2.3.2 第2课时 空间向量坐标表示的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

第2课时　空间向量坐标表示的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　　 [课时目标]　进一步熟悉空间向量的坐标表示.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题. 题型(一)　空间向量数量积的坐标运算解决垂直问题 [例1]　如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1, 求证:CF⊥平面BDE. 证明:因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直, 两平面的交线为AC,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD. 如图,以C为原点,CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F. 所以=, =(0,-,1),=(-,0,1). 所以·=0-1+1=0, ·=-1+0+1=0, 所以⊥,⊥, 即CF⊥BE,CF⊥DE. 又BE∩DE=E,且BE,DE⊂平面BDE,所以CF⊥平面BDE. |思|维|建|模| 判断空间向量垂直的步骤 (1)向量化:将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系. (2)向量关系代数化:写出向量的坐标. (3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直. 　　[针对训练] 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC=2,PA=4,E为棱BC上的点,且BE=BC.求证:DE⊥平面PAC. 证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD. 又AB⊥AD,则以A为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0),所以=(2,-1,0),=(2,4,0),=(0,0,4). 因为·=2×2-1×4+0=0,·=0, 所以DE⊥AC,DE⊥AP.又AP∩AC=A,AP⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以DE⊥平面PAC. 题型(二)　空间向量坐标法解决夹角、模问题 [例2]　如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E,F分别在棱A1B1,C1D1上,B1E=A1B1,D1F=C1D1. (1)求AM的长. (2)求BE与DF所成角的余弦值. 解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),M(1,2,1),=(-1,2,1),∴||==. (2)因为B(2,2,0),E,D(0,0,0),F, 所以=-(2,2,0)=, =-(0,0,0)=, 则||=,||=. 所以·=0×0++2×2=, 所以cos<,>===,所以BE与DF所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; (2)利用已知条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求出线段端点的坐标; (3)利用两点间的距离公式求出线段的长. 　　[针对训练] 2.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积; (2)若||=,且∠DAB=∠DAC=60°,点P是BC的中点,求||的值. 解:(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2), ∴ ∴||=||=, cos<,>= ==, ∴sin<,>=, ∴S四边形=2··AB·ACsin<,> =××=7. (2)∵点P是BC的中点, ∴=+, ∴=-=+-, ∴||2=||2+||2+||2+·-·-· =×()2+×()2+()2+×[-2×1+(-1)×(-3)+3×2]-×cos 60°×2 =-7=, ∴||=. 学科网（北京）股份有限公司 $