1.1.1 函数的平均变化率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

　导数及其应用 　　　　　　　　　　 1.1 导数概念及其意义 1.1.1　函数的平均变化率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标]　1.通过具体实例了解函数的平均变化率. 2.了解“以直代曲”的含义. 3.会求运动物体的平均速度. 逐点清(一)　运动物体的平均速度 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 　　若在直线上运动的点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示,则从时刻a到时刻b的位移为f(b)-f(a).因为所花时间为b-a,所以在时间段[a,b]内动点P的平均速度为v[a,b]=. |微|点|助|解| 　　把速度v看成关于时间t的函数v=v(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均加速度=. [微点练明] 1.[多选]一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h(t)=2t2+2t,则下列说法正确的是 (　　) A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量为20 m B.在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间[2,3]内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 解析:选BCD　前3 s内球滚下的垂直距离的增量为h(3)-h(0)=24 m,此时球在垂直方向上的平均速度为=8 m/s,故A错误,C正确; 在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为h(3)-h(2)=12 m. 此时球在垂直方向上的平均速度为=12 m/s,故B、D正确. 2.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:选A　s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,所以==18+m=20 m/s,解得m=2. 3.某物体做自由落体运动,其运动方程为s(t)=gt2,其中t为下落的时间(单位:s),g为重力加速度,大小为9.8 m/s2.求它在时间段[1,3]内的平均速度. 解:物体在时间段[1,3]内的平均速度为==2g=19.6(m/s),即它在时间段[1,3]内的平均速度为19.6 m/s. 逐点清(二)　函数的平均变化率 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 　　一般地,函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻,因变量有可能不表示位置,因而就不一定是平均速度,但仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减),因此我们把称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率. |微|点|助|解| (1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题: ①平均变化率的公式中,分子是区间两端点间的函数值的差,分母是区间两端点间的自变量的差. ②平均变化率的公式中,分子、分母中被减数同为右端点,减数同为左端点. (2)一次函数的平均变化率: 一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]内的平均变化率为==k.由上述计算可知,一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率与m,n的值无关,只与一次项系数有关,且其平均变化率等于一次项的系数. [微点练明] 1.已知函数y=f(x),其中f(x)=x2-1,此函数在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　根据题意,函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为==m+1=3,所以m=2.故选B. 2.已知函数f(x)=2x2-x+1,则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为 (　　) A.2Δx+3 B.4Δx+3 C.2(Δx)2+3Δx D.2(Δx)2-Δx+1 解析:选A　由f(x)=2x2-x+1,可得f(1)=2,f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1=2(Δx)2+3Δx+2.所以f(x)从1到1+Δx的平均变化率为==2Δx+3. 3.已知函数f(x)=x2+2x在[0,a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍,则实数a的值为　　　　　.  解析:由题意,得函数f(x)在[0,a]上的平均变化率为==a+2,函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为==2.由题意知a+2=2×2,解得a=2. 答案:2 4.比较函数f(x)=2x与g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率的大小. 解:f(x)=2x在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为=2a-2a-1=2a-1; g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为=-=.∵a<0,∴a-1<-1,∴2a-1<2-1=, ∴f(x)=2x在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率比g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率小. 逐点清(三)　平均变化率的几何意义 　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　某汽车在平直的公路上向前行驶,其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,则平均速度最小的是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题意知,汽车在时间[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]的平均速度大小分别为,,,,设路程y与时间t的函数关系为y=f(t),则=,即为经过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率k1,同理为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线的斜率k2,为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率k3,为经过点(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率k4,如图,由图可知,k3最小,即最小. 　　[针对训练] 1.如图所示,向一个圆台形的容器倒水,任意相等时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t),定义域为D,设t0∈D,k1,k2分别表示f(t)在区间[t0-d,t0],[t0,t0+d](d>0)上的平均变化率,则 (　　) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.无法确定 解析:选A　由容器的形状可知,在相同的变化时间内,高度的增加量越来越小,所以f(t)在区间[t0-d,t0],[t0,t0+d](d>0)上的平均变化率越来越小,即k1>k2. 2.已知函数y=f(x)的图象如图所示.设函数y=f(x)从-1到1的平均变化率为v1,从1到2的平均变化率为v2,则v1与v2的大小关系为 (　　) A.v1>v2 B.v1=v2 C.v1<v2 D.不能确定 解析:选C　记v1==tan α1,v2==tan α2,由题图易知α1<α2,所以v1<v2. 学科网（北京）股份有限公司 $