1.2.3 简单复合函数的求导-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

1.2.3　简单复合函数的求导 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则,并结合所学的公式、法则进行一些复合函数求导. 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　复合函数及其导数 复合 函数的 定义 一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y=f(g(x))是关于x的函数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数 求导 法则 F(x)=f(g(x))的导数为F'(x)=f'(u)·g'(x),其中u=g(x).也可记作y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 基础落实训练 1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 (　　) A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2 C.y=tn,t=(x2-1)n D.y=(t-1)n,t=x2-1 解析:选A　由复合函数求导法则知A正确. 2.设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1)= (　　) A.0 B.-1 C.-20 D.20 解析:选D　因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9,所以f'(1)=20. 3.函数y=cos的导数为　　　　.  解析:y'='=-sin(-3)=3sin. 答案:y'=3sin 题型(一)　求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. (1)y=;(2)y=cos x2; (3)y=sin;(4)y=. 解:(1)令u=1-3x,则y==u-4, 所以y'u=-4u-5,u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. (2)令u=x2,则y=cos u, 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2xsin x2. (3)令u=2x-,则y=sin u, 所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)令u=1+x2, 则y=,所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=. 　　|思|维|建|模|　求复合函数的导数的步骤 　　[针对训练] 1.求下列函数的导数: (1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4); (3)y=. 解:(1)∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成,∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12. (2)∵y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成,∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===. (3)函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数,根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==. 题型(二)　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcossin. 解:(1)∵(ln 3x)'=×(3x)'=, ∴y'= ==. (2)y'=(x)'=x'+x()' =+=. (3)∵y=xcossin =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x, ∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x. 　　|思|维|建|模| (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,开始由外及内逐层求导. 　　[针对训练] 2.求下列函数的导数: (1)y=e-x+2(2x+1)5; (2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1); (3)y=sin 2x+cos2x; (4)y=. 解:(1)y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5]'=-e-x+2·(2x+1)5+5e-x+2·(2x+1)4·(2x+1)'=-e-x+2(2x+1)4(2x-9). (2)y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-. (3)y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)' =2cos 2x-2sin xcos x =2cos 2x-sin 2x. (4)y'= =. 题型(三)　复合函数求导的综合应用 [例3]　已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程. 解:由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, 得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则a=f'=3-2sin+2cos=1. 又b=a3,∴b=1,∴点P的坐标为(1,1). 由y=x3,得y'=3x2. 当P点为切点时,切线的斜率k=3×12=3, ∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程 为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,), 此时切线的斜率k'=3, ∴切线方程为y-=3(x-x0). 将P(1,1)代入切线方程,得1-=3(1-x0), ∴2-3+1=0,∴2-2-+1=0, ∴(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-(x0=1舍去), ∴切点坐标为, 又切线的斜率为3×=, ∴切线方程为y+=, 即3x-4y+1=0. 综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. |思|维|建|模| 求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数; (2)求导时分清是对哪个变量求导; (3)计算结果尽量简单. 　　[针对训练] 3.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b的值. 解:设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1), 则f'(x)=,g'(x)=. 设曲线f(x)=ln x+2上的切点为(x1,y1), 曲线g(x)=ln(x+1)上的切点为(x2,y2), 则k==,则x2+1=x1. 又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1, 所以k==2, 故x1==,y1=ln+2=2-ln 2. 故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2. 学科网（北京）股份有限公司 $