1.1.2 瞬时变化率与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

1.1.2　瞬时变化率与导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趋近于0时的极限.这个极限记为. 2.函数的瞬时变化率 一般地,若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 函数的瞬时变化率,数学上叫作函数的导数或微商. 3.导数(微商)的定义 设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比值趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商,记作f'(x0). 这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在,或者说f(x)在点x0处可导或可微. 4.导函数(一阶导数) (1)若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f'(x)(或y')也是x的函数,我们把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的导函数或一阶导数. (2)若f'(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f(x)的二阶导数,记作f″(x). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)瞬时变化率是刻画某函数在区间(v,d)上函数值的变化快慢的物理量. (　　) (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与d的正、负无关. (　　) (3)设x=x0+d,当d→0时,x→x0,因此,→f'(x0). (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.一直线运动的物体,从时间t到t+d时,物体的位移为Δs,那么d趋于0时,为 (　　) A.从时间t到t+d时物体的平均速度 B.在t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为t+d时物体的速度 D.在时间t+d时物体的瞬时速度 解析:选B　中d趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度. 3.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 (　　) A.在区间[x0,x1]上的平均变化 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化量 D.在区间[x0,x1]上的导数 答案:A 4.已知f'(1)=1,则当d→0时,→　　　.  解析:当d→0时,→f'(1)=1. 答案:1 题型(一)　运动物体的瞬时速度 [例1]　某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. 解:∵ ==3+d, 当d→0时,3+d→3, ∴物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 　　[变式拓展] 1.在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度. 解:求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵==1+d,∴当d→0时,1+d→1.∴物体在t=0时的瞬时速度为1 m/s,即物体的初速度为1 m/s. 2. 在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解:设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. ∵=2t0+1+d. ∴当d→0时,2t0+1+d→2t0+1,则2t0+1=9, ∴t0=4,则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. |思|维|建|模| 求运动物体瞬时速度的3个步骤 (1)求时间改变量d和位移改变量s(t0+d)-s(t0); (2)求平均速度=; (3)求瞬时速度,当d无限趋近于0时,无限趋近于的常数v即为瞬时速度. 　　[针对训练] 1.如果一个物体的运动方程s(t)=试求该物体在t=1和t=4时的瞬时速度. 解:当t=1时,s(t)=t2+2,则==2+d, 当d无限趋近于0时,2+d无限趋近于2, ∴该物体在t=1时的瞬时速度为2. ∵t=4∈[3,+∞),∴s(t)=29+3(t-3)2=3t2-18t+56,∴ == =3d+6,∴当d无限趋近于0时,3d+6无限趋近于6,∴该物体在t=4时的瞬时速度为6. 题型(二)　函数的瞬时变化率——导数 [例2]　求函数f(x)=2x2+4x在x=3处的导数. 解:法一　f(3+d)-f(3)=2(3+d)2+4(3+d)-(2×32+4×3)=12d+2d2+4d=2d2+16d,∴==2d+16, ∴当d→0时,f'(3)=16. 法二　 ==4x+2d+4→4x+4(d→0), 即f'(x)=4x+4, ∴f'(3)=4×3+4=16. |思|维|建|模| (1)求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤: 第一步,求函数的增量f(x0+d)-f(x0); 第二步,求平均变化率; 第三步,取极限,得到导数f'(x0). 以上步骤简称:一差,二比,三极限. (2)利用定义求函数的导数时要注意函数解析式中有分式时要通分. 　　[针对训练] 2.设函数f(x)=ax+1,若f'(1)=2,则a= (　　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 解析:选A　∵f'(1)===a,且f'(1)=2,∴a=2.故选A. 3.求函数y=x2-在x=1处的导数值. 解:令y=f(x)=x2-,则f(1+d)-f(1)=(1+d)2--1+1=d2+2d+1-=d2+2d+,所以=d+2+.当d→0时,d+2+→2+1=3. 因此函数y=x2-在x=1处的导数值为3. 题型(三)　瞬时变化率的意义 [例3]　求球的体积在半径为3时的瞬时变化率,并指出这一瞬时变化率的实际意义. 解:球的体积公式为V(r)=πr3, V(3+d)-V(3)=π(3+d)3-π×33 =π(27d+9d2+d3), 当d→0时,π(27+9d+d2)→36π, 故球在r=3时的瞬时变化率为36π. 这一瞬时变化率的实际意义为球的表面积. |思|维|建|模| 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想,瞬时变化率就是平均变化率的极限. (2)函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况. 　　[针对训练] 4.某机械厂生产一种木材旋切机,已知总利润c(单位:元)与产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600. (1)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均变化率; (2)求c'(1 000)与c'(1 500),并说明它们的实际意义. 解:(1)当产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均变化率为 = =2 000(元/台). (2)设x=1 000时产量的改变量为d1, 则= ==-2d1+3 000. 令d1→0,可得c'(1 000)=3 000. 设x=1 500时产量的改变量为d2, 则= ==-2d2+1 000. 令d2→0,可得c'(1 500)=1 000.c'(1 000)的实际意义:当产量为1 000台时,多生产1台旋切机可多获得3 000元;c'(1 500)的实际意义:当产量为1 500台时,多生产1台旋切机可多获得1 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $