1.3.4导数的应用举例 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题名称：数学选择性必修第2册 1.3.4导数的应用举例 教学方法： “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习） 教学目标： 1.了解导数在解决实际问题中的作用。 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题。 3.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想。 教学重点、难点： 教学重点：掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题。 教学难点：在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想。 教学过程 教学环节 教学活动 创设情境 [图片展示] 游泳池的图片 [提问] 修建一个100m3的游泳池，底面为正方形，如何控制边长和高才能使得用料最少？ 【学生】互相讨论、作答 回答一：若假设建泳池的材料处出相同，求泳池的用料也就是求泳池的表面积，要使得用料最少，也就是要得到表面积的最小值 回答二：利用之前学过的导数可以求最小值，但是要先建立起表面积关于泳池边长和高的函数模型 【教师】 1.先建立游泳池的表面积关于边长和高的函数模型 2.根据我们以往学过的知识，可以求出表面积的最小值 3.结合实际情况，可求出最小表面积所对应的边长和高 深入探究 例1，某企业要生产容积为Vm3的圆柱形密闭容器，已知该容器侧面耗材为1元/m2，上下底面的耗材为1.5元/m2，问：如何设计圆柱的高度h和上下底面的半径r，使得费用最少? 【教师】这个最优化问题该如何建立模型？ 【学生】小组讨论，作答。 首先建立所需费用与圆柱高度与上下底面半径的函数模型，然后对函数求导，求出导数的零点，根据题意，导数的零点即为该函数的最小值点，从而解决问题 解:由题意可得,所需费用为 由于容器的体积为,从而,因此 对关于求导,得 令,解得 当时,,则单调递减 当时,,则单调递增 因此,在处取得极小值,也是最小值 当时,,则单调递减 当 和,得 因此,当圆柱上下底面半径,高时,所需费用最少 课堂练习 【例2】如图,让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端,斜面两端的水平距离为,如何选择斜面和水平面之间的角度,使木块从上端滑到下端所用的时间最短? 解:根据物理知识,木块在前进方向所受的力如图,大小为,其中是 重力加速度,所以它的加速度大小为.由此得到木块的运动方程为 又木块从上端到下端经过的路程为 于是,解得 由题意,要求的是上式右端关于变量x的最小值点,也就是函数 的最大值点 ,解得 时,; 时, 因此,在时取得极大值,也是最大值,因此,当斜面和水平面之间 的角度时,木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端所用的时间最短 【例3】江轮逆水上行300,水速为,船在静水中的速度为.已知行船时每小时的耗油量为 即与船在静水中的速度的平方成正比.问:多大时全程的耗油量最小? 解:船的实际速度为,故全程用时为 所以全程的耗油量 对关于求导,得 令 可得在上有唯一零点.又在上为负,在上为正,故 在处取到极小值,也是最小值(图1.3-20) 因此,当时,全程的耗油量最小 课堂小结 1.我们学到了哪些新的数学知识? ①优化问题的概念 ②利用导数解决实际优化问题 2.我们运用了哪些解题方法和数学思想? 解题方法:利用导数解决实际优化问题 数学思想:函数方程思想,数学建模思想 课后作业 教材P40练习题1,3 学科网（北京）股份有限公司 $$