1.3.4 导数的应用举例-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案围绕导数的应用举例展开，核心内容为利用导数解决优化问题。通过生活中利润最大、用料最省等实例导入，衔接导数概念与求导方法，以解决优化问题的四步基本步骤及注意事项为学习支架，帮助学生构建从理论到实际应用的知识脉络。 资料按费用最低、面积容积最值、利润最大分题型设置例题，配套“感悟提升”提炼方法和“跟踪训练”即时巩固，分层练习覆盖基础与拓展。通过实际问题抽象函数模型培养数学眼光，规范求导与最值计算发展数学思维，强化建模能力提升数学语言运用，有效落实数学建模和数学运算核心素养。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 1．3．4　导数的应用举例 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，体会导数在解决实际问题中的作用，能够利用导数解决一些实际问题． 教学重点：用导数解决实际生活中的优化问题． 教学难点：将实际问题转化为数学问题． 核心素养：通过应用导数解决实际生活中的优化问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点　优化问题 在生活中，人们经常会遇到优化问题．例如，投入一定的成本如何获得最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题．不少优化问题，可化为求函数的最值问题，而导数是解决这类问题的有效工具． 1．解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0． (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值． (4)依据实际问题的意义给出答案． 2．利用导数解决实际问题时的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值． (3)在解决实际问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数式表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上使函数关系式本身有意义即可．(　　) (2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．(　　) 答案　(1)×　(2)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________． (2)某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________． 答案　(1)9万件　(2)32 m，16 m 题型一　费用最低(用材最省)问题 　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值． [解]　(1)由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝． 而建造费用为C1(x)＝6x， 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去)． 当0≤x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x≤10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70． 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小值70万元． 【感悟提升】 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值． 【跟踪训练】 1.一艘轮船在航行中每小时的燃料费(单位：元)和它的速度(单位：km/h)的立方成正比，已知在速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？ 解　设每小时的燃料费y＝kv3， ∵当v＝10时，y＝6， ∴k＝，∴y＝v3． ∴每千米总费用S＝＝v2＋，S′＝v－． 令S′＝0得v＝20， 当v∈(0，20)时，S′＜0； 当v∈(20，＋∞)时，S′＞0． ∴v＝20是S的极小值点，也是最小值点． ∴此轮船以20 km/h的速度航行时，每千米的费用总和最少． 题型二　面积、容积的最值问题 　请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设|AE|＝|FB|＝x(cm)． (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm． 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30． (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)， V′＝6x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20． 当x∈(0，20)时，V′＞0； 当x∈(20，30)时，V′＜0． 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为． 【感悟提升】 (1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． (2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 【跟踪训练】 2.用总长为14．8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0．5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积． 解　设容器底面一边长为x m， 则另一边长为(x＋0．5) m， 高为＝(3．2－2x) m． 由解得0<x<1．6． 设容器的容积为y m3， 则y＝x(x＋0．5)(3．2－2x)＝－2x3＋2．2x2＋1．6x， 所以y′＝－6x2＋4．4x＋1．6． 令y′＝0，则15x2－11x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－(舍去)． 在定义域(0，1．6)内只有x＝1使y′＝0，x＝1是函数y＝－2x3＋2．2x2＋1．6x在(0，1．6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点． 因此，当x＝1时，y取得最大值，ymax＝－2＋2．2＋1．6＝1．8(m3)，这时高为3．2－2×1＝1．2(m)． 故高为1．2 m时，容器的容积最大，最大容积为1．8 m3． 题型三　利润最大(成本最低)问题 　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． [解]　(1)因为当x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，所以a＝2． (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2． 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)． 所以f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)． 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6． 又3<x<6，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 递增 极大值42 递减 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且f(x)max＝2＋10×(－2)2＝42． 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【感悟提升】 (1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动． (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本； ②利润＝每件产品的利润×销售件数． 【跟踪训练】 3.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2 ＋5t(百万元)(0≤t≤5)． (1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金) 解　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t≤3)． 故当t＝2(百万元)时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)(0≤x≤3)，又设由此而增加的收益是g(x)，则有g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)． ∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0， 解得x＝－2(舍去)或x＝2． 又当0≤x＜2时，g′(x)>0； 当2<x≤3时，g′(x)<0， 故g(x)在[0，2)上是增函数，在(2，3]上是减函数． ∴当x＝2时，g(x)取得最大值．即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大． 1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产该产品(　　) A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 答案　A 解析　设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故为使利润最大，应生产该产品6千台． 2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 答案　B 解析　设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x(x>0)．令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20或x＝－20(舍去)，故x＝20是函数f(x)的最小值点，即当x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 3．(多选)要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，若圆锥形漏斗的高为h cm，则(　　) A．圆锥形漏斗的体积V＝ cm3 B．圆锥形漏斗的最大体积为 cm3 C．当圆锥形漏斗的体积最大时，高h＝ cm D．当圆锥形漏斗的体积最大时，高h＝ cm 答案　ABD 解析　若高为h cm，则底面半径r＝ cm，0<h<20，V＝πr2h＝π(400－h2)h＝ cm3．由V′＝π－πh2＝0，得h2＝，h＝或h＝－(舍去)，因为当0<h<时，V′>0，当<h<20时，V′<0，所以当h＝ cm时，V最大，最大值为 cm3．故选ABD． 4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处． 答案　5 解析　依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝．因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0<x<5时，y′<0；当x>5时，y′>0．因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小． 5．要建一个圆柱形有底无盖的粮仓，要求它的容积为500 m3，如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？ 解　设直径为d m，高为h m，所用材料的面积为S m2，由πh＝500，得h＝(d>0)， 故S＝π＋dπh＝＋(d>0)，S′＝－＋(d>0)， 令S′＝0，得d＝10，此时h＝5． ∵当0<d<10时，S′<0； 当d>10时，S′>0， ∴当d＝10时，S取得最小值． ∴当直径为10 m，高为5 m时，所用材料最省． 课后课时精练 一、选择题 1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 答案　D 解析　由题意，可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300或x＝－300(舍去)．当0≤x＜300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)最大． 2．如图，在平行四边形ABCD中，|BC|＝4|AB|＝8，点E是AD边上一点，且|EA|＝|EB|，记S1为△ABE的面积，S2为△EBC的面积，则当S1－S2取得最小值时，∠A＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设∠A＝θ，因为|EA|＝|EB|，|AB|＝2，所以|EA|＝|EB|＝．令S＝S1－S2＝×2××sinθ－×8××sin(π－2θ)＝－8sinθ，则S′＝－8cosθ＝．令S′＝0，得1－8cos3θ＝0，可得cosθ＝，即θ＝，故当θ∈时，S′<0，当θ∈时，S′>0，故S在上单调递减，在上单调递增，所以当∠A＝时，S1－S2取得最小值． 3．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为(　　) A．3π cm3 B．8π cm3 C． cm3 D．9π cm3 答案　C 解析　设圆锥的底面圆半径为R cm，圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm，由题意可得，×(2R)2＝16，解得R＝4，h≤tan·(R－x)＝(4－x)(0<x<4)，设圆柱形冰块的体积为V cm3，则V≤πx2(4－x)(0<x<4)．设f(x)＝πx2(4－x)，则f′(x)＝πx·(8－3x)，当0<x<时，f′(x)>0，当<x<4时，f′(x)<0，故f(x)在x＝时取得极大值，也是最大值，所以f(x)max＝f＝，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为 cm3． 4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　) A． B． C． D．2 答案　C 解析　设底面边长为x，高为h，∴x2·h＝V，∴h＝＝．∴表面积S(x)＝2·x2＋3x·h＝x2＋(x>0)，S′(x)＝x－，令S′(x)＝0，可得x＝，x3＝4V，x＝．当0<x<时(x>0)，S′(x)<0；当x>时，S′(x)>0，∴当x＝时，S(x)最小． 5．(多选)某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则(　　) A．当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低 B．当箱底是边长为8 m的正方形时，箱子的总造价最高 C．箱子的最低总造价为816元 D．箱子的最低总造价为960元 答案　AC 解析　设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为w元．根据题意，得w＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，w′＝72．令w′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当0<x<4时，w′<0；当x>4时，w′>0．故当x＝4时，w有最小值816．因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选AC． 二、填空题 6．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 答案　800 解析　设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800．当0<x<200时，y′<0；当x>200时，y′>0．所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米． 7．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小． 答案　6 cm　3 cm　4 cm 解析　设底面两邻边长分别为x cm，2x cm，高为y cm，则72＝2x2·y，所以y＝＝，所以表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋(x>0)．所以S′＝8x－，令S′＝0，得x＝3．当0<x<3时，S′<0，当x>3时，S′>0，所以当x＝3时，S取得最小值．即当长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时，箱子的表面积最小． 8．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大． 答案　25 解析　设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250000，所以p2＝，p＝，x>0．设总利润为y万元，则y＝·x－1200－x3＝500－x3－1200．求导数，得y′＝－x2．令y′＝0，得x＝25．当0<x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0．所以当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．即产量定为25件时，总利润最大． 三、解答题 9．某地需要修建一条通过120千米宽的沙漠地带的大型输油管道，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需在两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x3＋x)万元，设总的工程费用为y万元． (1)写出y与x的函数关系式； (2)需要修建多少个增压站才能使总工程费用y最小？ 解　(1)设需要修建k个增压站， 则(k＋1)x＝120，即k＝－1， 所以y＝432k＋(k＋1)(x3＋x)＝432＋(x3＋x)＝＋120x2－312． 因为x表示相邻两增压站之间的距离， 所以0<x<120． 故y与x的函数关系式为y＝＋120x2－312(0<x<120)． (2)设f(x)＝＋120x2－312(0<x<120)， 则f′(x)＝－＋240x＝(x3－216)． 由f′(x)＝0得x3＝216， 即x＝6，又0<x<120， 所以f(x)在(6，120)上单调递增，在(0，6)上单调递减． 所以当x＝6时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时k＝－1＝19，故需要修建19个增压站才能使总工程费用y最小． 10．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0．1x2－3．2 ln x＋3．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损) (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数； (2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？ 解　(1)由题意，得所获得的利润为 y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)． (2)由(1)知，y′＝＝． 令y′＝0，得x＝6或x＝－(舍去)． 当4≤x＜6时，y′＞0，函数在[4，6)上为增函数； 当6＜x≤12时，y′＜0，函数在(6，12]上为减函数， 所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)． 故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为96ln 6－78万元． 1．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ 解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝560＋48x＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N)，f′(x)＝48－， 令f′(x)＝0，得x＝15或x＝－15(舍去)． 当x>15时，f′(x)>0；当10≤x＜15时，f′(x)<0． 因此，当x＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2000． 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 2．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造价格为每米400元，中间两条隔墙建造价格为每米248元，池底建造价格为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)． (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域； (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 解　(1)∵污水处理池长为x m， ∴宽为 m． 由题意，得 解得≤x≤16， y＝×400＋2××248＋200×80＝800x＋＋16000，定义域为． (2)由y′＝800－＝0， 解得x＝18或x＝－18(舍去)． 当x∈(0，18)时，y′<0，函数y为减函数； 当x∈(18，＋∞)时，y′>0，函数y为增函数． 又≤x≤16，∴当x＝16时，ymin＝45000． ∴当且仅当长为16 m、宽为12．5 m时，总造价y最低，为45000元． 12 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