2.3.1 空间向量的分解与坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

　2.3 空间向量基本定理及坐标表示 2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解共面向量与向量线性运算之间的关系. 2.了解空间向量基本定理及其意义.理解空间向量的正交分解、坐标表示. 1.共面向量 (1)共面向量的定义 一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. (2)共面向量的充要条件 如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xe1+ye2. 这就是说,向量p可以用两个不共线的向量e1,e2线性表示. 在三个向量a,b,c中,某个向量为0,或者某两个向量平行,则这三个向量共面. 2.空间向量基本定理 设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和:p=xe1+ye2+ze3, 上述表达式中的系数x,y,z由p唯一确定,即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,则x=x',y=y',z=z'. 我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量.(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标. 3.空间向量的直角坐标表示 (1)标准正交基 空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面,可将它们组成空间的一组基,我们把这组基称为标准正交基. (2)向量p在正交基下的坐标表示 空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和:p=xi+yj+zk,系数x,y,z按顺序排成的实数组(x,y,z),称为向量p的坐标,记为p=(x,y,z). 向量p=在标准正交基{i,j,k}下的坐标(x,y,z)就是点P在这个直角坐标系中的坐标. (3)空间向量在空间直角坐标系中的坐标表示 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标. (4)空间向量的投影 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基. (　　) (2)若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc,则{a,b,c}可构成空间的一组基. (　　) (3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组{λ1,λ2,λ3},使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. (　　) (4)若{a,b,c}为空间的一组基,则a,b,c全不是零向量. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.若{a,b,c}是空间的一组基,且向量m=a+b,n=a-b,则可以与m,n构成空间的另一组基的向量是 (　　) A.a B.b C.c D.2a 答案:C 3.当向量a,b不共线时,a+2b与2a-b的关系是 (　　) A.共面 B.不共面 C.共线 D.无法确定 答案:A 4.若{e1,e2,e3}是标准正交基,已知p=e1+2e2-e3,则向量p的坐标为　　 　.  答案:(1,2,-1) 题型(一)　空间向量共面问题 [例1]　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面. 证明:设=a,=b,=c, 则=b-a, ∵M为线段DD1的中点,∴=c-a. 又∵AN∶NC=2∶1, ∴==(b+c), ∴=-=(b+c)-a =(b-a)+=+, ∴,,为共面向量. 又∵三向量有相同的起点A1, ∴A1,B,N,M四点共面. [例2]　对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式=x+y+z,求证:点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 证明:①充分性:∵=x+y+z可变形为=(1-y-z)+y+z, ∴-=y(-)+z(-), ∴=y+z,∴点P与A,B,C共面. ②必要性:∵点P在平面ABC内, 且A,B,C三点不共线, ∴存在有序实数对(m,n)使=m+n, -=m(-)+n(-), ∴=(1-m-n)+m+n, ∵=x+y+z, 又点O在平面ABC外,∴,,不共面,∴x=1-m-n,y=m,z=n,∴x+y+z=1. 故点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. |思|维|建|模| 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示. 　　[针对训练] 1.已知动点Q在△ABC所在平面内运动,若对于空间中不在平面ABC上的任意一点P,都有=-2+5+m,则实数m的值为 (　　) A.0 B.2 C.-1 D.-2 解析:选B　因为=-2+5-m,动点Q在△ABC所在平面内运动,所以-2+5-m=1,解得m=2. 2.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面. 证明:∵=,=, ∴=2,=2. 又∵=++=-++(+)=(+)++(+)=(+)　①, 又点A,B,C及A1,B1,C1分别共线, ∴=λ=2λ,=ω=2ω. 代入①式,得=(2λ+2ω)=λ+ω. ∴,,共面.∴M,N,P,Q四点共面. 题型(二)　用空间的基表示向量 [例3]　如图,在四面体OABC中,M是OA的中点,G是△ABC的重心,试用基向量,,表示向量和. 解:如图所示,连接AG并延长交BC于点D,则D为BC的中点,且=(+). ∵G是△ABC的重心,∴==(+).又∵=-,=-,∴=(+)=(-2++).∴=+=+(-2++)=++.又∵M是OA的中点,∴=.∴=-=++-=-++. 　　|思|维|建|模|　用基表示向量的步骤 定基 根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基 找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果 下结论 利用空间的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量,表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量 　　[针对训练] 3.如图,已知四棱锥P-ABCD,四边形ABCD为平行四边形,M,N分别是PC,PD上的点,且=2,PN=ND,设=a,=b,=c. (1)以{a,b,c}为基表示向量; (2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值. 解:(1)=+=+=+(++)=-+=-a+b+c. (2)=-=-=(-)-(-)=--(+)+=--+=-a-b+c,所以x=-,y=-,z=. 题型(三)　空间向量基本定理的应用 [例4]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证: (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EFG∥平面ABD. 证明:(1)易得=+=+,=+=-,∵·=·=0,·=·=-=0,∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD. (2)连接B1G(图略).∵=-=(+)-,=,∴·=(+)·= -=0,·=·=0,∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,又EG∩FG=G,∴B1D⊥平面EFG,又B1D⊥平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD. |思|维|建|模| 基向量的选择和使用方法 　　用已知向量表示未知向量时,选择一组恰当的基可以使解题过程简便易行,选择和使用向量应注意: (1)所选基向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断; (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知向量; (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基. 　　[针对训练] 4.如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1. (1)若BD⊥AN,求λ的值; (2)若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,求λ的值. 解:(1)取空间中的一组基向量:=a,=b,=c.若BD⊥AN,则·=0. ∵=-=b-a,=+=c+λb,∴(b-a)·(c+λb)=0,∴+λ--=0, ∴λ=-1. (2)当M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N时,=-a+b+c,=λb+c,=a+c. ∵BM∥平面AB1N,∴向量,,共面, ∴∃x,y∈R,使得=x+y,即-a+b+c=ya+xλb+(x+y)c,∴ 解得λ=. 题型(四)　空间中向量的坐标 [例5]　如图,四棱锥P-OABC的底面为一正方形,OA=OP=1,PO⊥平面OABC,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示,,,.并写出在基{a,b,c}下的坐标. 解: 如图,连接BO,则==(+)=(c-b-a)=-a-b+c. =+=-a+=-a+(+)=-a-b+c.=+=++(+)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c. ===a. 因此=,=, =,=. |思|维|建|模| 坐标表示空间向量的步骤 (1)若基确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行. (2)确定出空间向量p在标准正交基下的分解式,则向量p的坐标分量即为向量p的坐标. 　　[针对训练] 5.设{i,j,k}是标准正交基,已知向量p在基{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基{i,j,k}下的坐标是 (　　) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 解析:选A　依题意,知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k, 故向量p在基{i,j,k}下的坐标是(12,14,10). 6.设{i,j,k}是空间的一组标准正交基,则向量a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k的坐标分别是　　　　.  答案:(3,2,-1),(-2,4,2) 学科网（北京）股份有限公司 $