重难点专题1.3 导数的综合应用十二种题型（高效培优专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

重难点专题1.3 导数的综合应用十二种题型 题型一 用导数判断函数零点个数 题型二 利根据函数零点个数求参数 题型三 应用导数证明不等式 题型四 利用导数研究恒成立成立问题 题型五 利用导数研究能成立问题 题型六 利用导数研究“有解”问题 题型七 利用导数研究函数图象及性质 题型八：利用导数研究双变量问题 题型九：利用导数研究利润最大问题 题型十：利用导数研究面积、体积最大问题 题型十一：利用导数研究用料最省问题 题型十二：导数新定义问题 题型一 用导数判断函数零点个数 1．（多选）（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．不是单调函数 C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点 2．（多选）（25-26高二上·山东临沂·期末）设函数，则下列结论正确的有（   ） A．的单调递减区间为 B．是的极小值点 C．有3个零点 D．当时，方程恰有三个实数根 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 4．（2026·新疆·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 题型二 利根据函数零点个数求参数 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 6．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三 应用导数证明不等式 9．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若，证明：当时，． 10．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，当时，证明． 11．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)证明：. 12．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数 (1)求出的极值点，零点，并画出的大致图象； (2)证明：. 题型四 利用导数研究恒成立成立问题 13．（2026·河北·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 14．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知． (1)证明：； (2)若在上恒成立，求实数的最小值． 15．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数a的范围． 题型五 利用导数研究能成立问题 17．（2026高三·上海·专题练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，求a的取值范围. 18．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，求实数的最小可能值. 题型六 利用导数研究“有解”问题 20．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 22．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 23．（25-26高二上·浙江衢州·期末）设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 题型七 利用导数研究函数图象及性质 24．（多选）（2026·陕西西安·三模）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 25．（多选）（24-25高二下·广东揭阳·月考）若曲线的方程为，其部分图象如图所示，直线与在第四象限存在唯一公共点，则 （    ） A．是中心对称图形 B．过点可向作两条相互垂直的切线 C．与直线相切 D．的纵坐标小于 26．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为. (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 27．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 题型八：利用导数研究双变量问题 28．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 29．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 30．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 题型九：利用导数研究利润最大问题 31．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 题型十：利用导数研究面积、体积最大问题 32．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ） A． B． C． D．5 题型十一：利用导数研究用料、成本最省（低）问题 33．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 34．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 题型十二：导数新定义问题 35．（2025高二·全国·专题练习）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 36．（24-25高二下·四川泸州·月考）若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）（25-26高三上·山东·月考）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题1.3 导数的综合应用十二种题型 题型一 用导数判断函数零点个数 题型二 利根据函数零点个数求参数 题型三 应用导数证明不等式 题型四 利用导数研究恒成立成立问题 题型五 利用导数研究能成立问题 题型六 利用导数研究“有解”问题 题型七 利用导数研究函数图象及性质 题型八：利用导数研究双变量问题 题型九：利用导数研究利润最大问题 题型十：利用导数研究面积、体积最大问题 题型十一：利用导数研究用料最省问题 题型十二：导数新定义问题 题型一 用导数判断函数零点个数 1．（多选）（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．不是单调函数 C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据奇偶性定义可判断A；利用导数可判断B；求出在处的切线方程可判断C；根据单调性和可判断D. 【详解】对A，因为的定义域为，且， 所以为奇函数，正确； 对B，因为，所以在上单调递增，错误； 对C，令，解得，所以， 又，所以在处的切线方程为，正确； 对D，由上可知在上单调递增，所以最多有一个零点， 又，所以是函数的唯一零点，正确. 故选：ACD 2．（多选）（25-26高二上·山东临沂·期末）设函数，则下列结论正确的有（   ） A．的单调递减区间为 B．是的极小值点 C．有3个零点 D．当时，方程恰有三个实数根 【答案】ACD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用导数法求出单调性判断A；根据单调性得到极值点判断B；根据函数单调性结合零点存在定理得到有3个零点判断C；当时，结合图像得到方程恰有三个实数根判断D. 【详解】，， 对于选项A，的解为， 则的单调递减区间为，故选项A正确； 对于选项B，由得或， 的解为或， 则的单调递增区间为， 则是的极大值点，故选项B错误； 对于选项C，， 为的一个零点， 时是单调递增函数， 故在范围内，有且仅有一个零点； 的单调递减区间为， 是的极大值点， ， 是的极小值点， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 在范围内，是单调递增函数， ， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 则有3个零点，故选项C正确； 对于选项D，的极小值为 ，极大值为，， 直线与的图像有且只有三个交点， 结合图像可知，当时，方程恰有三个实数根，故选项D正确.    故选：ACD. 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，上单调递减 (3)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可； （2）当时，对进行求导，利用导数的性质，得到的单调性； （3）分离参数得，设，利用导数求最值，从而得解. 【详解】（1） 当时，， 则，切点为， ， 切线方程为：，化简得，； （2）当时，， 当时，，所以， 所以，函数在上单调递增， 当时，，所以， 所以，函数在上单调递减； （3）令， 当时，，即不是函数的零点， 当时，可得， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，设， 则， 则在上单调递减，故， 从而，所以在上单调递增， 故， 综上所述，当时，函数有2个零点， 当时，函数有1个零点， 当时，函数无零点. 4．（2026·新疆·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导数，求出得斜率，点斜式可求切线方程； （2）先求导数，从1分段讨论导数的符号，得出单调性； （3）令，求解根的情况，需讨论的单调性，判断其零点个数. 【详解】（1）当时，，， ，所以曲线在点处的切线方程为. （2）定义域为，， 整理得， 当时，，因为，所以， 所以，为增函数. 当时，，因为，所以， 所以，为减函数. 综上可得，当时，为减函数，当时，为增函数. （3）设，由得或； 当时，，为增函数，又，此时仅有一个零点； 当时，，时，，为增函数， 时，，为减函数，的最大值为； 若，的最大值为，此时仅有一个零点； 若，则，且趋近于时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 若，则，且趋近于0时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 综上可得，当或时，有一个零点，当或时，有两个零点. 题型二 利根据函数零点个数求参数 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】由题可得或，据此可得答案. 【详解】，， ，则在上单调递增，在上单调递减. 为使在R上有两个零点， 则或，得或， 从而或. 故选：A 6．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】根据要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，根据导数极值列不等式组计算即可. 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 7．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】根据题意，转化为与的图像有两个不同的交点，利用导数法求得的单调区间和极值，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】因为函数有两个不同的零点，可得有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根，即与的图像有两个不同的交点， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，且当时，；当时，， 画出函数与的图像，如图所示， 结合图像，可得，所以实数的取值范围为. 故选：C.    8．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】先分离参数，转化为求两函数图像交点的问题，画出在区间的图像即可. 【详解】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解， 当时，，故可化为， 令，，则问题转化为与在各有一个交点. 设， ， 时，， 故，在单调递增， 又，所以时，，，在单调递增. 时，设， 故在上单调递增， 又，故存在使成立， ，，单调递减；，，单调递增. 又，，所以存在使成立， ，，单调递增；，，单调递减. 又, 所以大致图像如图所示， 故的取值范围为 故选：A. 题型三 应用导数证明不等式 9．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若，证明：当时，． 【答案】证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】由，，可得，只需证，令，利用导数求出函数的最小值即可得证. 【详解】因为，， 则要证，只需证， 令，则， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 所以函数在上单调递增， 所以，得证． 10．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，当时，证明． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）构造新函数，利用导数分析新函数的单调性及最值，通过证明的最小值大于等于零，证明． 【详解】（1）当时，，则. 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设，则. 因为，所以当时，，所以)在单调递减； 当时，，所以)在单调递增． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 设，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 即的最小值为0，即. 综上所述，，即. 故得证. 11．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】(1)求出，，可得答案； (2)将问题转化为证明函数恒成立，结合导数研究的最小值即可求解. 【详解】（1）定义域为，， 易知在上单调递增，所以的零点为1，列表如下： x 1 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值. （2）设，， ，令，得，列表如下： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以，即， 即，所以. 12．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数 (1)求出的极值点，零点，并画出的大致图象； (2)证明：. 【答案】(1)极小值点，无极大值，零点为1，图象见详解； (2)证明见详解 【知识点】画出具体函数图象、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、求已知函数的极值点 【分析】（1）求导，判断导数的正负得到单调性和极值，结合单调性判断零点，画图； （2）令，利用导数判断单调性极值，得证. 【详解】（1）由，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值点为，无极大值； 又，，，，， 所以函数的零点为1. （2）令，则， 当时，，即单调递减， 当时 ，，即单调递增， 所以，即， 所以，得证. 题型四 利用导数研究恒成立成立问题 13．（2026·河北·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】对已知条件进行变形，结合同构法构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可. 【详解】由，得，即. 取函数，，则. 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以. 记，，则. 令，则，解得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知． (1)证明：； (2)若在上恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）法1，设，求导，判断单调性求出最值得证；法2，由题，问题转化为证明，设，利用导数判断单调性求出最值得证. （2）法1，分离参数，问题转化为在上恒成立，设，利用导数判断单调性求出最值得解；法2，设，即在上恒成立，求导，分和讨论求解. 【详解】（1）证法1：设，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此，即，故原不等式成立. 证法2：要证，即证. 设，则，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，故原不等式成立. （2）解法1：因为在上恒成立，所以在上恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 因此的最小值为. 解法2：设，则在上恒成立，． 若，与已知矛盾，舍去． 若，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为． 15．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数a的范围． 【答案】(1)当时，，无极大值；当时，，无极小值. (2)． 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数分析当和时，的单调性，再根据极值的定义即可求解. （2）令，根据在上恒成立求出，然后再证明其充分性成立即可. 【详解】（1）因为， 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值，，无极大值， 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，，无极小值. （2）记， 即，在上恒成立， ， 又恒成立，故，得， 充分性：下面证时原式恒成立，即证，且，， 令， 则， 当时，， 所以单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以成立， 当时，因为 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递减，所以成立， 综上，当时成立， 所以a的取值范围为． 题型五 利用导数研究能成立问题 17．（2026高三·上海·专题练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，求a的取值范围. 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】由题意易知恒成立，则可等价于对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得. 【详解】对，都，使得不等式成立等价于， 因为当时，，则；当时，，则 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即， 当时，成立， 故当时，由可得 . 记，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 则当时，，即恒成立， 故，即 所以. 所以a的取值范围为. 18．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】分析可得，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围 【详解】对任意的，总存在，使得，则， 因为， 则对任意的恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 则. 因为， 所以当时，，不满足，故； 当时，在上单调递增， 所以， 即，解得； 当时，在上单调递减， 当x趋于时，趋于, 由,解得,与矛盾，故舍去； 综上，的取值范围为.. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，求实数的最小可能值. 【答案】1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】分两种情况讨论：当时，符合题意，当时，在上恒成立，从而可得最小值. 【详解】，当时，，符合题意． 下证时，在上恒成立． 由于， 设，则， 于是在上单调递减，在上单调递增， 从而恒成立．所以时，在上恒成立. 综上，实数的最小可能值为1． 题型六 利用导数研究“有解”问题 20．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 21．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】分析可知不等式在时有解，令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据在有解可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得有解，即在时有解. 令，则    若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意；     若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得.               综上，的取值范围为. 22．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值；（3）对化简变形，构造函数，则问题转化为在上有解，利用导数求出函数的最小值，列不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. （3）因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得. 所以实数a的取值范围是. 23．（25-26高二上·浙江衢州·期末）设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无减区间 (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出导数得函数，再利用导数探讨函数性质，进而求出范围. （3）等价变形不等式并构造函数，再利用导数求出最大值，利用不等式有解列式求出范围. 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得， 令，求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以在上单调递增，无减区间. （2）依题意，， 由（1）得在上单调递减，在上单调递增，， 当，时，，则当有两个零点时，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）不等式有解， 即有解，令， 求导得， 由，得；由，得 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 题型七 利用导数研究函数图象及性质 24．（多选）（2026·陕西西安·三模）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 【答案】BC 【知识点】利用导数研究函数图象及性质、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数求出的单调性和极值，结合图象，分析即可判断A的正误；设，利用导数求得的单调性，分析可得的零点个数，即可判断B的正误；由题意得直线与有3个公共点，根据解析式，化简计算，可判断C的正误；根据特殊值，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：设，则， 令，则或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值是，极小值是， 故直线与有2个公共点，直线与也有2个公共点，故A错误； 选项B：设， 则，则单调递增， 且当时，，当时，， 故有且仅有一个零点，即所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点，故B正确； 选项C：由上可知直线与有3个公共点，设它们的横坐标分别为，，， 则， 展开得， 故有，且， 所以，故C正确； 选项D：因为，且，此时这两点的纵坐标的绝对值均为2， 不符合题意，故D错误. 故选：BC 25．（多选）（24-25高二下·广东揭阳·月考）若曲线的方程为，其部分图象如图所示，直线与在第四象限存在唯一公共点，则 （    ） A．是中心对称图形 B．过点可向作两条相互垂直的切线 C．与直线相切 D．的纵坐标小于 【答案】BC 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数图象及性质 【分析】对于A，由其图象即可判断；对于B，记，利用导数判断它的单调性和极值，且，进而可得是的一条切线. 再证与相切（仅讨论第四象限）即可判断；对于C，由B知，进而可求出的范围，即可判断；对于D，设函数，根据导数可求出它的极值点和极大值，将极值点代入，解得，即，即可判断. 【详解】对于A，由图可知曲线是关于轴对称的轴对称图形，不是中心对称图形，A错误； 对于B，因为，记， ，所以在和单调递增，在单调递减. ，所以，仅当取等.因此是的一条切线. 下证与相切（仅讨论第四象限）， 令，则，解得，即时，恒有， 而时，，因此与相切，B正确； 对于C，由于过点和点，则令（仅讨论第四象限）， 由B项分析可知，所以，即， 所以直线与切于点，C正确； 对于D，依题意，联立与的方程，则有在内只有一解， 令 由于，可知存在极大值点，则极大值， 由，解得，即，D错误. 故选：BC. 26．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为. (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明，令，利用导数证明恒成立，即可. 【详解】（1）由，得，所以， 又，所以切线方程为，即； （2）结合（1），令，则， 令，则， 令，得，所以时，时， 所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增， 注意到，所以有唯一根， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， 所以函数，则，当且仅当时取等号， 所以切线在曲线的下方（切点除外），得证. 27．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）将问题转化为恒成立，则在上恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可. 【详解】（1）由，则，， ，， 代入得， 所以在处的切线方程为． （2）由图象恒在轴上方，则恒成立， 即在上恒成立， 令，即， ，令，则， 所以在上为单调递增函数且． 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以为函数的最小值，即． 所以综上可知． 题型八：利用导数研究双变量问题 28．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分解因式，进而分，可确定单调性； （2）由题意可求得，进而证明，令，利用导数可证结论. 【详解】（1）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）可得，当时，， 即证，即证， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ，即， . 29．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】把两个零点代入函数解析式，分别相减、相加表示出来建立等式，构造函数以及结合基本不等式，得到关于的不等式，利用单调性证得结论. 【详解】设， 代入得， 两式相减并整理得：， 又由两式相加得并整理得：， 则，. 设，则，单调递增， 则当时，，即， 代入即，则， 则, 则， 则， 设，则单调递增，且， 则. 30．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究双变量问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求出函数的最大值； （2）设，代入，可将化简为，设，对求导，得出的单调性，可求出在上的值域. 【详解】（1）函数的定义域为，，令，解得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，即. （2）由题意可得，整理得， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递增，所以. 所以的取值范围为. 题型九：利用导数研究利润最大问题 31．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)4元／千克，最大值为42元 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利润最大问题 【分析】（1）由题可得将代入函数得到，列方程求解即可得到的值； （2）由题求出利润的表达式为，，利用导数得到函数的单调性进而得到函数的最大利润为42元． 【详解】（1）∵当时，， ∴由函数式， 得． （2）由（1）知该商品每日的销售量， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为， ，     ． 令，得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． ∴当时，函数取得最大值， ∴当销售价格为4元／千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元． 题型十：利用导数研究面积、体积最大问题 32．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算 【分析】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，则可得正六棱柱容器的容积为，再利用导函数求得最值即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，， 所以正六棱柱容器的容积为， 由知， 当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 故选：C 题型十一：利用导数研究用料、成本最省（低）问题 33．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） (1)求的表达式； (2)当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 【答案】(1) (2)． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题 【分析】（1）先根据圆柱体积公式求出高关于底面半径的表达式，再结合不同面的成本，建立总造价关于底面半径的函数； （2）对总成本函数求导，通过导数的正负判断函数单调性，找到极小值点即最小值点，进而求出此时底面半径与高的比值. 【详解】（1）由题意得：，则， 总成本函数为． 所以． （2）因为， ． 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以当时函数有极小值也是最小值为． 此时，则． 答：使得易拉罐总制造成本最低时的底面半径r和高h的比值为． 34．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【答案】(1) (2)时，用料最省. 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、用料最省问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）设扇形半径为，根据扇形的面积公式可得，即可得结果； （2）根据（1）可得，构造，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. 题型十二：导数新定义问题 35．（2025高二·全国·专题练习）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【知识点】平均变化率、简单复合函数的导数、导数新定义 【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断． 【详解】由题意知，即存在一点， 使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数. ①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意． ②由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ③由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ④由得，而， 故有两个“中值点”，符合题意． 故选：A. 36．（24-25高二下·四川泸州·月考）若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】求出函数的导函数，结合“巧值点”的定义逐个求解判断. 【详解】对于A，由，得，所以， 所以有无数个“巧值点”，所以A错误； 对于B，由，则， 令，则，显然，则，显然不成立， 所以无解，故不存在“巧值点”，故B正确； 对于C，由，得，由，得， 即为函数的“巧值点”，所以C错误； 对于D，由，得，令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，所以存在，使， 即，所以为函数的“巧值点”，所以D错误. 故选：B 37．（多选）（25-26高三上·山东·月考）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】导数的运算法则、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】根据“对称导数函数”定义逐项判断. 【详解】对于A：，因为 ，所以， 所以是“对称导数函数”，故A正确. 对于B： ， 令，得， 设， 则，所以为增函数，又， 所以在上无实数解，所以不是“对称导数函数”，故B错误. 对于C： ，令，得， 即，令， 则是增函数，又因为，所以有唯一零点0， 所以等价于，而， 所以不是“对称导数函数”，故C错误. 对于D：对于，令， 得，因为， 当时，方程成立，所以是“对称导数函数”，D正确. 故选：AD 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $