1.3.4 导数的应用举例（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.3.4　导数的应用举例 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.体会导数与函数单调性、最大(小)值的关系. 2.掌握导数在实际问题中的应用. 3.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. 重点 难点 导数的实际应用及利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. —————————————————————————————————— 用料最省、费用最低问题 —————————————————————————————————————— [典例1]　如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖). (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域. (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价. [解]　(1)设长为x m，则宽为 m. 据题意解得≤x≤16， y＝×400＋×248＋16 000 ＝800x＋＋16 000. (2)令y′＝800－＝0，解得x＝18. 当x∈(0,18)时，函数y为减函数； 当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数. 又∵≤x≤16.∴当x＝16时，ymin＝45 000. ∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元. [方法技巧] 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.　　 [对点训练] 1.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？ 解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2. ∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5. 设全程燃料费为y元， 由题意，得y＝y1·＝， ∴y′＝＝. 令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16. ∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y为减函数； v∈(16，v0]，y′＞0，即y为增函数， 故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省； 当v0＜16时，v∈(8，v0]，y′＜0，即y在(8，v0]上为减函数， 故当v＝v0时，ymin＝，此时全程燃料费最省. 综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元. ————————————————————————————————— 利润最大、效率最高问题 ————————————————————————————————————— [典例2]　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为：R＝50 000＋200x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ [解]　依题意，每月生产x吨时的利润为 f(x)＝x－(50 000＋200x) ＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0). 由f′(x)＝－x2＋24 000， 令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去). 因为f(x)在[0，＋∞)内有意义，则有且只有当x＝200时f′(x)＝0，且它就是最大值点，最大值为 f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000. 故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. [方法技巧] 实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值.　　 [对点训练] 2.某产品按质量分为10个档次，生产第1档次(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但在一天内产量减少3件.在一天内，最低档次的产品可生产60件.问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大？最大利润是多少？ 解：设在一天内，生产第x(1≤x≤10，x∈N＋)档次的产品的总