2.3.2 空间向量运算的坐标表示-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

数学　选择性必修·第二册（湘教） 2．3．2　空间向量运算的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：1．掌握空间向量线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示． 教学重点：空间向量运算的坐标表示． 教学难点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角问题． 核心素养：通过利用空间向量的坐标运算解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　向量线性运算的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)两个向量a，b的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即 a±b＝(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2) ＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)一个实数λ与向量a乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标，即 λa＝λ(x，y，z)＝(λx，λy，λz)． (3)当a≠0时，a∥b⇔(x1，y1，z1)∥(x2，y2，z2)⇔x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(λ∈R)． 知识点二　定比分点 已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线AB上，＝λ，λ为实数且λ≠－1，则点M的坐标为，点M为有向线段的定比分点． 知识点三　向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)a·b＝(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (2)|a|＝； (3)向量a＝(x1，y1，z1)和b＝(x2，y2，z2)所成 角α的余弦值为 cosα＝； (4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 1．向量平行与垂直问题的三种题型 题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断． 题型2：利用平行与垂直求参数或解决其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． 题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解． 2．用空间向量的数量积解决夹角问题 空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量a＝(1，1，1)为单位向量．(　　) (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　) (3)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝．(　　) (4)设a＝(1，2，－1)，b＝(0，m，2)，若a⊥b，则m＝1．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，－3，0)，c＝(7，－2，1)，则a＋b＋c＝________． (2)已知向量a＝(－3，2，2)，b＝(1，2，－1)，则a·b＝________． (3)已知a＝(0，3，3)，b＝(－1，1，0)，则两向量的夹角等于________． 答案　(1)(5，－3，6)　(2)－1　(3)60° 题型一　空间向量的坐标运算 　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． [解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8． 【感悟提升】 空间向量的加法、减法、数量积及向量与实数相乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算． (2)熟练应用有关的公式 ①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； ②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； ③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b，再求数量积． 【跟踪训练】 1.已知a＝(2，－1，3)，b＝(0，－1，2)，求： (1)a＋b；(2)2a－3b； (3)a·b；(4)(a＋b)·(a－b)． 解　(1)a＋b＝(2，－1，3)＋(0，－1，2)＝(2＋0，－1－1，3＋2)＝(2，－2，5)． (2)2a－3b＝(4，－2，6)－(0，－3，6)＝(4，1，0)． (3)a·b＝(2，－1，3)·(0，－1，2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7． (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－(0＋1＋4)＝9． 题型二　空间向量的模和夹角的计算 　(1)若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则|a＋b|＝(　　) A． B．2 C．3 D． [解析]　由题意，知a＋b＝(1，－1，2)＋(2，1，－3)＝(3，0，－1)．所以|a＋b|＝＝．故选D． [答案]　D (2)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° [解析]　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，又|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°． [答案]　C 【感悟提升】 1．求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y，z)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2＋z2，于是有|a|＝． 2．利用数量积求两向量夹角的步骤 【跟踪训练】 2.已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)． 求：(1)|a＋b－2c|； (2)cos〈a－b，b－c〉． 解　(1)a＋b－2c＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－2(0，2，2)＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－(0，4，4)＝(4，－7，0)， ∴|a＋b－2c|＝＝． (2)a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2，1)， ∴|a－b|＝，|b－c|＝＝3，(a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4． ∴cos〈a－b，b－c〉＝＝＝． 题型三　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 　已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)． (1)若|c|＝3，d＝b－a，且c∥d，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k． [解]　(1)设c＝λd， ∵d＝b－a＝(－2，－1，2)， ∴c＝(－2λ，－λ，2λ)， ∴|c|＝＝3|λ|＝3． 解得λ＝±1． ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0． 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或k＝－． 【感悟提升】 利用向量平行与垂直求参数的注意事项 (1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程． (2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的． (3)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔(b≠0)． 特别提醒：向量平行的形式不能随便写成＝＝，这是因为b≠0，并不意味着b1，b2，b3都不为零，如b＝(1，0，0)，但b≠0，只有b1b2b3≠0时，才能这样写． 【跟踪训练】 3.已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． 解　(1)∵a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)， ∴a－3b＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)， λa＋b＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)． ∵(λa＋b)∥(a－3b)， ∴＝＝，解得λ＝－． (2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)， ∴(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0， 即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝． 题型四　空间向量坐标的应用 　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系． (1)求AA1的长； (2)求〈，〉的余弦值． [解]　(1)如图，以点D为原点，以，，为标准正交基方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，设AA1＝a，则B(4，4，0)，N(2，2，a)，A(4，0，0)，M，D1(0，0，a)． 所以＝(－2，－2，a)，＝， 由⊥，得·＝0． 所以4－8＋＝0，a＝2． 所以AA1的长为2． (2)由(1)可得＝(－2，－2，2)，＝(－4，0，2)， 所以cos〈，〉＝＝． 【感悟提升】 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后写出相应向量的坐标，最后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题． 【跟踪训练】 4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 解　如图所示，以点D为原点，以，，为标准正交基方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)， 因为3＝， 所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a， 解得a＝， 所以点P的坐标为． 由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)， 因为·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0， 解得b＝，所以点Q的坐标为． 因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4． 1．已知向量a＝(1，－2，1)，a＋b＝(3，－6，3)，则b等于(　　) A．(2，－4，2) B．(－2，4，2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 答案　A 解析　b＝(a＋b)－a＝(3，－6，3)－(1，－2，1)＝(2，－4，2)．故选A． 2．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　) A．3 B．2 C． D．5 答案　A 解析　∵a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(1＋2＋6，0＋1＋2，1－1＋0)＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝＝3． 3．(多选)已知向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值可能为(　　) A．－3 B．1 C．3 D．－1 答案　AB 解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4．又a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3．故选AB． 4．若a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)＝________，a·(b·c)＝________． 答案　3　(12，－18，6) 解析　因为b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，所以b＋c＝(2，2，5)，b·c＝0＋0＋6＝6．又a＝(2，－3，1)，所以a·(b＋c)＝(2，－3，1)·(2，2，5)＝4－6＋5＝3．a·(b·c)＝(2，－3，1)×6＝(12，－18，6)． 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值． 解　以点D为原点，以，，为标准正交基方向，均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，3)，B(4，4，0)，B1(4，4，3)，C(0，4，0)， 得＝(0，4，－3)，＝(－4，0，－3)． 设与的夹角为θ， 则cosθ＝＝， 所以异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为． 课后课时精练 一、选择题 1．已知点A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，O为原点，则点C的坐标是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因为＝－＝(0，5，－1)－(3，－2，4)＝(－3，7，－5)，所以＝＝．所以点C的坐标是．故选B． 2．已知a＝(1，－1，1)，则与a共线的单位向量是(　　) A．n＝±(1，－1，1) B．n＝± C．n＝± D．n＝± 答案　D 解析　由题意知|a|＝＝，所以与a共线的单位向量为±＝±．故选D． 3．已知在空间直角坐标系O－xyz中，A(1，2，－1)，B(5，6，7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是(　　) A．(0，1，1) B．(0，1，－3) C．(－1，0，3) D．(－1，0，－5) 答案　D 解析　设直线AB与平面xOz的交点为M(x，0，z)，则＝(x－1，－2，z＋1)．又＝(4，4，8)，与共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即解得∴M(－1，0，－5)．故选D． 4．(多选)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(2，－3，1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为(　　) A． B． C．－1 D．－ 答案　BD 解析　由题意可得＝(－3，－1，3k)，＝(1，－5，1＋3k)，＝(4，－4，1)．当∠A＝90°时，·＝(－3，－1，3k)·(1，－5，1＋3k)＝－3＋5＋3k(1＋3k)＝0，此时k无解．当∠B＝90°时，·＝(－3，－1，3k)·(4，－4，1)＝3k－8＝0，解得k＝．当∠C＝90°时，·＝(1，－5，1＋3k)·(4，－4，1)＝25＋3k＝0，解得k＝－．故选BD． 5．(多选)在如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．则下述结论正确的是(　　) A．DM⊥EB B．BD⊥EC C．DE⊥BM D．EA⊥CD 答案　AD 解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则A(0，0，0)，E(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，1)，D(0，0，2)，M，＝，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(0，－2，2)，＝(2，0，－2)，＝，＝(－2，0，0)，＝(0，－2，1)，仅有·＝0，·＝0，从而得DM⊥EB，EA⊥CD．故选AD． 二、填空题 6．若向量a＝(4，2，4)，b＝(6，3，－2)，则(2a－3b)·(a＋2b)＝________． 答案　－200 解析　∵a＝(4，2，4)，b＝(6，3，－2)，∴a2＝36，b2＝49，a·b＝22．∴(2a－3b)·(a＋2b)＝2a2＋a·b－6b2＝2×36＋22－6×49＝－200． 7．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________． 答案　4 解析　∵a∥b，∴b＝λa，即∴∴x－y＝－2＋6＝4． 8．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是________． 答案　90° 解析　因为a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°． 三、解答题 9．已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y)． (1)若a∥c，求x，y的值； (2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b？如果存在，求出c的坐标；如果不存在，说明理由． 解　(1)因为a＝(1，－2，4)的横、纵、竖坐标均不为零， 所以a∥c⇔＝＝⇔x＝－4，y＝8． (2)因为c⊥a且c⊥b，所以 所以所以 即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，此时c＝(2，11，5)． 10．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； (2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标． 解　(1)由题意，可得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 所以cos〈，〉＝＝＝， 所以sin〈，〉＝， 所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积 S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝7． (2)设a＝(x，y，z)，由题意， 得 解得或 所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)． 1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)． (1)若∥，∥，求点D的坐标； (2)是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解　(1)设D(x，y，z)，则＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0)． 因为∥，∥， 所以 解得即D(－1，1，2)． (2)依题意＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(0，－1，2)． 假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立， 则有(－1，0，2)＝α(－1，1，0)＋β(0，－1，2)＝(－α，α－β，2β)， 所以 故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立． 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，P，Q分别为A1B1，A1A的中点． (1)求的长度； (2)求cos〈，〉，cos〈，〉； (3)求证：⊥． 解　以点C为原点，以，，为标准正交基方向，均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知，得C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，2)，P，Q(1，0，1)，B1(0，1，2)，A1(1，0，2)． ∴＝(1，－1，1)，＝(0，1，2)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，2)，＝． (1)||＝＝． (2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，||＝＝， ∴cos〈，〉＝＝． ∵·＝0－1＋4＝3， ||＝＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝． (3)证明：∵·＝(－1，1，2)·＝0， ∴⊥． 13 学科网（北京）股份有限公司 $