1.3.3 三次函数的性质单调区间和极值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值 　　　　　　　　　　　　　　　 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能利用导数研究三次函数的有关性质,理解函数最值的概念,体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 2.能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.三次函数的导数零点与其单调区间和极值 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则F'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),填写下表. 当a>0时, 　　　F'(x)的零点 F(x)、F'(x) 的性质　 无 x=w x=u和x=v(u<v) F'(x)的符号 F'(x)>0 F'(x) ≥0 x∈(-∞,u)∪(v,+∞)时,F'(x)>0;x∈(u,v)时,F'(x)<0 F(x)的单调性 在(-∞, +∞)上 递增 在(-∞, +∞)上 递增 在(-∞,u),(v,+∞)上递增;在(u,v)上递减 F(x)的极值 无 无 在x=u处取极大值,在x=v处取极小值 　当a<0时, 　　　F'(x)的零点 F(x)、F'(x)的性质　　 无 x=w x=u和x=v(u<v) F'(x)的符号 F'(x) <0 F'(x)≤0 x∈(-∞,u)∪(v,+∞)时,F'(x)<0;x∈(u,v)时,F'(x)>0 F(x)的单调性 在(-∞, +∞)上 递减 在(-∞, +∞)上 递减 在(-∞,u),(v,+∞)上递减;在(u,v)上递增 F(x)的极值 无 无 在x=u处取极小值,在x=v处取极大值 2.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 (1)一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该函数在[a,b]上必有最大值与最小值.函数y=f(x)在[a,b]的最值(最大值和最小值的统称)必在极值点或区间端点处取得. (2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. ②求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b). ③将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 3.最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. |微|点|助|解| 　　如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象,显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值;最大值y=M=f(x3)=f(b),分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4),在x=x4处取得. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)闭区间上的连续函数一定有最值. (　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值. (　　) (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. (　　) (4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.函数f(x)=2x3+9x2-2在[-4,2]上的最大值和最小值分别是 (　　) A.25,-2 B.50,14 C.50,-2 D.50,-14 解析:选C　∵函数f(x)=2x3+9x2-2,∴f'(x)=6x2+18x=6x(x+3),当x∈[-4,-3)∪(0,2]时,f'(x)>0;当x∈(-3,0)时,f'(x)<0;由f(-4)=14,f(-3)=25,f(0)=-2,f(2)=50,故函数f(x)=2x3+9x2-2在区间[-4,2]上的最大值和最小值分别为50,-2. 3.函数y=在[0,2]上的最大值为　　　　.  解析:令y=f(x),∵y'==,令y'=0,得x=1∈[0,2].∴f(1)=,f(0)=0,f(2)=,∴f(x)max=f(1)=. 答案: 题型(一)　三次函数的图象与性质 [例1]　[多选]已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个单调递增区间是 (　　) A.(-∞,2) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 解析:选AB　∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15.∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由f'(x)>0,得x<2或x>3. [例2]　函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间为 (　　) A.(-∞,-2] B.[3,+∞) C.[-2,3] D. 解析:选D　f'(x)=3ax2+2bx+c=3.由f(x)的图象可知,f'(x)=0,即ax2+bx+=0的两根分别为-2,3,∴y=ax2+bx+的对称轴为x==.又a>0,∴y=ax2+bx+在上单调递减,在上单调递增. |思|维|建|模| 　　三次函数的导函数是二次函数,根据二次函数的图象与性质可以研究三次函数的单调性与极值. 　　[针对训练] 1.若函数f(x)=x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,0) B. C. D. 解析:选C　由f(x)=x3-ax2+ax,得f'(x)=x2-2ax+a.因为f(x)在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,所以解得1<a<. 2.设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=x·f'(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的极大值为f(),极小值为f(-) B.f(x)的极大值为f(-),极小值为f() C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3) D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3) 解析:选D　由题图知,当0<x<3时,x·f'(x)>0,可得f'(x)>0;当x>3时,x·f'(x)<0,可得f'(x)<0;当-3<x<0时,x·f'(x)<0,可得f'(x)>0;当x<-3时,x·f'(x)>0,可得f'(x)<0.故三次函数f(x)在(-3,3)上单调递增,在(-∞,-3),(3,+∞)上单调递减,可得f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3). 题型(二)　求函数的最值 [例3]　 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R. (1)求f(x)的单调区间; (2)当x∈[-,3]时,求f(x) 的最大值与最小值. 解:(1)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1). (2)由(1)知x∈[-,3]时,f(x)的极大值为f(-1)=2,f(x)的极小值为f(1)=-2, 又f(-)=0,f(3)=18. 所以f(x)的最大值为18,f(x)的最小值为-2. 　　[变式拓展] 1.本例函数变为f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 解:f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=a. ①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0. ③当a<0时,f(x)在上单调递减, 在上单调递增, 所以f(x)min=f=a3. 综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3; 当a=0时,f(x)的最小值为0; 当a<0时,f(x)的最小值为a3. 2.当a>0时,求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a,2a]上的最值. 解:f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=a, 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在[a,2a]上单调递增. 因为f(-a)=-a3,f=a3, f(a)=-a3,f(2a)=2a3, 所以f(x)max=f(2a)=2a3, f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. |思|维|建|模| 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 　　[针对训练] 3.函数f(x)=ex-x+2在[-2,2]上的值域为 (　　) A.[3,e2] B.[3,e-2+4] C.[e-2+4,e2] D.[e+1,e2] 解析:选A　由题意得f'(x)=ex-1,当-2≤x<0时,f'(x)<0,当0≤x≤2时,f'(x)>0,故f(x)在[-2,0)上单调递减,在[0,2]上单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,也是最小值,故f(x)min=f(0)=3,因为f(-2)=e-2+4<f(2)=e2,所以f(x)max=e2.故所求的值域为[3,e2].故选A. 4.已知函数f(x)=aln x+x-a,a∈R.讨论函数f(x)的最值. 解:由函数f(x)=aln x+x-a,可得其定义域为(0,+∞),且f'(x)=+=, 当a≥0时,可得f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最值; 当a<0时,令f'(x)<0,得0<x<-2a,所以f(x)在(0,-2a)上单调递减; 令f'(x)>0,得x>-2a,所以f(x)在(-2a,+∞)上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(-2a)=aln(-2a)-2a,无最大值. 综上可得,当a≥0时,f(x)无最值; 当a<0时,f(x)的最小值为aln(-2a)-2a,无最大值. 题型(三)　由函数最值求参数的值或范围 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例4]　当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= (　　) A.-2 B.-4 C.2 D.4 解析:选A　当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,所以f(1)==-2,即b=-2,f(x)=aln x-,定义域为(0,+∞).又因为f(x)在x=1处取得最大值,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f'(x)=,则f'(1)==0,所以a=-2. [例5]　函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-3,2) B.[-3,2) C.[-1,2) D.(-1,2) 解析:选C　 由f'(x)=x2-2x=0得x1=0,x2=2,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.f(x)在区间(a,a+5)内存在最小值,故最小值为f(2),又f(-1)=f(2), 故有解得-1≤a<2.故实数a的取值范围是[-1,2). |思|维|建|模| 　　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 　　[针对训练] 5.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围. 解:∵h(x)=x3+3x2-9x+1, ∴h'(x)=3x2+6x-9, 令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1, 当x变化时h'(x)及h(x)的变化情况如下表. x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) 递增↗ 极大 值 递减↘ 极小 值 递增↗ 当x=-3时,取极大值28;当x=1时,取极小值-4. 而h(2)=3<h(-3)=28, 由h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3. 故k的取值范围是(-∞,-3]. 学科网（北京）股份有限公司 $