1.3.1 第1课时 函数的单调性与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

　　　　　　 1.3 导数在研究函数中的应用 　　　　 1.3.1　函数的单调性与导数 第1课时　函数的单调性与导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性. 2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数的单调性与其导数的正负之间的关系 若在区间(a,b)内,函数y=f(x): f'(x)的正负 f(x)的单调性 f'(x)>0 增函数 f'(x)<0 减函数 |微|点|助|解| (1)当f'(x)=0时,f(x)是常函数; (2)原函数的图象只看增(减)的变化,导函数的图象只看正(负)的变化. 2.函数的单调区间 (1)若在区间(a,b)内,f'(x)>0,则函数f(x)在此区间内单调递增,(a,b)为f(x)的单调递增区间; (2)若在区间(a,b)内,f'(x)<0,则函数f(x)在此区间内单调递减,(a,b)为f(x)的单调递减区间. 3.导数与函数图象的关系 从函数图象上来看,导数是切线的斜率.斜率的绝对值大说明切线陡,曲线也就陡;斜率的绝对值小说明切线平,曲线也就平缓一些. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数. (　　) (2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定有f'(x)>0. (　　) (3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 (　　) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析:选D　∵f(x)=(x-3)ex,∴f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,由f'(x)>0得x>2,故选D. 3.函数y=f(x)的图象如图所示,则 (　　) A.f'(3)>0 B.f'(3)<0 C.f'(3)=0 D.f'(3)的正负不确定 解析:选B　由题图可知,函数f(x)在(1,5)内单调递减,则在(1,5)内有f'(x)<0,故f'(3)<0. 题型(一)　利用导数的正负判断函数的单调性 [例1]　判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x2-ln x; (2)f(x)=;(3)f(x)=x3+. 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-=, 因为x>0,所以x+1>0,令f'(x)>0,解得x>,所以函数f(x)在上单调递增; 令f'(x)<0,解得0<x<, 所以函数f(x)在内单调递减. (2)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞), f'(x)==, 因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞), 所以ex>0,(x-2)2>0,令f'(x)>0,得x>3, 所以函数f(x)在(3,+∞)上单调递增; 令f'(x)<0,得x<3,又x∈(-∞,2)∪(2,+∞), 所以函数f(x)在(-∞,2)和(2,3)内单调递减. (3)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f'(x)=3x2-=3, 令f'(x)>0,得x<-1或x>1, 所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,得-1<x<1且x≠0, 所以函数f(x)在(-1,0)和(0,1)内单调递减. |思|维|建|模|　利用导数判断或证明函数单调性的思路 　　[针对训练] 1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是 (　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 解析:选A　∵f(x)=2x-sin x,∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞,+∞)上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 2.求证:f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增. 证明:∵f(x)=ex+,∴f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1),当x∈(0,+∞)时,由指数函数的性质知e-x>0,e2x>1,∴f'(x)>0,因此函数f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增. 题型(二)　利用导数求函数的单调区间 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　确定下列函数的单调区间. (1)y=x3-9x2+24x; (2)f(x)=(x>0且x≠1). 解:(1)y'=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4), 由y'>0,得x<2或x>4; 由y'<0,得2<x<4. ∴函数的单调递增区间为(-∞,2),(4,+∞),单调递减区间为(2,4). (2)f'(x)=-,若f'(x)=0,则x=, 列表如下: x (1,+∞) f'(x) + 0 - - f(x) 递增↗ -e 递减↘ 递减↘ ∴f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(1,+∞). |思|维|建|模| 求函数y=f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数y'=f'(x). (3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 　　[针对训练] 3.求函数f(x)=x+(b>0)的单调区间. 解:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)='=1-, 令f'(x)>0, 则(x+)(x-)>0, ∴x> 或x<-. ∴函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞). 令f'(x)<0,则(x+)(x-)<0, ∴-<x<,且x≠0. ∴函数的单调递减区间为(-,0)和(0,). 综上所述,函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞),单调递减区间为(-,0)和(0,). 题型(三)　导数与函数图象的关系 [例3]　画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象. 解:由题可知定义域为R,f'(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2). 由f'(x)>0 得x<-2或x>3, ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2)和(3,+∞). 由f'(x)<0得-2<x<3,∴函数f(x)的单调递减区间是(-2,3). 由已知得f(-2)=60,f(3)=-65,f(0)=16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示. |思|维|建|模| 　　由导函数图象画原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增,f'(x)<0,则f(x)单调递减. 由原函数图象画导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0. 　　[针对训练] 4.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的 (　　) 解析:选D　由题意可知,当x<0和x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当0<x<2时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如图D. 5.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为 (　　) 解析:选C　∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上单调递减,在(1,4)内单调递增,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0. 学科网（北京）股份有限公司 $