1.1.2求运动物体的瞬时速度 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题名称：数学选择性必修第2册 第1章1.1.2求运动物体的瞬时速度 教学方法： “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习） 教学目标： 1.利用生活中的实际问题，为了描述运动物体任意时刻的速度，引入瞬时变化率的概念。 2.通过伽利略和牛顿的实验推导过程总结瞬时变化率的定义。 3.经过本节课的学习，能够理解并运用瞬时变化率解决实际问题，并能理解导数的涵义。 教学重点、难点： 教学重点：掌握通过物体的运动方程求出瞬时速度。 教学难点：利用瞬时速度与导数的求解方法解决实际问题。 教学过程 教学环节 教学过程 自主探究 【小组讨论】观察小球下落的运动过程，小球在下落的过程中每个时刻的速度有什么特点？我们能不能把小球在任意时刻的速度都求出来呢？ 【学生回答】 1.小球在运动过程中每个时刻的速度不断增大 2.根据我们以往学过的知识，我们只能求出小球在某个时间段的平均速度，无法求任意时刻的速度 【教师】同学们通过观察发现小球做自由落体运动，速度越来越快，多年前伽利略也做过这样的实验，并且他还通过实验和推理发现了自由落体的运动定律：物体下落的距离s和所用的时间t的平方成正比，如果距离的单位用米，时间的单位用秒，实验测出它们之间近似地有以下函数关系式：s=s(t)=4.9t2 【教师】伽利略发现物体做自由落体运动下落得非常快，我们根本来不及观察测量，所以伽利略就想到让一只小球在光滑的斜面上从静止滚下来，这样就方便测量了，那么同时要注意，我们的斜面必须是光滑的，而且斜面要足够长 经过许多次的实验之后，伽利略发现，小球从斜面上滚下的距离s(m)和所用的时间t(s)之间，有函数关系s=s(t)=at2,这里的a是与斜面的坡度有关的常数 伽利略发现，小球在斜面上越滚越快，他只知道如何计算小球在一段时间内的平均速度，却不知道怎么计算小球在某个时刻的速度。 【教师】百年后，牛顿出现了，他在伽利略的实验基础上给出了每个时刻的速度也就是瞬时速度的概念和计算方法。当年牛顿也是这样做的，他首先求出小球在斜面上的运动方程为s(t)=3t2 【提问】根据小球在斜面上的运动方程，我们如何求出小球在[2,2.1]这个时间段的平均速度。 解答： 【教师】运用计算器我们可以求出更短时间内的平均速度 从计算结果发现，当时间间隔越来越小的时候，无论t从小于2的一边还是大于2的一边趋近于2，对应的平均速度都趋近于12m/s 【提问】时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程，有限的几次计算，真的能得出12m/s这个确定的结果吗？ 【教师】牛顿想到了用字母来代替数，可以把这无穷多次运算一次完成。 我们首先假设d是一个绝对值非常小的非零数，在时间区间[2，2+d]或[2+d，2]这段时间内，小球运动的平均速度为： 从这个式子我们发现，当d→0时，3d可以忽略不计，那么这个平均速度确实越来越趋近于12m/s，用数学语言来说，就是“时间段的长度趋近于0时，这段时间内的平均速度以12m/s为极限”这个极限值，就是小球在2秒时的瞬时速度。 【总结】若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)=，在d趋近于0时的极限 课堂练习 1.运动员从10m高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的，设起跳t s后运动员相对水面的高度(单位：m)为 H(t)=-4.9t2+6.5t+10 计算在2s时运动员的瞬时速度. 解 运动员在[2，2+d] (或[2+d，2])这个时间区间内的平均速度为 H(t)=-4.9t2+6.5t+10 在平均速度表达式-13.1-4.9d中，当d趋近于0时， -13.1-4.9d趋近于-13.1 因此，在2s时运动员的瞬时速度是-13.1m/s. 3.如图，一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（m）与运动时间t（s）之间的函数关系为h=t2.求t=4s时此球在斜面方向上的瞬时速度。 课堂小结 瞬时速度 若物体的运动方程为s=f（t），则物体在任意时刻t的瞬时速度v（t），就是平均速度v（t，d）=在d趋近于0时的极限。 课后作业 教材P10练习题1，2 学科网（北京）股份有限公司 $$