2.2 第1课时 空间向量的基本概念及线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

2.2　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的基本概念及线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. 逐点清(一)　空间向量的基本概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.空间向量的定义及表示 定义 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 模 空间向量a的大小(或长度)称为a的模(记为|a|) 表示法 要表示向量a,可以从空间中任意一点A出发作有向线段,使的方向与a相同,长度与|a|相等,则有向线段表示向量a,记为a= 2.几类特殊向量 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 零向量 起点与终点重合的向量,记作0,|0|=0,方向是任意的 |微|点|助|解| (1)零向量也有无数个,它们的方向是任意的,但规定所有的零向量都相等. (2)在空间中仍然有:=(AB,CD不共线)⇔四边形ABCD为平行四边形. (3)若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相同. [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 解析:选C　零向量与它的相反向量相等,A错误;任意一个非零向量与其相反向量不相等,但它们的模相等,B错误;同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小,C正确;将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球,D错误. 2.有下列关于空间向量的命题:①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与是相等向量;④在空间四边形ABCD中,与是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量一共有3个.其中正确命题的个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选A　①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;③正确,与的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也一定不相反;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与AA1的模一定相等的向量是,,,,,共5个.故选A. 3.[多选]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1, 则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 (　　) A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 解析:选ABC　由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量分别为,,,,,,,,共8个,故D错误. 逐点清(二)　空间向量的加减法 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 空间 向量 的运算 三角形 法则 加法 a+b=+= 平行 四边形 法则 加法 a+b=+= 减法 a-b=-= 加法 运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 交换律 a+b=b+a |微|点|助|解| (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=. (2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0. (3)空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相 反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 [微点练明] 1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则--= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　--=+-=-=. 2.[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量的是 (　　) A.(+)- B.(-)- C.(-)+ D.(-)- 解析: 选ABC　如图所示,(+)-=-=+=;(-)-=-=;(-)+=+=;(-)-=(-)-=+=. 3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简-+ ++,并在图中标出化简结果. 解:在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,四边形AA1F1F是平行四边形, 所以=. 同理= ,=, 由正六棱柱性质可知=, 所以-+++=-+(++)=+=, 所以化简结果如图所示. 逐点清(三)　向量与实数相乘 [多维理解] 1.向量与实数相乘 在空间中,向量a与实数相乘有|λa|=|λ||a|. 当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反. 2.单位向量 长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a,可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a,其中|e|=1. 3.共线向量 对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ为实数,则b与a共线或平行,记作b∥a. 零向量的方向可以任取,又0=0a,则0是任意向量a的0倍,因此零向量与任意向量共线. 4.空间向量与实数的乘法运算律 (1)λ(a+b)=λa+λb.(对向量加法的分配律) (2)(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a.(对实数加法的分配律) |微|点|助|解| (1)λa=0⇔λ=0或a=0. (2)向量λa与向量a一定是共线向量. (3)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,明确表示向量的有向线段,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. [微点练明] 1.[多选]已知m,n是实数,a,b是空间任意向量,下列命题正确的是 (　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 解析:选AB　m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误. 2.如图,在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 底面ABCD是平行四边形,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则= (　　) A.a-b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析:选A　依题意,=+=+=+(-)=--=a-b-c. 3.若空间非零向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为　　　　　　.  解析:由题意知,存在实数λ使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]=λe1+2λ(k+1)e2,即解得 答案:- 4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是棱BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量. (1)+; (2)++; (3)---. 解:(1)+=. (2)∵M是BB1的中点, ∴=.又=, ∴++=+=. (3)---=(+)-(+)=-=. 逐点清(四)　空间向量共线的应用 [典例]　如图, 四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,则与是否共线? 解:法一　∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形,∴=++=++　①. 又∵=+++=-+--　②,①+②得2=,∴∥,即与共线. 法二　∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形,∴=-=(+)-(+)=(-)=(-)=.∴∥,即与共线. |思|维|建|模| 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立. (2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,使得=λ. [针对训练] 1.设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在唯一实数μ,使得=μ,则解得 2.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别 是边CB,CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形. 证明:∵E,H分别是AB,AD的中点, ∴=,=, 则=-=-==(-)= =(-)=,∴∥且||=||≠||.又点F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形. 学科网（北京）股份有限公司 $