专题1.3.4 导数的应用举例（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题1.3.4 导数的应用举例 教学目标 1巩固导数的计算方法，掌握利用导数求解函数单调区间、极值、拐点的基本思路，能熟练解决此类函数问题。 2.理解导数在实际问题中的应用价值，掌握用导数解决生活中最优解问题的步骤，能求解用料最省、耗时最短、利润最大等实际优化问题。 3.能结合物理、经济等场景，运用导数求解运动物体的瞬时速度、加速度、边际效应等具体问题。 教学重难点 1.重点： （1）利用导数求解函数的单调区间、极值和拐点，掌握此类函数问题的常规解题步骤。 （2）掌握用导数解决生活中最优解问题的核心方法，能准确求出函数的最值并对应解决实际优化问题。 （3）理解导数的实际意义，能将物理中的运动问题、经济中的边际问题转化为导数问题进行求解。 2.难点： （1）结合函数图像，准确理解导数与函数单调性、凹凸性的内在联系，能根据导数的符号变化判断函数的拐点和凹凸区间。 （2）能根据实际问题的条件，建立合理的目标函数，准确确定函数的定义域，完成实际问题到数学模型的抽象转化。 （3）综合运用导数知识解决复杂的实际优化问题，能对求解的数学结果进行实际意义的检验和解释，实现数学解到实际解的回归。 （4）处理导数应用中复杂的表达式化简、导数求解及分类讨论问题，提升解题的准确性和严谨性。 知识点01 导数的应用举例 1.优化问题：投入一定的成本如何获得最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题。 2.优化问题的解法：不少优化问题，可化为函数的最值问题，而导数是解决这类问题的有效工具。 3.用导数解决优化问题的一般解题步骤： （1）审题建模：分析实际问题中的数量关系，明确优化目标，设出合适的自变量，将实际问题转化为函数最值问题，写出目标函数表达式 y=f(x)，并确定函数的定义域。 （2）求导分析：对目标函数求导，得到f′(x)。 （3）找临界点：令f′(x)=0，解方程求出导数为零的点（驻点），并结合定义域，判断这些点是否在定义域内。 （4）判断最值：通过分析导数在定义域内的符号变化，判断驻点左右两侧函数的单调性，从而确定该点是极大值点还是极小值点；结合实际问题的意义，直接确定该极值点是否为函数的最值点（若实际问题中最值存在且只有一个驻点，该点即为最值点）。 （5）回归实际：将求得的最值点代入目标函数，计算出最值，并结合实际问题对结果进行解释与验证。 【即学即练】（25-26高二上·上海·期中）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 题型01 利润最大问题 【典例1】（24-25高二下·河北张家口·月考）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 【变式1-1】（24-25高二上·山西·期末）已知某商品成本与销量的函数关系式为，单价与销量的函数关系式为，则当利润最大时， . 【变式1-2】（25-26高三上·上海虹口·月考）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产 万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 【变式1-3】（24-25高二下·安徽·月考）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 题型02 面积、体积最大问题 【典例2】（25-26高三上·上海·月考）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【变式2-1】（24-25高二下·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三上·广东·月考）在中，，将绕所在直线旋转一周，所得几何体体积的最大值为 . 【变式2-3】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 题型03 成本最小问题 【典例3】（25-26高三上·安徽合肥·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【变式3-1】（24-25高二下·江苏镇江·期中）如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为 h. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，从边长为100米的等边三角形花园的点沿直线修一条路到边上的点，再从沿直线修一条路到边上的点，且，若路每米的造价是路每米造价的倍，则当 米时，修筑这两条路的总造价最低．    【变式3-3】（25-26高三上·上海·月考）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 题型04 用料最省问题 【典例4】（23-24高二下·宁夏·月考）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 【变式4-1】（25-26高三上·北京·开学考试）制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·辽宁营口·期中）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，其容积为，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料1kg，圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料 kg.（取）    【变式4-3】（24-25高二下·四川南充·期中）如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为.为使所用材料最省，圆的直径应该为 . 一、单选题 1．（2024高二下·全国·专题练习）某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 2．（2025高三·全国·专题练习）现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为（    ） A．0.032 B．0.04 C．0.042 D．0.038 5．（24-25高二下·福建莆田·月考）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 6．（14-15高二上·湖南株洲·期末）某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 7．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 8．（2024高三·全国·专题练习）某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 二、多选题 9．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 10．