2.2 第1课时 空间向量的基本概念 空间向量的加减法 向量与实数相乘（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2．2　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的基本概念　空间向量的加减法　向量与实数相乘 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解空间向量的有关概念． 2．掌握空间向量的线性运算． 3．掌握空间向量共线的充要条件及其应用． 通过空间向量的概念、空间向量的线性运算及共线的充要条件的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． [对应学生用书P44] 1．空间向量：把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． 2．模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|. 3．表示法：表示空间向量a，可以从空间中任取一点A出发作有向线段，使的方向与a相同，长度与|a|相等，则有向线段表示向量a，记作a＝.通常把A称为向量的起点，B称为向量的终点． 4．特殊的空间向量及空间向量的位置关系 名称 定义 表示法 零向量 模为0的向量，方向为任意方向 0 相等向量 方向相同且长度相等的向量. a＝b或＝ 相反向量 方向相反、长度相等的向量 －a 1．我们可把平面两个向量的加减运算推广到空间两个向量，即平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立． 如上图，对于空间任意两个向量a ，b，作＝a，＝b，＝b， 则a＋b＝，a －b＝. 如下图，三个向量的和＋＋，其总的效果就是从A到D，因而＋＋＝. 2．空间向量的加法运算律 (1)a＋b＝b＋a(加法交换律) (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(加法结合律) 1．任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因此有|λa|＝|λ||a|. 当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．单位向量：长度为1的向量称为单位向量，与非零向量a方向相同的唯一单位向量为e＝. 3．向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b (a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a. 4．空间向量与实数的乘法满足如下运算律 λ(a＋b)＝λa＋λb.(对向量加法的分配律) (λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(对实数加法的分配律) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)0向量是长度为0，没有方向的向量．(　　) (2)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　　) (3)实数与向量之间可进行加法、减法运算．(　　) (4)＋＝0.(　　) (5)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．在四面体OABC中，＋－等于(　　) A．　　 B．　　　C．　　　D． C　解析：＋－＝－＝＋＝. 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ D　解析：＝＋＝＋A1C1 ＝＋(＋). 所以x＝1，y＝. 4．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”) 平行　解析：设G是AC的中点， 则＝＋ ＝＋＝(＋). 所以2＝＋， 从而∥(＋). [对应学生用书P46] (1)下列说法正确的是(　　) A．若|a|<|b|，则a<b B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C.空间内两平行向量相等 D．四边形ABCD中，－＝ (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) [分析]　根据相等向量、相反向量等有关概念判断． (1)D　(2)，，，，，　 解析：(1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错误；相反向量的和为0，不是0，B错误；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错误；D正确． (2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，. [方法总结]　 1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． [训练1]　给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，＝； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； ④在四边形ABCD中，必有＋＝. 其中正确命题的序号是________． ①②　解析：①正