法公式核心知识点，系统梳理独立性概念、概率公式及与互斥事件的区别，通过条件概率推导乘法公式并推广至n个事件，构建从概念理解到公式应用的学习支架，衔接条件概率知识，为复杂概率计算奠定基础。 该资料采用梯度进阶式教学，设基础训练与题型分类（独立性判断、概率计算、乘法公式应用），结合实例（如射击、取球）培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），课中助力教师分层教学，课后通过思维建模与针对训练帮助学生巩固提升，查漏补缺。

3.1.2&3.1.3　事件的独立性　乘法公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解两个事件相互独立的概念.　2.理解事件的独立性与条件概率的关系. 3.结合古典概型,会用乘法公式计算概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.事件的独立性 (1)事件独立性的概念 如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响,则称A1,A2,…,An相互独立. (2)事件的独立性的概率公式 一般地,当n(n>2)个事件A1,A2,…,An相互独立时,有以下公式成立: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An). (3)相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A,B同时发生,记作:AB 互斥事件A,B中有一个发生,记作:A∪B(或A+B) 计算 公式 P(AB) =P(A)P(B) P(A∪B) =P(A)+P(B) 2.乘法公式 由条件概率的计算公式可知,对于两个事件A,B,由P(B|A)=可得P(AB)=P(A)P(B|A),P(A)>0.　① 如果三个事件A,B,C不相互独立,若P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).　② 将①②式推广到n个事件,则有: 若Ai(i=1,2,…,n)为随机事件,且P(A1A2·…·An-1)>0,则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).　③ ③式常称为概率的乘法公式. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　) (3)如果事件A与事件B相互独立,则P(B|A)=P(B). (　　) (4)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为0.9与0.6,且预报准确与否相互独立,那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是 (　　) A.0.04 B.0.36 C.0.54 D.0.94 解析:选A　甲气象台预报不准确的概率为1-0.9=0.1,乙气象台预报不准确的概率为1-0.6=0.4,故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是0.1×0.4=0.04,故选A. 3.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(BA)= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为P(B|A)=,P(A)=,所以P(BA)=P(A)P(B|A)=×=. 4.某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为 (　　) A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 解析:选A　记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5.所以P(AB)=P(B|A)P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的概率为0.4. 题型(一)　事件独立性的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　判断下列事件是否相互独立: (1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”. (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”. 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以两个事件相互独立. (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不相互独立. |思|维|建|模| 两个事件是否相互独立的判断方法 (1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)定义法:当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B相互独立. (3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 　　[针对训练] 1.[多选]下列事件A,B不是相互独立事件的是 (　　) A.一枚硬币掷两次,事件A表示“第一次为正面向上”,事件B表示“第二次为反面向上” B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两次,每次摸一个球,事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子,事件A表示“出现点数为奇数”,事件B表示“出现点数为偶数” D.事件A表示“人能活到20岁”,事件B表示“人能活到50岁” 解析:选BCD　对于A,A,B两个事件发生没有关系,故是相互独立事件;对于B,A事件发生时,影响到B事件,故不是相互独立事件;对于C,由于掷的是同一枚骰子,A,B是对立事件,所以不是相互独立事件;对于D,能活到20岁的,可能也能活到50岁,故A,B不是相互独立事件,故选BCD. 2.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析:选B　P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁).故选B. 题型(二)　相互独立事件发生的概率 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求: (1)2人都射中目标的概率; (2)2人中恰有1人射中目标的概率; (3)2人至少有1人射中目标的概率. 解:记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与,与为相互独立事件. (1)2人都射中目标的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72, ∴2人都射中目标的概率是0.72. (2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件A发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件B发生).根据题意,事件A与B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的乘法公式,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26, ∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)法一　2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+P(A)+P(B)=0.72+0.26=0.98. 法二　“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,2人都未击中目标的概率是P( )=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02, ∴2人至少有1人射中目标的概率为P=1-P( )=1-0.02=0.98. |思|维|建|模| 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的; (2)确定这些事件可以同时发生; (3)求出每个事件的概率,再求积. 　　[针对训练] 3.某地医疗科研机构都在研究某种疫苗,现有甲、乙、丙三个独立的科研机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求: (1)他们都研制出疫苗的概率; (2)恰有一个机构研制出疫苗的概率; (3)至少有一个机构研制出疫苗的概率. 解:(1)设“甲机构在一定时期研制出疫苗”为事件A,“乙机构在一定时期研制出疫苗”为事件B,“丙机构在一定时期研制出疫苗”为事件C, 则他们都研制出疫苗的概率为 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=. (2)设“恰有一个机构研制出疫苗”为事件M, 则P(M)=P(A ∪ B∪ C)=P(A )+P( B )+P( C) =××+××+××=. (3)设“至少有一个机构研制出疫苗”为事件N, 则P(N)=1-P( )=1-P()P()P()=1-××=. 题型(三)　乘法公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次.求: (1)第一次取得白球的概率; (2)两次都取得白球的概率; (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解:设事件A表示“第一次取得白球”,事件B表示“第二次取得白球”,则事件表示“第一次取得黑球”,由题意得, (1)P(A)==. (2)P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. (3)P(B)=P()P(B|)=×=. 　　|思|维|建|模| 　　乘法公式揭示了P(A),P(B|A),P(AB)三者之间的关系,在解题时只要知道其中的两个就可以求出第三个,最主要在于分析实际问题中已知的是什么,要求的是什么,从另一个方面可以理解乘法公式就是利用条件概率P(A|B)来计算P(AB)的.乘法公式是普遍成立的,只要作为“条件的事件”的概率不为零. 　　[针对训练] 4.已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时,屏幕第一次未碎掉的概率为0.5,当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3,试求这样的手机从1 m 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率. 解:设事件Ai表示“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”,i=1,2,则由已知可得P(A1)=0.5,P(A2|A1)=0.3, 因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)=0.5×0.3=0.15.即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15. 学科网（北京）股份有限公司 $