第2章 空间向量与立体几何 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案以“空间向量与立体几何”为核心，围绕空间向量概念运算、坐标表示及在平行垂直判定和角距离计算中的应用设计学习目标。通过“概念梳理-运算规律-几何应用”的课时递进，结合例题解析构建知识网络，形成从基础到综合应用的连贯学习路径。 亮点在于“向量法解决立体几何问题”的主题探究，设计平行六面体向量线性表示、折叠问题求两点距离等任务，培养数学思维的推理能力和数学语言的表达能力。每个知识点配套典型例题和方法总结，既帮助学生深化理解，又为教师实施单元复习提供系统的教学资源和指导。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)在空间中，具有方向和大小的量称为空间向量．零向量是方向任意、大小为零的向量．两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且长度相等． (2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 2．空间向量的运算 (1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律． (2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义． 3．空间向量中的一些重要结论 (1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0． (2)空间向量共面的充要条件：p，e1，e2共面⇔p＝xe1＋ye2(e1，e2不共线，x，y∈R)． (3)空间向量的数量积及夹角公式： a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝． (4)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3． 二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组标准正交基{i，j，k}按右手系排列，各坐标轴的正方向与i，j，k同向． 2．空间向量的直角坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；λa＝(λa1，λa2，λa3)；＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b(a≠0)⇔(a1，a2，a3)∥(b1，b2，b3)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)． 3．有关公式 (1)模：|a|＝＝； (2)夹角：cos〈a，b〉＝ ＝； (3)两点间距离：|AB|＝ ． 三、运用向量方法研究平行与垂直 表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设空间两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(x1，y1，z1)，v2＝(x2，y2，z2)，两个不重合的平面α1，α2的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，且l1与l2均不在α1与α2内．(以下相同) 线线垂直：l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 线面垂直：l1⊥α1⇔v1∥n1⇔n1＝kv1⇔a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1，k为非零常数． 面面垂直：α1⊥α2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． 线线平行：l1∥l2⇔v1∥v2⇔v2＝kv1⇔x2＝kx1，y2＝ky1，z2＝kz1，k为非零常数． 线面平行：l1∥α1⇔v1⊥n1⇔v1·n1＝0⇔x1a1＋y1b1＋z1c1＝0． 面面平行：α1∥α2⇔n1∥n2⇔n2＝kn1⇔a2＝ka1，b2＝kb1，c2＝kc1，k为非零常数． 四、用向量方法求空间角和距离 1．求两异面直线所成的角 利用公式cos〈v1，v2〉＝，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是，故cosθ＝|cos〈v1，v2〉|． 2．求线面角 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|． 3．求面面所成的角 用向量法求面面所成的角也有两种方法：一种方法是利用二面角平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小，若二面角为锐角，则面面所成的角为该角，若二面角为钝角，则面面所成的角为它的补角；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与面面所成的角的大小相等或互补． 4．点到平面的距离的求法 若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝． 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就能很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化为向量代数运算． 1．空间向量的线性运算 进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋． [解]　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b． (2)∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c． (3)∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c， 又＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， ∴＋＝＋ ＝a＋b＋c． 2．空间向量的数量积 正确运用空间向量数量积公式及性质求角及距离． (1)空间向量a，b的数量积a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． (2)空间向量的数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离． [解]　∵∠ACD＝90°， ∴·＝0． 同理·＝0． ∵AB与CD成60°角， ∴〈，〉＝60°或120°． 又＝＋＋， ∴||2＝·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝3＋2×1×1×cos〈，〉． 当〈，〉＝60°时，||2＝4； 当〈，〉＝120°时，||2＝2． ∴||＝2或，即B，D间的距离为2或． 3．共线向量、共面向量 运用共线向量的充要条件和共面向量的充要条件可以解决立体几何中的平行问题和共面问题． 如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)． (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ [解]　(1)因为＝k，＝k， 所以＝＋＋ ＝k＋＋k ＝k(＋)＋ ＝k(＋)＋＝k＋ ＝－k＝－k(＋) ＝(1－k)－k， 所以由共面向量的充要条件知向量与向量，共面． (2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内， 当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内， 又由(1)知与，共面，所以MN∥平面ABB1A1． 二、立体几何中的向量方法 空间向量要解决的问题主要是用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立空间直角坐标系)利用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离)，最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题． 1．利用空间向量证明平行问题 (1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个与直线的方向向量共线的向量； ③利用共面向量的充要条件，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示． (3)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AD1∥平面BDC1． [证明]　以D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，所以＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)， 设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量， 则n⊥，n⊥， 所以 即令x＝1，则n＝(1，－1，1)， n·＝(1，－1，1)·(－1，0，1)＝0， 故n⊥， 又AD1⊄平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1． 2．利用空间向量证明垂直问题 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直；用向量法证线面垂直，一是通过数量积证直线的方向向量与平面内的两个不共线向量垂直，二是证平面的法向量与直线的方向向量平行；证面面垂直可证两个平面的法向量垂直． 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：PB1⊥平面PAC． [证明]　以D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，1)． 因为·＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0， 所以⊥，即PB1⊥PC． 又1·＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0， 所以⊥，即PB1⊥PA． 又PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC， 所以PB1⊥平面PAC． 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． 求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE． [证明]　设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，分别以，为x轴、z轴正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)． ∵F为CD的中点，∴F． (1)＝，＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)， ∵＝(＋)，AF⊄平面BCE， ∴AF∥平面BCE． (2)∵＝，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)， ∴·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥． ∴AF⊥CD，AF⊥ED， 又CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE， ∴AF⊥平面CDE． 又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE． 3．利用空间向量求角 (1)用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角时，则它的补角等于异面直线所成的角． (2)用法向量求面面所成的角时，应判断求出的是面面所成的角，还是它的补角． (3)直线与平面所成的角用向量来求时，得到的不是线面角，而是它的余角(或余角的补角)．应注意到线面角的取值范围． 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD． (1)求证：ED⊥平面PAC； (2)若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PCD所成角的余弦值． [解]　(1)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，PA⊂平面PAB， ∴PA⊥平面ABCD． 又AB⊥AD，故以A为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设BC＝4，AP＝λ(λ＞0)，则有A(0，0，0)，D(0，2，0)，E(2，1，0)，C(2，4，0)，P(0，0，λ)， ∴＝(2，4，0)，＝(0，0，λ)，＝(2，－1，0)， ∴·＝4－4＋0＝0，·＝0， ∴ED⊥AC，ED⊥AP． 又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC， ∴ED⊥平面PAC． (2)由(1)知，平面PAC的一个法向量是＝(2，－1，0)，＝(2，1，－λ)， 设直线PE与平面PAC所成的角为θ， ∴sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝， 解得λ＝±2． ∵λ＞0，∴λ＝2，即P(0，0，2)， 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(2，2，0)，＝(0，－2，2)． 由n⊥，n⊥，可得 不妨令x＝1，则n＝(1，－1，－1)， ∴|cos〈n，〉|＝＝， ∴平面PAC与平面PCD所成角的余弦值为． 4．利用空间向量求空间距离 (1)空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，高考中以两点距与点面距为重点考查，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解． (2)两点距一般利用向量模求解，即利用两点间距离公式，而点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解． (天津高考)已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1．N是B1C1的中点，M是DD1的中点． (1)求证：D1N∥平面CB1M； (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； (3)求点B到平面CB1M的距离． [解]　(1)证明：取CB1的中点P，连接NP，MP， 因为N是B1C1的中点， 所以NP∥CC1，且NP＝CC1， 因为M是DD1的中点， 所以D1M＝DD1＝CC1， 因为D1M∥CC1，D1D＝C1C， 所以D1M綊NP， 所以四边形D1MPN是平行四边形， 故D1N∥MP， 又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M， 所以D1N∥平面CB1M． (2)以A为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)， 设平面CB1M与平面BB1C1C的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)， 则 分别取x1＝x2＝1，则y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0， 即m＝(1，3，1)，n＝(1，1，0)， 则cos〈m，n〉＝＝＝， 故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为． (3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量为m＝(1，3，1)， 得＝＝， 即点B到平面CB1M的距离为． 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD．四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由． [解]　∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD． 又AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直． 以A为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系． 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E， 则CE⊥AD． 在Rt△CDE中，CE＝DE＝CDcos45°＝1． 设AB＝AP＝t，则P(0，0，t)． 由AB＋AD＝4，得AD＝4－t， ∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)． 假设在线段AD上存在点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)． 由||＝||， 得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2， 即t＝3－m．① 由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2．② 由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0．③ 由于方程③没有实数根，∴在线段AD上不存在点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 5．利用空间向量解决探索性问题 存在性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先假设存在，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若得出合理的结论，则存在性也随之解决；若结论与假设不符，则否定了存在性． 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点， (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由． [解]　(1)如图，以D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系． 依题意，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，N(1，1，1)，E． ∴＝，＝(－1，0，1)． ∵cos〈，〉＝＝－， ∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为． (2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN． ∵＝(0，1，1)，可设＝λ＝(0，λ，λ)(0≤λ≤1)． 又＝， ∴＝＋＝． 由ES⊥平面AMN， 得即 故λ＝，此时＝，||＝． 故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $