1.1.2 瞬时变化率与导数（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.1.2　瞬时变化率与导数 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达. 重点难点 重点：瞬时变化率(导数)的概念. 难点：导数与导函数的区别，及利用定义求导数及导函数. 一瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的极限.这个极限记为 . 1.一直线运动的物体，从时间t到t＋d时，物体的位移为Δs，那么d趋于0时，为(　 ) A.从时间t到t＋d时物体的平均速度 B.在t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为t＋d时物体的速度 D.在时间t＋d时物体的瞬时速度 解析：选B　中d趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度. 2.一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是f(t)＝5t－t2，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度是(　 ) A.－1 m/s B.1 m/s C.2 m/s D.6 m/s 解析：选A　物体在[3,3＋d]这个时间区间内的平均速度为＝－1－2d，∴该物体在t＝3 s时的瞬时速度为－1 m/s. 1.函数的瞬时变化率 一般地，若函数y＝f(x)的平均变化率在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x＝u处的瞬时变化率. 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商. 2.导数(微商)的定义 设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0). 这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微. 3.导函数(一阶导数) (1)若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数. (2)若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x). 1.函数y＝x2在x＝1处的导数为(　 ) A.2x B.2＋d C.2 D.1 答案：C 2.函数y＝在x＝2处的导数为________. 答案：－1 —————————————————————————————————— 求运动物体的瞬时变化率 —————————————————————————————————————— [典例1]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. [解]　∵ ＝＝3＋d， 当d→0时，3＋d→3， ∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [拓展] 1.在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度. ∵＝＝1＋d，∴当d→0时，1＋d→1.∴物体在t＝0时的瞬时速度为1 m/s，即物体的初速度为1 m/s. 2. 在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. ∵＝2t0＋1＋d. ∴当d→0时，2t0＋1＋d→2t0＋1，则2t0＋1＝9， ∴t0＝4，则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. [方法技巧] 求运动物体的瞬时速度的步骤 (1)求时间改变量d和位移改变量s(t0＋d)－s(t0)； (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当d无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度.　　 [对点训练] 1.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m；时间单位：s).若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a. 解：∵s(2＋d)－s(2)＝a(2＋d)2＋1－(a×22＋1)＝4ad＋a(d2)，∴质点M在t＝2 s附近的平均速度＝＝4a＋ad，∴当d→0时，4a＋ad→8，解得a＝2. —————————————————————————————————— 瞬时变化率的实际意义 —————————————————————————————————————— [典例2]　求球的体积在半径为3时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义. [解]　球的体积公式为V(r)＝πr3， V(3＋d)－V(3)＝π(3＋d)3－π×33＝π(27d＋9d2＋d3)， 当d→0时，π(27＋9d＋d2)→36π， 故球在r＝3时的瞬时变化率为36π. 这一瞬时变化率的实际意义为球的表面积. [方法技巧] 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限.