1.1.3 导数的几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．1.3　导数的几何意义 [学习目标]　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上在某点处的切线方程． 知识点　导数的几何意义 [问题导引]　如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，…)．P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线． (1)割线PPn的斜率kn是什么？ (2)当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？ (3)当点Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？ (4)如何求得过点P的切线PT的斜率？ 提示：　(1)割线PPn的斜率kn＝ ＝. (2)当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT. (3)kn无限趋近于切线PT的斜率k. (4)函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)． 导数的几何意义 “函数y＝f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系： (1)“函数y＝f(x)在点x0处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量． (2)“导函数”：如果对于函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)， 学生用书第6页 这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫作f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′. 即→f′(x)(d→0)． (3)导函数也简称“导数”，所以 “导数”是个别与一般的关系． (4)函数y＝f(x)在点x0处的导函数值f′(x0)就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)． 点拨：　求在x＝x0处的切线方程的步骤： (1)已知点A(x0，f(x0))，另取点B(x0＋d，f(x0＋d))，kAB＝→kAB＝f′(x0)(d→0)． (2)函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 角度一　切线的斜率 (1)求函数f(x)＝x2－3x＋c的图象上点P(u，f(u))处切线的斜率． (2)求曲线y＝在点A(， )处切线的斜率． 解析：　(1)在曲线上另取一点Q(u＋d，f(u＋d))． 因为kPQ＝＝2u－3＋d， 在所求得的斜率表达式中， 当d→0时，kPQ→2u－3. (2)如图，在曲线上另取一点B(＋d, )． 因为kAB＝＝ ＝， 在所求得的斜率表达式中， 当d→0时，kAB→. 因此，所求切线的斜率k＝. 求在x＝x1处切线的斜率的步骤为：已知点A(x1，f(x1))，另取点B(x1＋d，f(x1＋d))， kAB＝→kAB＝f′(x1)(d→0)．　　 即时练1. 求曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线斜率． 解析：　在函数上另取一点B(1＋d，(1＋d)3)， ∴kAB＝＝＝d2＋3d＋3， 当d→0时，kAB→3. 所以所求切线的斜率为k＝3. 角度二　切线的方程 若曲线y＝x3存在斜率为1的切线，试求出切线方程． 解析：　设曲线y＝x3在点(x0，x)处切线的斜率为1. 因为＝ ＝3x＋3x0d＋d2， 所以，当d→0时，3x＋3x0d＋d2→3x. 又切线的斜率为1， 所以3x＝1，解得x0＝±. 所以在点(，)和(－，－)处切线的斜率为1. 由点斜式方程可得切线方程为y＝x－和y＝x＋. 根据斜率反求切点坐标，再根据点斜式求切线方程．　　 即时练2.在曲线f(x)＝x2上求一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. 解析：　设P(x0，y0)是满足条件的点， 则d→0时，＝＝2x＋d→2x. ∴f′(x)＝2x，∴f′(x0)＝2x0. (1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故y0＝4，即P(2，4)． (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P(－，)． (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P(－，)． 学生用书第7页 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值． 解析：　∵曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)， ∴a＋b＋c＝1.　① 当d→0时， ＝ ＝4a＋b＋ad→4a＋b， ∴f′(2)＝4a＋b，∴4a＋b＝1.　② 又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1，　③ 联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9. 导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导．利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范