2.4.3 向量与夹角-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

2.4.3　向量与夹角 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解两异面直线所成的角与它们方向向量之间的关系,会用向量方法求异面直线所成的角. 2.理解直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成的角. 3.理解二面角的大小与两个平面法向量之间的关系,会用向量方法求两个平面所成的角. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.直线与直线的夹角 设两条异面直线a与b所成的角为θ,它们的方向向量分别是v1,v2,设v1与v2的夹角为φ,则θ=φ或θ=π-φ,所以cos θ=|cos φ|=|cos<v1,v2>|=. 2.直线与平面所成的角 当直线l与平面α相交且不垂直时,设它们所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,则θ=-φ或θ=φ-,因此sin θ=|cos φ|=|cos<v,n>|=. 3.两个平面所成的角 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角,二面角的大小可用它的平面角来度量,二面角的取值范围为[0,π]. (2)两个平面所成的角:两个平面相交会形成四个二面角,一般规定较小的二面角为两平面所成的角,其取值范围是,当两个平面平行时,它们所成的角为0°. (3)设两个平面α1和α2所成的角为θ,平面α1,α2的法向量分别为n1和n2,记<n1,n2>=φ,则θ=φ或θ=π-φ,cos θ=|cos φ|=|cos<n1,n2>|. |微|点|助|解| (1)两异面直线夹角的范围是,其余弦值一定是非负数. (2)两异面直线的夹角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. (3)直线与平面的夹角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. (4)线面角的范围为. (5)直线与平面的夹角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 基础落实训练 1.设两条异面直线a,b的方向向量分别为a=(-1,1,0),b=(0,-1,1),则a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为两条异面直线a,b的方向向量分别为a=(-1,1,0),b=(0,-1,1),cos<a,b>==-=-,所以a与b夹角的余弦值为,所以a与b的夹角为. 2.若直线l的一个方向向量u=(1,0,1),平面α的一个法向量n=(0,-1,1),则l与α的夹角为 (　　) A. B. C.或 D.或 解析:选A　设l与α的夹角为θ,因为直线l的一个方向向量u=(1,0,1),平面α的一个法向量n=(0,-1,1),所以sin θ=|cos<u,n>|==,因为0≤θ≤,所以θ=. 3.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,1),n=(1,-1,0),则这两个平面的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.60°或120° D.120° 解析:选B　cos<m,n>===-,因为向量夹角范围为[0,π],故两向量夹角为π,故两平面夹角为,即60°,故选B. 题型(一)　两条直线的夹角 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则AM与CN夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,如图,以C为原点,以CB,CA,CC1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,令BC=CA=CC1=2,则A(0,2,0),M(1,1,2),C(0,0,0),N(0,1,2), ∴=(1,-1,2),=(0,1,2), ∴cos<,>===. 令AM与CN的夹角为θ,则cos θ=|cos<,>|=. |思|维|建|模| 用坐标法求两直线夹角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出两条直线的方向向量的坐标; (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角; (4)结合异面直线所成的角的范围求出直线夹角. 　　[针对训练] 1.如图,在圆锥SO中,AB是底面圆O的直径,D,E分别为SO,SB的中点,OC⊥AB,SO=AB=4,则AD与CE夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析: 选C　以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,0,0),A(0,2,0),D(0,0,2),E(0,-1,2),所以=(0,-2,2),=(-2,-1,2),所以AD与CE夹角的余弦值为|cos<,>|===. 2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E在线段CD1上,若BE与AD1夹角的余弦值为,求线段BE的长. 解: 如图,分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),设E(0,t,1-t), 则=(-1,0,1), =(-1,t-1,1-t), ∵BE与AD1夹角的余弦值为, ∴|cos<,>|= ==. 解得t=,=, ∴||==. 题型(二)　直线与平面所成的角 [例2]　如图,已知多面体ABC-A1B1C1中,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.请用空间向量的方法解答下列问题:求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值. 解: 如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,以过O点平行于CC1的直线为z轴,建立空间直角坐标系.由题意知A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,,1). 设直线AC1与平面ABB1的夹角为θ,可知=(0,2,1),=(1,,0),=(0,0,2). 设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z), 则即令y=1,则x=-,z=0,可得平面ABB1的一个法向量n=(-,1,0). ∴sin θ=|cos<,n>|==. ∴直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值是. |思|维|建|模| 用坐标法求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出直线的方向向量u和平面的法向量n的坐标; (3)设线面角为θ,则sin θ=; (4)由θ∈,求θ. 　　[针对训练] 3. 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,M为A1B1的中点,求BC1与平面AMC1所成角的正弦值. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),M,C1,B(0,a,0), 故=, =, =. 设平面AMC1的法向量为n=(x,y,z),则即 令y=2,则z=-,x=0. ∴n=, ∴cos<,n>===-. 设BC1与平面AMC1的夹角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=, 即BC1与平面AMC1所成角的正弦值为. 题型(三)　平面与平面所成的角 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠ABC=90°,PA=BC=1,E是AB的中点.PB=AC=2,求平面BPC与平面EPC所成角的余弦值. 解:因为平面PAC⊥平面ABC,且AC为交线,PA⊥AC,PA⊂平面PAC, 所以PA⊥平面ABC,以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为PB=AC=2,PA=BC=1,在Rt△ABC中,AB===, 所以B(0,0,0),P(0,,1),C(1,0,0),E,=(-1,,1),=(0,-,-1), =. 设平面BPC的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则即 令y1=1,则m=(0,1,-). 设平面EPC的一个法向量为n=(x2,y2,z2), 则即 令y2=2,则n=(,2,-). 设平面BPC与平面EPC的夹角为θ,则cos θ===, 所以平面BPC与平面EPC所成角的余弦值为. 　　|思|维|建|模| 1.利用向量法解二面角问题的策略 找法向 量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 2.两个平面所成角的向量求法 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面所成的角,用坐标法解题的步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量n1,n2;(3)计算:cos θ=. 　　[针对训练] 4.若在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E是BB'的中点,则二面角E-A'D'-D的平面角的正切值为 (　　) A. B.2 C. D.2 解析:选B　 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA'所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为a, 则E,A'(0,0,a), D'(0,a,a),D(0,a,0), =,=(0,a,0), 设平面EA'D'的法向量为m=(x,y,z), 则令x=1,则y=0,z=2, 所以m=(1,0,2).易知平面A'D'D的一个法向量为n=(1,0,0),设二面角E-A'D'-D的平面角为θ,可以看出为锐角,则cos θ===, 则sin θ==,故tan θ==2. 5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为1,求平面ABC与平面AB1C1所成的角. 解:以C为原点,在平面ABC中,过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系, 由题意A(,1,0),B1(0,2,1),C1(0,0,1),则=(-,1,1),=(-,-1,1),设平面AB1C1的法向量n=(x,y,z), 则 得令x=1得n=(1,0,),易知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1), 所以|cos<m,n>|==. 设平面ABC与平面AB1C1所成的角为θ, 则cos θ=,所以θ=, 所以平面ABC与平面AB1C1所成的角为. 学科网（北京）股份有限公司 $