2.3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

2.3.2　空间向量运算的坐标表示 第1课时　空间向量运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.掌握空间向量运算的坐标表示.　2.掌握空间向量数量积的坐标表示. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的坐标表示. 逐点清(一)　空间线性运算的坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 　　设a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3). 名称 坐标表示 加法 a+b=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) 减法 a-b=(x1-y1,x2-y2,x3-y3) 数乘 λa=(λx1,λx2,λx3)(λ∈R) [微点练明] 1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b= (　　) A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4) 解析:选C　b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0). 2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(2,3,4),C1(-1,2,4),则点A1的坐标为 (　　) A.(-1,3,6) B.(-3,-1,0) C.(1,-1,-2) D.(1,-1,0) 解析:选B　设点A1的坐标为(a,b,c),则由=,得(-1-a,2-b,4-c)=(2,3,4),解得a=-3,b=-1,c=0,则点A1的坐标为(-3,-1,0). 3.在空间直角坐标系中,已知点A(0,1,2),B(1,-2,-1),=2,则点P的坐标是 (　　) A.(2,-6,-6) B.(2,-5,-4) C.(2,-7,-8) D.(3,-8,-7) 解析:选B　设P(x,y,z),因为=2,所以(x,y-1,z-2)=2(1,-3,-3),得所以P(2,-5,-4),故B正确. 4.已知空间向量a=(1,2,0),b=(0,-1,1),c=(2,3,m),若a,b,c共面,则实数m= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　因为a=(1,2,0),b=(0,-1,1)不共线,a,b,c共面,所以存在一对有序实数(x,y),使c=xa+yb,所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,-1,1)=(x,2x-y,y),所以解得 5.已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,若=3,则点C的坐标为　　　　　.  解析:∵=3,∴-=3(-),得=+,∴=(4,1,3)+(2,-5,1)=,即点C的坐标为. 答案: 逐点清(二)　空间向量平行(共线)的坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 　　设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). (1)当b≠0时,a∥b⇔∃λ∈R,使得 (2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时,a∥b⇔==. [微点练明] 1.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+b)∥(2a-b),则 (　　) A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 解析:选B　由a=(1,2,-y),b=(x,1,2),得a+b=(x+1,3,2-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),由(a+b)∥(2a-b),得==,所以x=,y=-4. 2.若=(1,-1,2),=(a-1,-2,b+3),A,B,C三点共线,那么a+b= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选D　由于A,B,C三点共线,所以=(1,-1,2)与=(a-1,-2,b+3)共线,所以==,解得a=3,b=1,所以a+b=4. 3.已知空间两点A(1,2,-1),B(2,0,1),点P(-1,a,b)在直线AB上运动,则ab=　　　　　.  解析:依题意得,=(-2,a-2,b+1),=(1,-2,2), 因为点P在直线AB上运动,所以存在非零实数λ,使得=λ,得(-2,a-2,b+1)=λ(1,-2,2),则得得ab=-30. 答案:-30 4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,若G是A1D的中点,点H在平面ABCD上,且GH∥BD1,试判断点H的位置. 解:如图所示,以D为原点,,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1), 因为G是A1D的中点,所以点G的坐标为, 因为点H在平面ABCD上,设点H的坐标为(m,n,0), 因为=(m,n,0)-=,=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1),又∥, 所以==,解得m=1,n=, 所以点H的坐标为,所以H为线段AB的中点, 即当H为线段AB的中点时,GH∥BD1. 逐点清(三)　向量数量积的坐标表示 [多维理解] 　　设a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3). 名称 坐标意义 数量积 a·b=x1y1+x2y2+x3y3 向量 长度 |a|= = 向量夹角公式 cos<a,b>== 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔x1y1+x2y2+x3y3=0 [微点练明] 1.若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于 (　　) A.5 B.-5 C.7 D.-1 解析:选B　∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),∴两式相加得2a=(2,-4,0),解得a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2),∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5.故选B. 2.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,t)的夹角为钝角,则实数t的取值范围为 (　　) A. B.(-∞,-6)∪ C. D.∪(6,+∞) 解析:选B　由a·b=2×(-4)+(-1)×2+3t=-10+3t<0,解得t<,当a,b共线时,由b=λa,即(-4,2,t)=λ(2,-1,3),解得t=-6,所以当a,b夹角为钝角时t∈(-∞,-6)∪. 3.已知空间向量a=(1,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是 (　　) A. 　　B.(1,-1,1) C. 　　D. 解析:选C　因为a=(1,-1,2),b=(1,-2,1),则a·b=1×1+(-1)×(-2)+2×1=5,==,故向量b在向量a上的投影向量是×=a=. 4.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,-2,0). (1)求a与(a-b)的夹角; (2)若2a+b与a-tb垂直,求实数t的值. 解:(1)∵a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), ∴a-b=(-2,2,1),|a|=, |a-b|==3. 设a与(a-b)的夹角为θ, 则cos θ===, ∴a与(a-b)的夹角为. (2)∵2a+b=(-1,-2,2),a-tb=(-1-t,2t,1),又2a+b与a-tb垂直,∴(2a+b)·(a-tb)=0,即-1×(-1-t)+2t×(-2)+1×2=0,解得t=1. 学科网（北京）股份有限公司 $