1.3.2 第2课时 函数极值的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

第2课时　函数极值的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步理解函数的导数与极值的关系.能求简单的含参的函数的极值,能根据极值求参数的取值范围. 题型(一)　求含参函数的极值 [例1]　已知函数f(x)=x++1(a∈R),求此函数的极值. 解:函数的定义域为{x|x≠0},f'(x)=1-=, 当a≤0时,显然f'(x)>0,函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上均单调递增,此时函数无极值;当a>0时,令f'(x)=0,解得x=±, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞, -) - (-, 0) (0,) (, +∞) f'(x) + 0 - - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 递减↘ 极小值 递增↗ 由上表可知,当x=-时,函数取得极大值f(-)=-2+1, 当x=时,函数取得极小值f()=2+1; 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,函数f(x)在x=-处取得极大值-2+1,在x=处取得极小值2+1. |思|维|建|模| 　　求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同,但要注意有时需要对参数进行分类讨论. 　　[针对训练] 1.求函数f(x)=x3-3ax2-9a2x(a≠0)的极值. 解:f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-6ax-9a2=3(x-3a)(x+a). 令f'(x)=0,可得x=-a或x=3a. ①当a>0时,有3a>-a. 令f'(x)>0,可得x<-a或x>3a,所以f(x)在(-∞,-a)上单调递增,在(3a,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,可得-a<x<3a,所以f(x)在(-a,3a)上单调递减. 所以f(x)在x=-a处取得极大值f(-a)=(-a)3-3a×(-a)2-9a2×(-a)=5a3,在x=3a处取得极小值f(3a)=(3a)3-3a×(3a)2-9a2×(3a)=-27a3. ②当a<0时,有3a<-a.令f'(x)>0,可得x<3a或x>-a,所以f(x)在(-∞,3a)上单调递增,在(-a,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,可得3a<x<-a,所以f(x)在(3a,-a)上单调递减.所以f(x)在x=-a处取得极小值f(-a)=5a3,在x=3a处取得极大值f(3a)=-27a3. 综上所述,当a>0时,f(x)在x=-a处取得极大值f(-a)=5a3,在x=3a处取得极小值f(3a)=-27a3;当a<0时,f(x)在x=-a处取得极小值f(-a)=5a3,在x=3a处取得极大值f(3a)=-27a3. 　　　　　　　　题型(二)　由极值(点)求参数的值或范围 [例2]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1,e-2),切线斜率k=e-1, 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. (2)法一　因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-a, 若a≤0,则f'(x)>0对任意x∈R恒成立, 可知f(x)在R上单调递增,无极值,不合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x<ln a; 可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值, 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0, 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 则g'(a)=2a+>0, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞). 法二　因为f(x)的定义域为R, 且f'(x)=ex-a, 若f(x)有极小值,则f'(x)=ex-a有零点, 令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex与y=a有交点,则a>0, 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x<ln a; 可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值,符合题意, 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0, 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 因为y=a2,y=ln a-1在(0,+∞)上单调递增, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞). |思|维|建|模| 已知函数极值(点)求参数值的两点注意 (1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 　　[针对训练] 2.(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)·(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.  解析:由题意,得f'(x)=(2x-3)(x-a)+(x2-3x+2), ∵x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点, ∴f'(2)=0,得a=2,∴f(x)=(x-1)(x-2)2, 经检验知x=2是极值点, ∴a=2符合题意.故f(0)=-4. 答案:-4 3.已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围. 解: f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点, 所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示,所以 解得m>3. 故实数m的取值范围是(3,+∞). 题型(三)　函数极值的综合问题　　　　　　　　　　　　　 [例3]　已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围. 解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0, 解得x1=-1,x2=1.当x<-1时,f'(x)>0; 当-1<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a; 当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.因为方程f(x)=0有三个不同实根, 所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.由已知应有 解得-2<a<2,故实数a的取值范围是(-2,2). 　　[变式拓展] 1.本例中,若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”,结果如何? 解:由已知应有2+a<0或-2+a>0.即a>2或a<-2. 2.本例中,若把“三个不同实根”改为“恰有两个实数”,结果如何? 解:由条件可知,只要2+a=0或-2+a=0即可,即a=±2. |思|维|建|模| 　　函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点,求方程根的个数等问题时,往往先构造函数,利用极值,并结合图象来解决. 　　[针对训练] 4.已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围. 解:由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,f'(x)+5x+m=(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m. 则由题意得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点. ∵g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4), ∴令g'(x)=0,得x=或x=4. 当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表: x 4 (4, +∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x) 递增↗ -m 递减↘ -16-m 递增 ↗ 则函数g(x)的极大值为g=-m,极小值为g(4)=-16-m.∴由y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,得解得-16<m<.故实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $