第4章 统计（单元自测·基础卷）数学湘教版选择性必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高二数学单元自测 第4章 统计·基础卷 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 2．如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 3．在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（    ） A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 4．在研究线性回归模型时，成对样本数据所对应的点均在直线上，则样本相关系数（   ） A． B．1 C． D．无法确定 5．已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（    ） A．3 B．2.8 C．2 D．1 6．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中多数男生喜欢手机支付 B．样本中的女生数量少于男生数量 C．样本中多数女生喜欢现金支付 D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 7．对某位运动员近5次比赛成绩统计如下表： 比赛次数x 1 2 3 4 5 得分y 39 40 48 48 50 根据表可得y关于x的线性回归方程为：，则下列说法不正确的是（    ） A． B．y与x的相关系数 C．得分y的方差为22.8 D．预测第6次比赛成绩约为54 8．已知一组数据大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为（  ）. A． B． C． D．无法确定 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（    ） A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 10．甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（    ） A． B．相关系数 C．第8年的利润预计大约为8.3亿元 D．第6个样本点的实际值比预测值小0.1 11．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据．从该地的人群中任选一人，设A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．则下列选项正确的是（   ） 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， A．依据的独立性检验，可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 B．利用该调查数据，可得到的估计值为0.4，的估计值为0.1 C．. D．利用该调查数据，可得到R的估计值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则=______. x 4 6 7 8 10 y 2 3 4 5 6 13．为了了解运动和寿命是否相关，先作了一次抽样调查，被调查的经常锻炼与不经常锻炼的人均为12t，统计得到以下列联表，经计算，有超过95%的把握但不超过99%的把握认为经常锻炼和长寿相关，则调查人数中经常锻炼的人至少有 人． 锻炼 寿命 合计 长寿 不长寿 经常 不经常 合计 14．某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史记录资料如表所示： （年） 1 2 3 4 5 （户数：万户） 1 1.2 1.6 1.8 2 （煤气消耗量：百万立方米） 6 7 9.8 12 12.1 （年） 6 7 8 9 10 （户数：万户） 2.5 3.2 4 4.2 4.5 （煤气消耗量：百万立方米） 14.5 20 24 25.4 27.5 其散点图如图所示： 从散点图可知，煤气消耗量与使用煤气户数 （填“线性相关”或“线性不相关”）；若两者关系可近似为直线，则当煤气用户扩大到5万户时，该市煤气消耗量估计是 百万立方米. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； (2)求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 16．（15分）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 (1)任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； (2)依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 17．（15分）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．（17分）某网上购物平台为了提高某商品的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据： 单价x/元 180 190 200 210 220 月销量y/个 57 52 42 32 27 (1)根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； (2)若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元） 参考公式：．参考数据：． 19．（17分）某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. (1)根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. (3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 试题 第7页（共4页） 试题 第8页（共4页） 试题 第5页（共4页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第4章 统计·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B B C C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．36 14．线性相关；30.367. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【详解】（1）由题意可知， ，………………………………………………2分 故，故有较强的线性相关性，…………………………………………………………………….6分 （2） ，……………………………………………………..8分 故，…………………………………………………………..10分 将代入可得， 故回归直线方程为………………………………………………………………….13分 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8， 则至少有2人能完成精细抓握的概率如下， 为； .........................7分 （2）零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关， .........................8分 根据列联表中的数据可以求得 ， .........................10分 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. ........................15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）由已知得， 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效………………….6分 （2）由题意可得，， ，. ，……………………….15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）由表中数据求得：，， 则………..8分 故关于的回归直线方程为……………………………………………………………………..9分 （2）设每月的总利润， 因为抛物线的对称轴方程为， 所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元…………………………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）列联表如下： 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 根据列联表中数据，经计算得到， 所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联……………………………………………5分 （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有， 则， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望……………………………………………………..10分 （3）依题意，更换厨师后好评率为， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则， 于是， 由， 由，解得，而，则当时，单调递增； 由，解得，则当时，单调递减， 所以使事件“”的概率最大时的值为80………………………………………………17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第4章 统计·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关，且线性相关性比较强.故选：B. 2．如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，，，可得， ，， 则y关于x的经验回归直线必过点. 故选：A. 3．在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（    ） A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 【答案】B 【解析】因为，则的值大于3.841， 就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确； 的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误. 故选：B. 4．在研究线性回归模型时，成对样本数据所对应的点均在直线上，则样本相关系数（   ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【解析】因成对样本数据所对应的点均在直线上，则，又直线的斜率为，满足正相关，故.故选：B. 5．已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（    ） A．3 B．2.8 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意知回归方程为过点，则， 即； 又，， 由于回归方程为必过样本中心点， 故， 故选：C 6．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中多数男生喜欢手机支付 B．样本中的女生数量少于男生数量 C．样本中多数女生喜欢现金支付 D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 【答案】C 【解析】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.故选：C. 7．对某位运动员近5次比赛成绩统计如下表： 比赛次数x 1 2 3 4 5 得分y 39 40 48 48 50 根据表可得y关于x的线性回归方程为：，则下列说法不正确的是（    ） A． B．y与x的相关系数 C．得分y的方差为22.8 D．预测第6次比赛成绩约为54 【答案】C 【解析】由表格数据，，， 所以，故，当，则，A、D对； ，C错； ，B对. 故选：C 8．已知一组数据大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为（     ）. A． B． C．-10 D． 【答案】C 【解析】回归直线经过， 且，， 代入回归方程得：， 即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（    ） A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 【答案】BD 【解析】回归直线是通过最小二乘法拟合数据得到的直线，它的目的是使样本数据点到该直线的距离的平方和最小，而不是经过样本数据点最多的那条直线.所以选项错误. 对于线性回归方程，因为样本点中心一定在回归直线上，所以将，代入回归方程可得： ，即，解得.所以选项正确. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数只是对变量之间相关关系的一个估计，它受到样本随机性的影响，不一定能确切地反映变量之间的相关关系.所以选项错误. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，说明两个变量之间越可能没有关系，那么“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率就越大.所以选项正确. 故选：BD 10．甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（    ） A． B．相关系数 C．第8年的利润预计大约为8.3亿元 D．第6个样本点的实际值比预测值小0.1 【答案】ABD 【解析】由表可知， ， ，根据回归直线的性质，样本中心点必须在直线上， ，解得m=4.8，故A正确；由表可知，y是随着x的增加而增加的，即是正相关，故B正确；将带入回归方程，得 ，故C错误；将带入回归方程，得 ，由表可知，实际值为5.2，故D正确；故选：ABD. 11．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据．从该地的人群中任选一人，设A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．则下列选项正确的是（   ） 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．依据的独立性检验，可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 B．利用该调查数据，可得到的估计值为0.4，的估计值为0.1 C．. D．利用该调查数据，可得到R的估计值为5 【答案】ABC 【解析】对于选项A，由列联表得 所以根据小概率值的独立性检验，认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异，故选项A正确； 对于选项B，由已知得故选项B正确； 对于选项C，由题意得， 又 所以，故选项C正确； 对于选项D，由已知得， 所以，故选项D错误. 故答案选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则=______. x 4 6 7 8 10 y 2 3 4 5 6 【答案】/ 【解析】，，因必在线性回归直线上，则有，解得.故答案为：. 13．为了了解运动和寿命是否相关，先作了一次抽样调查，被调查的经常锻炼与不经常锻炼的人均为12t，统计得到以下列联表，经计算，有超过95%的把握但不超过99%的把握认为经常锻炼和长寿相关，则调查人数中经常锻炼的人至少有 人． 锻炼 寿命 合计 长寿 不长寿 经常 不经常 合计 【答案】36 【解析】根据列联表中的数据，经计算得到， 由题意知，即得． 又，则或4，则调查人数中经常锻炼的人至少有人． 故答案为：36. 14．某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史记录资料如表所示： （年） 1 2 3 4 5 （户数：万户） 1 1.2 1.6 1.8 2 （煤气消耗量：百万立方米） 6 7 9.8 12 12.1 （年） 6 7 8 9 10 （户数：万户） 2.5 3.2 4 4.2 4.5 （煤气消耗量：百万立方米） 14.5 20 24 25.4 27.5 其散点图如图所示： 从散点图可知，煤气消耗量与使用煤气户数 （填“线性相关”或“线性不相关”）；若两者关系可近似为直线，则当煤气用户扩大到5万户时，该市煤气消耗量估计是 百万立方米. 【答案】 线性相关 30.367 【解析】由散点图发现图中各点在一条直线附近，所以煤气消耗量与使用煤气户数是线性相关关系.给出近似直线方程，只需将代入即可. 此时（百万立方米）. 故答案为：线性相关；30.367. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； (2)求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 【详解】（1）由题意可知， ，………………………………………………2分 故，故有较强的线性相关性，…………………………………………………………………….6分 （2） ，……………………………………………………..8分 故，…………………………………………………………..10分 将代入可得， 故回归直线方程为………………………………………………………………….13分 16．（15分）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 (1)任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； (2)依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8， 则至少有2人能完成精细抓握的概率如下， 为； .........................7分 （2）零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关， .........................8分 根据列联表中的数据可以求得 ， .........................10分 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. ........................15分 17．（15分）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【详解】（1）由已知得， 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效………………….6分 （2）由题意可得，， ，. ，……………………….15分 18．（17分）某网上购物平台为了提高某商品的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据： 单价x/元 180 190 200 210 220 月销量y/个 57 52 42 32 27 (1)根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； (2)若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元） 参考公式：．参考数据：． 【详解】（1）由表中数据求得：，， 则………..8分 故关于的回归直线方程为……………………………………………………………………..9分 （2）设每月的总利润， 因为抛物线的对称轴方程为， 所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元…………………………………………………………17分 19．（17分）某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. (1)根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. (3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【详解】（1）列联表如下： 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 根据列联表中数据，经计算得到， 所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联……………………………………………5分 （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有， 则， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望……………………………………………………..10分 （3）依题意，更换厨师后好评率为， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则， 于是， 由， 由，解得，而，则当时，单调递增； 由，解得，则当时，单调递减， 所以使事件“”的概率最大时的值为80………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第4章 统计·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 2．如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 3．在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（    ） A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 4．在研究线性回归模型时，成对样本数据所对应的点均在直线上，则样本相关系数（   ） A． B．1 C． D．无法确定 5．已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（    ） A．3 B．2.8 C．2 D．1 6．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中多数男生喜欢手机支付 B．样本中的女生数量少于男生数量 C．样本中多数女生喜欢现金支付 D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 7．对某位运动员近5次比赛成绩统计如下表： 比赛次数x 1 2 3 4 5 得分y 39 40 48 48 50 根据表可得y关于x的线性回归方程为：，则下列说法不正确的是（    ） A． B．y与x的相关系数 C．得分y的方差为22.8 D．预测第6次比赛成绩约为54 8．已知一组数据大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为（  ）. A． B． C． D．无法确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（    ） A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系 D．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 10．甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（    ） A． B．相关系数 C．第8年的利润预计大约为8.3亿元 D．第6个样本点的实际值比预测值小0.1 11．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据．从该地的人群中任选一人，设A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．则下列选项正确的是（   ） 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， A．依据的独立性检验，可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 B．利用该调查数据，可得到的估计值为0.4，的估计值为0.1 C．. D．利用该调查数据，可得到R的估计值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则=______. x 4 6 7 8 10 y 2 3 4 5 6 13．为了了解运动和寿命是否相关，先作了一次抽样调查，被调查的经常锻炼与不经常锻炼的人均为12t，统计得到以下列联表，经计算，有超过95%的把握但不超过99%的把握认为经常锻炼和长寿相关，则调查人数中经常锻炼的人至少有 人． 锻炼 寿命 合计 长寿 不长寿 经常 不经常 合计 14．某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史记录资料如表所示： （年） 1 2 3 4 5 （户数：万户） 1 1.2 1.6 1.8 2 （煤气消耗量：百万立方米） 6 7 9.8 12 12.1 （年） 6 7 8 9 10 （户数：万户） 2.5 3.2 4 4.2 4.5 （煤气消耗量：百万立方米） 14.5 20 24 25.4 27.5 其散点图如图所示： 从散点图可知，煤气消耗量与使用煤气户数 （填“线性相关”或“线性不相关”）；若两者关系可近似为直线，则当煤气用户扩大到5万户时，该市煤气消耗量估计是 百万立方米. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； (2)求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 16．（15分）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 (1)任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； (2)依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．（17分）某网上购物平台为了提高某商品的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据： 单价x/元 180 190 200 210 220 月销量y/个 57 52 42 32 27 (1)根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； (2)若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元） 参考公式：．参考数据：． 19．（17分）某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. (1)根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. (3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 5 / 7 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $