1.1.3导数的几何意义教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

《1.1.3导数的几何意义》教学设计 （共1课时，第1课时） 【课程标准要求】 通过函数图像直观理解导数的几何意义。 【教学目标】 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系。 2.理解曲线的切线的概念。 3.通过函数的图象直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义求函数图象的切线。 【学情与内容分析】 本节课从内容背后的数学思想方法看，在本节课学习过程中，学生通过自主探究与合作交流，经历由特殊到一般、具体到抽象、量变到质变的过程，用运动变化的观点理解割线如何逼近成切线，真切感受、体会数形结合思想，同时深化对逼近思想、极限思想、以直代曲思想的理解. 从知识发生发展过程的角度看，导数几何意义的学习，一方面能将导数“数形融通”，以“形”助“数”，以“数”论“形”，达到概念学习的完整结构；另一方面，能使学生对曲线切线含义的理解在思维层次方面获得提升，它不是从公共点个数的角度来定义，而是由割线绕其一个交点旋转来逼近，把曲线的切线上升到一个新的思维层面，使学生深刻体会到对事物本质的探索是一个不断深入、去伪存真、由表及里、修正调整的过程，以及面对知识时质疑、创新、联系的科学精神. 【教学准备】多媒体课件。 【难重点】 重点：导数的几何意义及其应用，“以直代曲”、“数形结合”的数学思想. 难点：极限思想、导数几何意义的理解及应用. 【教学过程】 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 ㈠ 情景引入 情景问题：某质点在运动过程中位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为，那么s时的瞬时速度是多少？速度关于时间t的导数又是什么呢？ 1. 开始语：前面几节我们分别学习了函数的平均变化率、瞬时变化率及导数，你能准确叙述相关定义吗？ 2. 结合相关概念，你能回答上面问题吗？ 1.回顾复习，为本节做知识准备； 2.紧扣导数的本质设置情景问题，顺利自然引入新授内容. ㈡ 新知探索 探究活动：导数的几何意义 如图，是曲线上的一个定点， 是曲线上的一个动点. 问题1：写出在上的平均变化率；它有什么几何意义？ 问题2：当点沿曲线趋于点，割线有什么变化特征？ 问题3：当点沿曲线无限逼近于点时，直线最终变成什么？ 问题4：割线的斜率与切线的斜率k有什么关系呢？ 问题5：你能概括出导数的几何意义吗？ 问题6：曲线在一点处的切线和你以前所了解的圆的切线有什么异同？ 1.结合课本引例，通过问题串的形式，引导学生在平均变化率、瞬时变化率、导数、割线、切线、斜率等已有知识的基础上探究发现他们之间的联系，体会无限逼近的思想，数形对照的过程中自然地形成对新知的构建. 2.（数学史拓展） 古希腊数学家欧几里得最早定义了圆的切线，接着数学家又沿用类似的方法定义了圆锥曲线等切线，但其仍局限在静态的定义下——与曲线只有一个公共点且位于曲线一侧的直线，十七世纪下叶，切线为割线的极限位置的思想初成共识，德国数学家莱布尼兹将“曲线上无限接近的两点的连线”定义为切线，此间，切线定义从静态走向动态跨越了两千年的时间. 1.通过完整的探究环节、生生互动、师生共析、数形结合，使学生从直观感受上升到理性思考，抽象概括出导数的几何意义，数学知识的产生水到渠成. 2.通过重构式教学模式的运用，有机自然地将数学史中“切线的演变历程”融入课堂，使学生深刻体会到对事物本质的探索是一个不断深入、去伪存真、由表及里的过程. ㈢ 典例剖析 例9．求函数的图象上点处切线的斜率. 例10．求曲线在点处切线的斜率. 例11．若曲线存在斜率为1的切线，试求出切线方程. 1. 给出例9，通过求函数图象上某点处的切线斜率，引导学生熟悉运用导数定义来求切线斜率. 2. 给出例10，强化学生运用导数定义来求曲线在确定点处的切线斜率. 3. 给出例11，求曲线满足指定条件的切线方程，给出了未知切点求切线斜率的一般方法. 例9与例10帮助理解导数的几何意义，强化利用导数的几何意义来求切线斜率. 例11在掌握会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线的斜率基础之上，如何灵活运用相关知识解决变式问题. ㈣ 练习巩固 练习1. 设是曲线上一点，求曲线在点处切线的斜率. 练习2. 判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 练习3. 求曲线过点的切线方程. 依次给出练习1、练习2，练习3，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案. 利用希沃授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点. 练习1强化学生利用导数的几何意义求在某一点出的切线斜率； 练习2设问方式灵活，让学生判断在曲线上某一点是否有切线，如果有，求出切线斜率； 练习3曲线求过某一点的切线方程，让学生体会“在”与“过”一字之差的区别. ㈤ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用