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（   ） A．（） B．方盒容积的最大值为 C．在区间上单调递增 D．当时， 11．（24-25高二下·广东揭阳·期末）用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（   ） A．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B．当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D．当时，圆锥的体积最大 三、填空题 12．（24-25高二下·北京·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 . 13．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 14．（23-24高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 16．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 17．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3.4 导数的应用举例 教学目标 1巩固导数的计算方法，掌握利用导数求解函数单调区间、极值、拐点的基本思路，能熟练解决此类函数问题。 2.理解导数在实际问题中的应用价值，掌握用导数解决生活中最优解问题的步骤，能求解用料最省、耗时最短、利润最大等实际优化问题。 3.能结合物理、经济等场景，运用导数求解运动物体的瞬时速度、加速度、边际效应等具体问题。 教学重难点 1.重点： （1）利用导数求解函数的单调区间、极值和拐点，掌握此类函数问题的常规解题步骤。 （2）掌握用导数解决生活中最优解问题的核心方法，能准确求出函数的最值并对应解决实际优化问题。 （3）理解导数的实际意义，能将物理中的运动问题、经济中的边际问题转化为导数问题进行求解。 2.难点： （1）结合函数图像，准确理解导数与函数单调性、凹凸性的内在联系，能根据导数的符号变化判断函数的拐点和凹凸区间。 （2）能根据实际问题的条件，建立合理的目标函数，准确确定函数的定义域，完成实际问题到数学模型的抽象转化。 （3）综合运用导数知识解决复杂的实际优化问题，能对求解的数学结果进行实际意义的检验和解释，实现数学解到实际解的回归。 （4）处理导数应用中复杂的表达式化简、导数求解及分类讨论问题，提升解题的准确性和严谨性。 知识点01 导数的应用举例 1.优化问题：投入一定的成本如何获得最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题。 2.优化问题的解法：不少优化问题，可化为函数的最值问题，而导数是解决这类问题的有效工具。 3.用导数解决优化问题的一般解题步骤： （1）审题建模：分析实际问题中的数量关系，明确优化目标，设出合适的自变量，将实际问题转化为函数最值问题，写出目标函数表达式 y=f(x)，并确定函数的定义域。 （2）求导分析：对目标函数求导，得到f′(x)。 （3）找临界点：令f′(x)=0，解方程求出导数为零的点（驻点），并结合定义域，判断这些点是否在定义域内。 （4）判断最值：通过分析导数在定义域内的符号变化，判断驻点左右两侧函数的单调性，从而确定该点是极大值点还是极小值点；结合实际问题的意义，直接确定该极值点是否为函数的最值点（若实际问题中最值存在且只有一个驻点，该点即为最值点）。 （5）回归实际：将求得的最值点代入目标函数，计算出最值，并结合实际问题对结果进行解释与验证。 【即学即练】（25-26高二上·上海·期中）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)， (2)应该以千米/小时行驶 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、成本最小问题 【分析】（1）求出每小时的运输成本以及全程行驶时间，相乘即可得出关于的函数关系式； （2）利用导数可求出当取最小值时的值，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时， 所以，. （2）， 当时，， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以当时，最小. 综上：应该以千米/小时行驶. 题型01 利润最大问题 【典例1】（24-25高二下·河北张家口·月考）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 【答案】(1) (2)万件 【知识点】利润最大问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用题干的反比关系求出单价与产量的关系，再用总售价减去总成本即可得到总利润的函数表达式； （2）利用导数的方法研究总利润关于产量的函数的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）设产品单价为元，根据题意有（为比例系数），当时，， 所以，从而有，故. 设总利润为（单位：万元），则. （2）由，可得， 令，得，当时，；当时，， 所以当时，取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为万件. 【变式1-1】（24-25高二上·山西·期末）已知某商品成本与销量的函数关系式为，单价与销量的函数关系式为，则当利润最大时， . 【答案】14 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利润最大问题 【分析】先求出利润与销量的关系式，再结合导数求最值即可. 【详解】设利润为，则. 因为，所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故当时，利润取得极大值，也是最大值. 故利润最大时，. 故答案为：14. 【变式1-2】（25-26高三上·上海虹口·月考）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产 万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 【答案】24.30 【知识点】利润最大问题、分段函数模型的应用 【分析】由题意可得出利润，再设，然后分与两种情况并结合导数从而求出最大利润. 【详解】设利润， 则设， 当时，， 则， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值. 当时，此时， 则， 则，令，得， 当时，，此时单调递减， 所以. 又因，所以生产万台设备时，全年利润最大. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·安徽·月考）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【答案】(1)，（） (2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、利润最大问题 【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系. （2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值. 【详解】（1）由题意：，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 题型02 面积、体积最大问题 【典例2】（25-26高三上·上海·月考）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【知识点】面积、体积最大问题、利用二次函数模型解决实际问题、求二次函数的解析式 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定点D的位置. 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【变式2-1】（24-25高二下·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为， 则，可得， 令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值. 故选：B． 【变式2-2】（25-26高三上·广东·月考）在中，，将绕所在直线旋转一周，所得几何体体积的最大值为 . 【答案】 【知识点】求旋转体的体积、余弦定理解三角形、面积、体积最大问题 【分析】由余弦定理，可得，得到，由，得到，求得，求得，利用导数求得函数的单调性与极大值（最大值）即可求解. 【详解】如图所示，将绕所在直线旋转一周，所得几何体为同底的两个圆锥， 由余弦定理，可得， 则， 所以， 设旋转一周得到同底的圆锥的底面圆的半径为，可得，所以， 所以几何体体积为, 则，令，即，即， 解得或（舍去），所以或（舍去） 又由，则, 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也是的最大值， 由，可得， 且 ， 则， 可得，即围成几何体的体积的最大值为. 故答案为：. 【变式2-3】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）设包装盒的底面边长为，高为，将、用表示，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值； （2）求得关于的函数表达式，利用导数法可求得的最大值及其对应的值，进而代入计算得出高及底面边长的比值. 【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则由题意可得，，，其中， 所以， 因此，当时，取得最大值； （2）根据题意，由（1）有， 所以， 由得，（舍）或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，函数取得极大值，也是最大值； 此时包装盒的高与底面边长的比值. 题型03 成本最小问题 【典例3】（25-26高三上·安徽合肥·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【答案】(1)； (2)（i），；（ii）答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、球的体积的有关计算、作差法比较代数式的大小、成本最小问题 【分析】（1）由题设得，应用作差法比较大小； （2）（i）由（1）及球体、圆柱的表面积求法，写出函数表达式，注意定义域；（ii）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，进而确定区间单调性，即可得. 【详解】（1）由题设，则， 所以，而， 所以，则，故； （2）（i）由（1），，且， 所以，且； （ii）由（i）得，， 令， 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 【变式3-1】（24-25高二下·江苏镇江·期中）如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为 h. 【答案】/ 【知识点】成本最小问题 【分析】设，则，求出、的长，设从到所需时间为，求出的解析式，利用导数法可求出的最小值. 【详解】设，其中，根据题意，，，， 则，， 设从到所需时间为， 则，其中， 则， 由可得， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，从边长为100米的等边三角形花园的点沿直线修一条路到边上的点，再从沿直线修一条路到边上的点，且，若路每米的造价是路每米造价的倍，则当 米时，修筑这两条路的总造价最低．    【答案】75 【知识点】正、余弦定理的其他应用、成本最小问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、简单复合函数的导数 【分析】设米，由余弦定理可得，由等边三角形性质得，由此得到总造价函数解析式，利用导数求最值即可. 【详解】设米，路的造价为每米元， 在中，由余弦定理可知 ， 由，得是等边三角形，则， 所以总造价， 当时，均在上单调递减； 则在上单调递减； 当时， 则 ， 令，即，解得（舍）或， 且当时，在单调递减； 当时，在单调递增． 综上可知，在单调递减；在单调递增． 故当时，取最小值. 所以当米时，修筑这两条路的总造价最低． 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高三上·上海·月考）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、成本最小问题 【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据汽车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域； （2）求导讨论单调性即可. 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时，所以 （2） 当时，当时，， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，最小； 当时，，单调递减，当时，最小； 综上：当时，应该以千米/小时行驶； 当时，应该以千米/小时行驶 题型04 用料最省问题 【典例4】（23-24高二下·宁夏·月考）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 【答案】(1) (2) 【知识点】用料最省问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用矩形堆料场的面积可整理得到函数关系式，结合实际意义可得的范围； （2）利用导数可求得函数的单调性，得到函数的最值点，进而得到长宽比. 【详解】（1）由题意知：与原有墙壁垂直的新墙长度为，的取值范围为， 则，整理可得：， 关于的函数解析式为. （2）由（1）可得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，此时， 当堆料场的长、宽比为时，需要砌起的新墙用的材料最省. 【变式4-1】（25-26高三上·北京·开学考试）制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、用料最省问题 【分析】设圆柱的高为，底面圆的半径为，根据题意，求得，圆柱形容器的表面积为，利用导数求得的单调性，进而得到答案. 【详解】如图所示，设圆柱的高为，底面圆的半径为， 因为圆柱形容器的容积为，可得，则， 圆柱形容器的表面积为， 可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，也为的最小值. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高三上·辽宁营口·期中）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，其容积为，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料1kg，圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料 kg.（取）    【答案】 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式以及表面积公式可得圆锥的侧面积表达式为，求导，即可根据函数的单调性求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为. 由题意知该粮仓的容积，则， 则该粮仓的圆锥侧面积为， 设，则. 令，得，易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二下·四川南充·期中）如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为.为使所用材料最省，圆的直径应该为 . 【答案】 【知识点】用料最省问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】假设圆的半径为，矩形的长为，根据题目信息得到关系式，再将图形的周长表示出来得，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时的值即可. 【详解】设圆的半径为，则半圆的面积为， 所以矩形的宽为，设矩形的长为，则矩形的面积为， 所以，即， 该图形的周长为， 令，所以， 令，解得：（负值舍去）， 当时，当时 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，函数取得最小值. 即圆的直径时，所需材料最省. 故答案为： 一、单选题 1．（2024高二下·全国·专题练习）某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 【答案】B 【知识点】用料最省问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案. 【详解】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m， 因此新墙总长度，则， 令，得或(舍去)， 当时，，当时，， 则L在上单调递减，在上单调递增， ∴是L的最小值点，此时， 故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、锥体体积的有关计算 【分析】先设出圆锥的底面半径，根据圆锥的几何特征找到与的关系，由此表示出圆锥容积关于的函数表达式，再利用导数即可求出容积的最大值. 【详解】设圆锥筒的底面半径为，容积为， 因为，．所以， 即，．因为， 令得：（舍负值）． 列表如下： 0 极大值 所以，当时，取极大值即最大值，则的最大值为， 故选B． 3．（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【答案】B 【知识点】利润最大问题 【分析】利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值. 【详解】依题意，得， 令，得， 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值. 故选：B. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为（    ） A．0.032 B．0.04 C．0.042 D．0.038 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利润最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设存款利率为，由题意可得银行的收益是，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】设存款利率为， 依题意，存款量是，银行应支付的利息是，贷款的收益是，． 所以银行的收益是， 由于，令，得或（舍去）． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值． 故选：A 5．（24-25高二下·福建莆田·月考）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 【答案】D 【知识点】利润最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，再利用导数求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 6．（14-15高二上·湖南株洲·期末）某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】D 【知识点】利润最大问题 【分析】根据题意求出总利润的解析式，再利用导数求解最大值即可. 【详解】由题意得，总利润为， 当时，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则时，； 当时，，函数单调递减， 所以， 所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大． 故选：D. 7．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【知识点】利润最大问题 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C 8．（2024高三·全国·专题练习）某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【知识点】用料最省问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设，求出修建费用关于的函数解析式，根据单调性得出求出函数极值点，得出结论． 【详解】设海里，在陆地上修建管道没海里费用为，修建总费用为， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 当时，取得最小值，故而取得最小值． 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 【答案】BD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、成本最小问题 【分析】设，利用函数表示出运费，求导数，利用导数求出最小值及对应的，即可得解. 【详解】设，铁路上的运费为， 公路上的运费为， 则由到的总运费为. 则. 令，解得，(舍). 当时，，当时，. 故当时，取得最小值，， 即当在距离点为的点处修筑公路至时总运费最小， 此时，，点M到C的公路运费是50， 故选：BD 10．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（   ） A．（） B．方盒容积的最大值为 C．在区间上单调递增 D．当时， 【答案】ABD 【知识点】面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先根据已知条件求出无盖方盒的容积表达式，借助导数研究单调性和最值，运用函数对称性和分组求和得到函数值. 【详解】由题意可知，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为. 根据长方体体积公式，可得方盒容积，展开可得： 因为要能做成无盖方盒，则且，即，所以，故A选项正确. 对求导，可得： 令，即，解得，. 因为，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，，故B选项正确. 由上述求导分析可知，当时，，所以在区间上单调递减，故C选项错误. 当时，.易知. 所以，，，，. 一共有组和为的数对，再加上，则，故D选项正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·广东揭阳·期末）用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（   ） A．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B．当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D．当时，圆锥的体积最大 【答案】AD 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、圆锥中截面的有关计算、面积、体积最大问题 【分析】求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式可判断A选项；当时，，求出圆锥的轴截面顶角，进一步即可验算，可判断B选项；分别算出圆锥外接球半径以及正四面体内切球半径，比较大小即可判断C选项；求得，，进而得出，令，利用导数求出使得取最大值时的值，即可得出对应的值，可判断D选项. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 对于A选项，该圆锥的侧面积为，解得， 所以该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为，A对； 对于B选项，当时，，此时圆锥的轴截面如图所示，   ，所以为钝角， 令、是圆锥的底面圆周上任意的不同两点，则， 所以， 当且仅当时，取等号，B错； 对于C选项，当时，即当时，该圆锥的侧面积为，可得， 高， 设圆锥的外接球球心为，圆锥的外接球半径为， 所以， 棱长为的正四面体可以补成正方体，如图所示，    则正方体的棱长， 正四面体的体积为， 正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球半径为， 则由等体积法可知， 注意到， 所以圆锥不能在棱长为的正四面体内任意转动，C错； 对于D选项，由题意可知，圆锥底面周长为，故， 该圆锥的高为， 所以，圆锥的体积为，故， 令，其中， 则，由，可得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，即当时，取最大值，此时取最大值，D对. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二下·北京·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 . 【答案】 【知识点】利润最大问题 【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶饮料的利润的解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数取最大值时的值． 【详解】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以当时，函数取得最大值， 即当半径为时，利润最大； 故答案为：． 13．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 【答案】0.047 【知识点】利润最大问题 【分析】根据题意求得收益，利用导数法求解最值，即可得解. 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 14．（23-24高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、成本最小问题 【分析】根据，得，分别求出两个污染指数即可得出函数关系，求出函数的导函数，依题意可得，即可求出的值，再检验即可. 【详解】依题意点受污染源污染程度为，点受污染源污染程度为，其中为比例常数，且， 从而点处受污染程度，； 因为，所以，则， 当时，取得最小值，必是极小值，所以， 解得， 此时 ，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以在时，取得极小值，也是的最小值， 所以污染源的污染强度的值为． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利润最大问题 【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径； （2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 16．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】(1)，定义域为 (2)，最小值为 【知识点】圆柱表面积的有关计算、成本最小问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 17．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【答案】(1) (2)时，用料最省. 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、用料最省问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）设扇形半径为，根据扇形的面积公式可得，即可得结果； （2）根据（1）可得，构造，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $