2.1 空间直角坐标系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

　空间向量与立体几何 2.1　空间直角坐标系 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要. 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得到空间两点间的距离公式. 逐点清(一)　建立空间直角坐标系 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.空间直角坐标系 坐标系 定义 图示 空间 直角 坐标系 为了确定空间中的点的位置,我们可以在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的长度单位,分别建立坐标轴,依次称为x轴、y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz,如图,由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面 右手系 建立空间直角坐标系时,一般将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系(如图) 2.点在空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中,任意一点P与有序实数组(x,y,z)之间,建立了一一对应的关系,此时,有序实数组(x,y,z)称为点P的坐标,记作P(x,y,z),其中x称为点P的横坐标,y称为点P的纵坐标,z称为点P的竖坐标. 3.落在坐标轴和坐标平面上的点的特点 [微点练明] 1.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=3,|OC|=5,|OO1|=4,点P是棱B1C1的中点,则点P的坐标为 (　　) A.(3,5,4)　　 B. C. D. 解析:选C　由题图可知,B1(3,5,4),C1(0,5,4),因为点P是棱B1C1的中点,所以由中点坐标公式可得P. 2.在空间直角坐标系O-xyz中,点M(x,2 023,z)(x∈R,z∈R)构成的集合是 (　　) A.一条直线 B.平行于xOy平面的平面 C.两条直线 D.平行于xOz平面的平面 解析:选D　依题意,在空间直角坐标系O-xyz中,点M(x,2 023,z)(x∈R,z∈R)的纵坐标保持不变,故其构成的集合是一个平行于xOz平面的平面. 3.如图所示的空间直角坐标系中,四边形ABCD是正方形,AB=2,PA=4,则PD的中点M的坐标为　　　　　　　　　.  解析:由题意知PO===,点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1,O,M2,它们在坐标轴上的坐标分别为-,0,,所以点M的坐标为. 答案: 4.如图所示, 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O,O1分别为底面ABCD,底面A1B1C1D1的中心,AB=6,AA1=4,M为B1B的中点,点N在C1C上,且C1N∶NC=1∶3. (1)以O为原点,分别以OA,OB,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求图中各点的坐标; (2)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求图中各点的坐标. 解:(1)在正方形ABCD中,AB=6, ∴AC=BD=6, 从而OA=OC=OB=OD=3. ∴各点坐标分别为A(3,0,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),O(0,0,0),O1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,3,4),C1(-3,0,4),D1(0,-3,4),M(0,3,2),N(-3,0,3). (2)同理,A(6,0,0),B(6,6,0),C(0,6,0),D(0,0,0),A1(6,0,4),B1(6,6,4),C1(0,6,4),D1(0,0,4),O(3,3,0),O1(3,3,4),M(6,6,2),N(0,6,3). 逐点清(二)　空间中点的对称问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 　　点P(a,b,c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 x轴 (a,-b,-c) y轴 (-a,b,-c) z轴 (-a,-b,c) xOy平面 (a,b,-c) yOz平面 (-a,b,c) zOx平面 (a,-b,c) 坐标原点 (-a,-b,-c) 记忆口诀:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反. [微点练明] 1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则点B的坐标是 (　　) A.(3,0,-4) B.(-3,0,4) C.(-4,0,-3) D.(3,0,4) 解析:选D　因为点(x,y,z)关于原点的对称点坐标为(-x,-y,-z),所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4). 2.[多选]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4, AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则下列结论正确的是 (　　) A.点B1的坐标为(3,5,4) B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 解析:选BCD　易知点B1的坐标为(4,5,3),故A错误;由C1(0,5,3),B(4,5,0),设点C1关于点B对称的点为P(x,y,z),则=4,=5,=0,解得x=8,y=5,z=-3,故P(8,5,-3),故B正确;在长方体中,AD1=BC1==5=AB,所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),故C正确;因为CB⊥平面ABB1A1,故点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0+2×4,5,0),即(8,5,0),故D正确. 3.已知点P(2,3,-1)关于xOy平面的对称点为P1,点P1关于yOz平面的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为　　　.  解析:点P(2,3,-1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于yOz平面的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1). 答案:(2,-3,1) 4.在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标; (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点P3的坐标. 解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴上的坐标不变,在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数,所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4). (2)由点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴上的坐标不变,在z轴上的坐标变为原来的相反数,所以对称点坐标为P2(-2,1,-4). (3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3的坐标为(6,-3,-12). 逐点清(三)　空间两点间的距离 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.2个距离公式 (1)原点O到空间中任一点P(x,y,z)的距离为|OP|=. (2)已知空间中A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)两点,则A,B两点间的距离为 |AB|=. 2.空间中的几个特殊距离 (1)点P(x,y,z)到xOy平面的距离为|z|. (2)点P(x,y,z)到yOz平面的距离为|x|. (3)点P(x,y,z)到zOx平面的距离为|y|. (4)点P(x,y,z)到x轴的距离为 . (5)点P(x,y,z)到y轴的距离为 . (6)点P(x,y,z)到z轴的距离为 . [微点练明] 1. 空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和点B(2,-1,6)的距离是 (　　) A.2 B.2 C.9 D. 答案:D 2.在空间直角坐标系中,已知点M(1,0,3)与N(-1,1,a)两点间的距离为,则a= (　　) A.2或4 B.2 C.4 D.-2 答案:A 3.设点P在x轴上,它到点P1(0,,3)的距离是到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,求点P的坐标. 解:因为点P在x轴上, 所以设点P的坐标为(x,0,0), 因为|PP1|=2|PP2|, 所以 =2,解得x=±1, 所以点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0). 4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E,F分别是棱AB,B1C1,AC的中点,求DE,EF的长度. 解:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵|C1C|=|CB|=|CA|=2, ∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2), 由中点坐标公式可得, D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0), ∴|DE|==, |EF|==. 逐点清(四)　空间两点间距离的应用 　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz. (1)若点P在线段BD1上,且满足3|BP|=|BD1|,试写出点P的坐标,并写出点P关于y轴的对称点P'的坐标; (2)在线段C1D上找一点M,使得点M到点P的距离最小,求出点M的坐标. 解:(1)因为3|BP|=|BD1|,所以=, 又B(1,1,0),D1(0,0,1),设P(x,y,z), 则(x-1,y-1,z)=(-1,-1,1),解得x=,y=,z=,所以点P的坐标为,故点P关于y轴的对称点P'的坐标为. (2)由D(0,0,0),C1(0,1,1)得=(0,1,1), 故设线段C1D上一点M的坐标为(0,m,m),0≤m≤1, 则有|MP|===, 当m=时,|MP|最小, 所以点M的坐标为. |思|维|建|模| 　　距离是几何中的基本度量问题,无论是在几何问题中,还是在实际问题中,都会涉及距离的问题,它的命题方向往往有三个: (1)求空间任意两点间的距离;(2)判断几何图形的形状;(3)利用距离公式求最值. 　　[针对训练] 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=2,E,F分别是AD,PC的中点.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.如图, 求证:PC⊥BF,PC⊥EF. 证明:∵|AP|=|AB|=2,|BC|=2,四边形ABCD是矩形, ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,,0), ∴|PB|==2, ∴|PB|=|BC|.又F为PC的中点,∴PC⊥BF. ∵|PE|==, |CE|==, ∴|PE|=|CE|.又F为PC的中点,∴PC⊥EF. 学科网（北京）股份有限公司 $