第4章 统计 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

[阶段质量评价]　　　　 第4章　统　计 (时间:120分钟　满分:150分) 　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列两个变量之间的关系是相关关系的为 (　　) A.匀速直线运动的物体时间与位移的关系 B.学生的成绩和体重 C.路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少 D.水的体积和重量 解析:选C　A选项,匀速直线运动的物体时间与位移的关系是函数关系;B选项,成绩与体重之间不具有相关性;C选项,路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少是相关关系;D选项,水的体积与重量是函数关系. 2.如图2×2列联表中a,b的值分别为 (　　) Y1 Y2 合计 X1 c a e X2 23 d 48 合计 b 78 121 A.54,43 B.53,43 C.53,42 D.54,42 解析:选B　由2×2列联表可知,b=121-78=43,d=48-23=25, 所以a=78-d=78-25=53. 3.(2025·天津高考)下列说法中错误的是 (　　) A.若X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ) B.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1)<P(Y<2) C.|r|越接近1,相关性越强 D.|r|越接近0,相关性越弱 解析:选B　对于A,根据正态分布对称性可知,P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ),A说法正确;对于B,根据正态分布对称性可知,P(X<1)=P(Y<2)=0.5,B说法错误;对于C和D,样本相关系数|r|越接近0,相关性越弱,越接近1,相关性越强,故C和D说法正确. 4.如果有95%的把握说事件A和B有关系,那么具体计算出的数据为 (　　) A.χ2>3.841 B.χ2<3.841 C.χ2>6.635 D.χ2<6.635 解析:选A　由独立性判断的方法可知,如果有95%的把握,则χ2>3.841. 5.观察两个变量(存在相关关系)得如下数据: x -10 -6.99 -5.01 -2.98 3.98 5 7.99 8.01 y -9 -7 -5 -3 4.01 4.99 7 8 则两变量间的回归直线方程为 (　　) A.=x+1 B.=x C.=2x+ D.=x+1 解析:选B　根据表中数据得=×(-10-6.99-5.01-2.98+3.98+5+7.99+8.01)=0,=×(-9-7-5-3+4.01+4.99+7+8)=0,所以两变量x,y的回归直线方程过样本点的中心(0,0),可以排除A、C、D选项,故选B. 6.为调查某企业环境污染整治情况,得到了7组成对数据如下表所示: 第x年 1 2 3 4 5 6 7 污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1 由上表中数据求得y关于x的回归直线方程为=-0.475x+,据此计算样本点(2,5.2)处的残差(残差=实际值-预测值)为 (　　) A.-0.25 B.0.25 C.0.15 D.-0.15 解析:选D　由题表中数据可得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(6.1+5.2+4.5+4.7+3.8+3.4+3.1)=4.4.将样本中心(4,4.4)代入=-0.475x+得=6.3,=-0.475x+6.3.因此当x=2时,=-0.475×2+6.3=5.35,所以样本点(2,5.2)处的残差为5.2-5.35=-0.15. 7.某大学为了了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调查了50名男生和50名女生,每名学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到如下表所示的列联表,经计算χ2≈4.762,则下列说法正确的是 (　　) 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意 C.有95%的把握判断男、女生对该食堂服务的评价有差异 D.有99%的把握判断男、女生对该食堂服务的评价有差异 解析:选C　对于A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为=,故A错误;对于B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为=>,故B错误;因为3.841<χ2≈4.762<6.635,所以有95%的把握判断男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误. 8.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查,y与x具有相关关系,回归直线方程为=0.66x+1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 (　　) A.83% B.72% C.67% D.66% 解析:选A　将=7.675代入回归直线方程,可计算得≈9.262,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.262≈0.83,即约为83%. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9. 以下关于线性回归分析的判断中,正确的是 (　　) A.若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线 B.散点图中的绝大多数都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的A,B,C点 C.已知回归直线方程为=0.50x-0.81,则x=25时,y的估计值为11.69 D.线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 解析:选BCD　能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义知,只有按最小二乘法求得回归系数,得到的直线=x+才是回归直线,所以A错误,B正确;将x=25代入=0.50x-0.81,得=11.69,所以C正确,D正确. 10.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论正确的是 (　　) A.y与x具有正的线性相关关系 B.线性回归方程过样本点的中心(,) C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可判定其体重必为58.79 kg 解析:选ABC　A、B、C均正确,是回归直线方程的性质,D项是错误的,回归直线方程只能预测学生的体重,应为大约58.79 kg. 11.某校团委对“学生性别和喜欢某个APP是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢的人数占男生人数的,女生喜欢的人数占女生人数的,若有95%的把握认为是否喜欢和性别有关,则调查人数中男生可能有 (　　) 临界值表: P(χ2≥x0) 0.050 0.010 x0 3.841 6.635 附:χ2=. A.30人 B.54人 C.60人 D.75人 解析:选BC　设男生的人数为6n(n∈N+), 根据题意列出2×2列联表如下表所示: 男生 女生 合计 喜欢 5n 4n 9n 不喜欢 n 2n 3n 合计 6n 6n 12n 则χ2==, 由于有95%的把握认为是否喜欢和性别有关,则3.841<χ2≤6.635, 即3.841<≤6.635,得8.642 3<n≤14.929, 因为n∈N+,则n的可能取值有9,10,11,12,13,14,因此,调查人数中男生人数的可能值为54,60,66,72,78,84. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)为了研究男子的年龄与吸烟的关系,抽查了100个男子,按年龄超过和不超过40岁,吸烟量每天多于和不多于20支进行分组,如下表: 不超过40岁 超过40岁 合计 不多于20支/天 50 15 65 多于20支/天 10 25 35 合计 60 40 100 则χ2=　　　　(保留到小数点后两位有效数字).  解析:由列联表知χ2 =≈22.16. 答案:22.16 13.(5分)已知样本容量为11,计算得xi=510,yi=214,线性回归方程为=0.3x+,则≈　　 　,≈　　　　.(精确到0.01)  解析:由题意得=xi=≈46.36,=·yi=,因为=0.3+,所以=0.3×+,可得≈5.55. 答案:46.36　5.55 14.(5分)为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了100名50岁以下的人,调查结果如表所示: 患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计 吸烟 20 m 40 不吸烟 n 55 60 合计 25 75 100 根据列联表数据,求得χ2=　　　　(保留3位有效数字),根据下表,有　　　　的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.  参考公式:χ2=(其中n=a+b+c+d). 附表: P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 解析:由20+m=40,得m=20. 由20+n=25,得n=5. 故χ2=≈22.2>10.828. 所以有99.9%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. 答案:22.2　99.9% 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)一机器可以按各种不同的速度运转,其生产物件有一些会有缺点,每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化,用x表示转速(单位:转/秒),用y表示每小时生产的有缺点物件个数,现观测得到(x,y)的4组观测值为(8,5),(12,8),(14,9),(16,11). (1)假定y与x之间有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程;(8分) (2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10,则机器的速度不得超过多少转/秒?(精确到1转/秒)(5分) 解:(1)设回归直线方程为=x+, 易知=12.5,=8.25,=660, xiyi=438. 于是==, =-=8.25-×12.5=-. 所以所求的回归直线方程为=x-. (2)由=x-≤10,得x≤. 因为≈14.9,所以机器的速度不得超过14转/秒. 16.(15分)在统计学中,偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差x(单位:分)与物理偏差y(单位:分)之间的关系进行学科偏差分析,决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如表: 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差 x(分) 20 15 13 3 2 -5 -10 -18 物理偏差 y(分) 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 -0.5 -2.5 -3.5 (1)已知x与y之间具有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程;(9分) (2)若这次考试该班数学平均分为118分,物理平均分为90.5,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.(6分) 参考数据:xiyi=324,=1 256. 解:(1)由题意,=×[20+15+13+3+2+(-5)+(-10)+(-18)]=,=×[6.5+3.5+3.5+1.5+0.5+(-0.5)+(-2.5)+(-3.5)]=, ===, 所以=-=-×=, 故回归直线方程为=x+. (2)由题意,设该同学的物理成绩为ω, 则物理偏差为ω-90.5. 而数学偏差为126-118=8, 由(1)的结论可得,ω-90.5=×8+,解得ω=93, 所以可以预测这位同学的物理成绩为93分. 17.(15分)已知某区组建了一支120人的志愿者队伍,并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践,全队共有72人的周平均服务时长超过2小时,其中有54人来自“志愿模范队”,如下表所示. 是“志愿模 范队”成员 不是“志愿 模范队”成员 合计 周平均服务时 长超过2小时 54 72 周平均服务时长 不超过2小时 合计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员,求其周平均服务时长超过2小时的概率.(8分) (2)请完成2×2列联表,并根据表中数据回答:是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系?(7分) 解:(1)设事件A表示志愿者是“志愿模范队”成员,事件B表示志愿者周平均服务时长超过2小时. 由题可知n(Ω)=120,n(A)=72,n(A∩B)=54,因为每个志愿者被抽到的可能性相等, 根据古典概型的概率公式得,P(A)===,P(A∩B)===. 由条件概率公式可得,P(B|A)===.故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为. (2)由题可得如下2×2列联表: 是“志愿 模范队” 成员 不是“志愿 模范队” 成员 合计 周平均服务时 长超过2小时 54 18 72 周平均服务时 长不超过2小时 18 30 48 合计 72 48 120 提出统计假设H0:“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关, 因为χ2===16.875,由于χ2>10.828,故否定假设H0, 故有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. 18.(17分)某学校举办了“课外阅读知识竞赛”,为了调查学生对这次活动的满意程度,在所有参加“课外阅读知识竞赛”的学生中抽取容量为300的样本进行调查,并得到如下2×2列联表:(单位:人) 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 (1)是否有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系?(5分) (2)有20名学生进入竞赛的某环节,该环节共设置3道试题,且每一道试题必须依次作答,至少答对2道才能进入下一环节.若每人答对这3道试题的概率分别为,,,3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入下一环节的人数,求X的数学期望.(12分) 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828 解:(1)提出统计假设H0:满意程度与性别无关. 根据列联表中的数据,计算得χ2==24>10.828. 所以否定假设H0,所以有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系. (2)依题意,设事件Ai=“某学生答对第i道题”(i=1,2,3),B=“某学生进入下一环节”, 则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=. 因为B=A1A2A3+A1A2+A1A3+A2A3,所以P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××+××+××=.依题意,X~B,所以E(X)=20×=. 19.(17分)某乡政府为提高当地农民收入,指导农民种植药材,并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业.牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长,发展生态循环农业.如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y(单位:千元)与年份代码x的折线图.并计算得到yi=480,xiyi=2 052,≈25,(xi-)(yi-)=132, wi=140,(wi-)(yi-)=1 048, ≈43.3,其中wi=. (1)根据折线图判断,=+x与=+x2哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型?并说明理由;(9分) (2)根据(1)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程,并预测2026年该农户种植药材的平均收入.(8分) 附:相关系数r=, 回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为=,=-,≈2.65. 解:(1)因为=(1+2+3+4+5+6+7)=4,所以(xi-)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28. 对于模型=+x, 相关系数r=≈≈0.996. 对于模型=+x2, 相关系数r'=≈≈0.968. 因为0.996>0.968,所以=+x适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程. (2)由(1)可知回归方程类型为=+x. 由已知数据及公式可得===≈4.71,=-=-×4≈49.71. 所以y关于x的回归直线方程为=4.71x+49.71. 又年份代码1~7分别对应年份2018~2024,所以2026年对应年份代码为9, 代入可得=4.71×9+49.71=92.1. 所以预测2026年该农户种植药材的平均收入为92.1千元. 学科网（北京）股份有限公司 $