2.4.3 向量与夹角 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

2.4.3　向量与夹角 [课时跟踪检测] 1.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为 (　　) A. B.- C. D.或- 解析:选D　因为=.所以这个二面角的余弦值为或-. 2.已知平面α的一个法向量为n=(-,-2,1),点A(-1,2,1)在平面α内.若点P的坐标为(-1,1,1),则直线PA与平面α所成的角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题得=(0,1,0),则n·=(-,-2,1)·(0,1,0)=-2.设直线PA与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==,因为θ∈,所以θ=. 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=2,BC=CC1=4,点D是棱AB的中点,则平面ABB1A1与平面B1CD所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析: 选B　如图,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4),=(2,-4,0),=(0,0,4),设平面ABB1A1的法向量n=(x,y,z),则令x=2,则y=1,z=0,∴n=(2,1,0),同理可得平面B1CD的一个法向量m=(2,-1,1),故cos<n,m>===,设平面ABB1A1与平面B1CD所成的角为θ,则cos θ=,故平面ABB1A1与平面B1CD所成角的正弦值sin θ==. 4.如图,在由三棱柱截得的几何体ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AB⊥AC,AA1=2,BB1=CC1=1,AC=2,点D,E,F分别是棱B1C1,A1C1,BB1的中点.若直线A1D与EF夹角的余弦值为,则AB= (　　) A.1 B.2 C. D.4 解析: 选A　以点A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设AB=x(x>0),则A1(0,0,2),E,F,B1(x,0,1),C1(0,2,1),D,=,=(x,-1,-1),所以直线A1D与EF夹角的余弦值|cos<,>|===,解得x=1(舍负),故选A. 5.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为,则正四棱柱的高为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析: 选D　以D为原点,以DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设DD1=a(a>0),则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,a),C1(0,2,a),故=(-2,2,0),=(-2,0,a),=(0,0,a),设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则 可取n=,故cos<n,>===. 又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为, ∴=,解得a=4(舍负). 6.我们称:两个相交平面构成四个二面角,其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角;由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中,两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析: 选A　平面ABCD和平面ADD1A1的夹角为90°,D错误.平面ABCD和平面A1BCD1的夹角为45°,B错误.设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), D1(0,0,1),=(0,1,0),=(-1,-1,1),设平面ABC1D1的法向量为m=(x1,y1,z1), 则故可设m=(1,0,1).=(1,0,0),设平面A1BCD1的法向量为n=(x2,y2,z2), 则故可设n=(0,1,1),设平面ABC1D1与平面A1BCD1的夹角为θ,则cos θ===,由于0°≤θ≤90°,所以θ=60°,所以C错误.所以夹角大小不可能为30°. 7.(5分)设平面α的一个法向量为n=(a,0,1),直线l的一个方向向量为d=(3,-4,0),若直线l与平面α所成的角为,则正数a=　　　.  解析:依题意可得|cos<n,d>|==sin,即=,解得a=(舍负). 答案: 8.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为　　　　.  解析:以D为坐标原点,建系如图, 则B(1,2,0),C1(0,2,2),A(1,0,0),E(0,2,1),所以=(-1,0,2),=(-1,2,1).则cos<,>=,所以异面直线BC1与AE夹角的余弦值为. 答案: 9.(5分)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是　　　　.  解析:如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系. 设OD=SO=OA=OB=OC=a(a>0),则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则即 令y=1,则x=0,z=1, ∴n=(0,1,1).设直线BC与平面PAC所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==,∴直线BC与平面PAC所成的角为30°. 答案:30° 10.(5分)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4,则异面直线AQ与PB所成角的正弦值为　　　　.  解析:由题设知,四边形ABCD是正方形,连接AC,BD,交于点O,则AC⊥BD,则OP⊥平面ABCD,OQ⊥平面ABCD, 故PQ⊥平面ABCD,故以O为原点,以OA,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0), =(-2,0,-2),=(0,2,-1), 则cos<,>==, 则sin<,>==,所以异面直线AQ与PB所成角的正弦值为. 答案: 11.(5分)如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED所成的角为45°,则AE=　　　　.  解析:如图,以O为坐标原点,以OA,OB所在直 线分别为x轴,y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a,则B(0,,0),D(0,-,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),∴=(-1,0,3),=(0,2,0),=(-1,,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,z),则即则y=0,令z=1,得x=-a,∴n=(-a,0,1),∴cos<n,>==.∵直线OF与平面BED所成角的大小为45°,∴=,解得a=2或a=-(舍去),∴AE=2. 答案:2 12.(15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点. (1)求BC1与AE夹角的余弦值;(8分) (2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.(7分) 解: (1)以点A为坐标原点,以AD,AB,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),B(0,2,0),C1(2,2,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),A1(0,0,2), 所以=(2,0,2),=(0,2,1), 所以cos<,>===,所以BC1与AE夹角的余弦值为. (2)由(1)知=(2,0,2),=(0,2,1),=(0,0,2),设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z), 则令y=1,则n=(2,1,-2),设直线AA1与平面AD1E所成的角为α, 则sin α=|cos<n,>|===,因此直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为. 13.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2AB=4,PA=2,且∠ABC=60°,点E为棱PD上一点(不与P,D重合),平面BCE交棱PA于点F. (1)求证:BC∥EF;(5分) (2)若E为PD中点,求平面ACE与平面PAD所成角的余弦值.(10分) 解:(1)证明:因为BC∥AD,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD,又BC⊂平面BCEF,平面BCEF∩平面PAD=EF,所以BC∥EF. (2)取BC中点为M,连接AM, 因为AB=BC,且∠ABC=60°, 所以△ABC为等边三角形, 所以AM⊥BC,又AD∥BC, 所以AM⊥AD. 以A为原点,以AM,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),C(,1,0),E(0,2,1),所以=(0,2,1),=(,1,0). 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), 则令x=, 则y=-3,z=6,得n=(,-3,6). 因为AM⊥平面PAD,所以平面PAD的一个法向量m=(1,0,0), 设平面ACE与平面PAD的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|==. 14.(15分)(2023·新课标Ⅱ卷)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA;(5分) (2)点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值.(10分) 解: (1)证明:如图,连接DE,AE,因为DC=DB,且E为BC的中点,所以DE⊥BC. 因为∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,DB=DC, 所以△ADB≌△ADC. 可得AC=AB,故AE⊥BC.因为DE∩AE=E,DE,AE⊂平面ADE,所以BC⊥平面ADE. 又DA⊂平面ADE,所以BC⊥DA. (2)由(1)知,DE⊥BC,AE⊥BC. 不妨设DA=DB=DC=2,因为∠ADB=∠ADC=60°,所以AB=AC=2. 由题可知△DBC为等腰直角三角形, 故DE=EB=EC=.因为AE⊥BC, 所以AE==. 在△ADE中,AE2+ED2=AD2, 所以AE⊥ED.以E为坐标原点,ED所在直线为x轴,EB所在直线为y轴,EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图, 则D(,0,0),B(0,,0),A(0,0,), =(-,0,),=(0,-,). 设F(xF,yF,zF),因为=, 所以(xF,yF,zF)=(-,0,), 可得F(-,0,).所以=(,0,0). 设平面DAB的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则即 取x1=1,则y1=z1=1,m=(1,1,1). 设平面ABF的一个法向量为n=(x2,y2,z2), 则即 得x2=0,取y2=1,则z2=1,n=(0,1,1). 所以cos<m,n>===. 记二面角D-AB-F的大小为θ, 则sin θ===, 故二面角D-AB-F的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $