第4章 统计（知识清单）数学湘教版选择性必修第二册

第4章 统计 清单01、变量的相关关系 1．定义 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．正相关、负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． 3．线性相关和非线性相关 (1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． (2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4．样本相关系数 计算公式 r＝ r为变量x和变量y的样本相关系数 样本相 关系数r 的特征 ①r∈[－1,1]． ②当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 5．经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)． 当a，b的取值为＝，＝－时，Q＝ (yi－bxi－a)2达到最小．将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 6．刻画回归效果的方式 (1)残差图法，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (2)残差平方和法，残差平方和为 (yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． (3)利用决定系数R2刻画拟合效果 R2＝1－.R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 清单02、独立性检验 1．χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝. 2．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 3．应用独立性检验解决实际问题包括以下几个环节： (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【常用结论】 1．经验回归直线过样本点的中心(，)． 2．根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． 3．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 易错点1 相关系数的计算与应用 例1..以下散点图经过标准化后，相关系数最大的是（   ） A．   B．     C．   D．   例2.（多选）下列关于相关系数的说法正确的是（   ） A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 例3.（多选）通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 例4.已知，，，，则相关系数______.（相关系数） 易错点2 线性回归分析 例1.（多选）某种细胞在培养正常的情况下，时刻（单位：分）与细胞数（单位：个）的部分数据如下表所示： 1 2 3 4 5 52 95 185 227 若与线性相关，由上表数据求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A．与正相关 B． C．细胞数逐分增加，平均每分钟增加10个左右 D．预计10分钟后细胞数约为450个 例2.2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 例3.（多选）两个具有相关关系的变量，的一组数据为，，，，其经验回归方程为，记，，相关系数为；若将数据调整为，，，，其经验回归方程为，记，相关系数为，则（   ） 附：， A． B． C． D． 例4.某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 易错点4 非线性回归分析 例1. 用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________． 例3.某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 易错点5残差与相关指数的应用 例1. （多选）小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ）． A．决定系数变大 B．残差平方和变大 C．相关系数r的值变大 D．去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数 例2. （多选）为研究某种树的树高和胸径的关系，甲学习小组随机测量了100棵该品种树的胸径x（单位：cm）和树高y（单位：m）的数据，已知其中一组数据为点，且，求得线性经验回归方程为，其决定系数，并绘制了如下残差图．该小组研究发现，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则下列结论正确的是（    ） A．乙学习小组对这组数据进行分析，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲小组选取的模型拟合效果更好 B．数据点P对应的残差为0.9 C．该样本中树的平均树高为22.29m D．删除数据点P后，重新求得的回归直线的斜率变小 【答案】AC 例3.已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 易错点6 独立性检验的概念和辨析 例1. 根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 例2. 在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 例3. 某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（    ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．3.206 B．6.561 C．7.879 D．11.028 易错点7独立性检验的应用 例1. 根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有（   ） 肝病 酒性 合计 嗜酒 不嗜酒 患肝病 7775 42 7817 未患肝病 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 A． B． C． D． 例2. 某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例3. 为了了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表： 年龄 心肺疾病 合计 患心肺疾病 不患心肺疾病 大于40岁 16 小于等于40岁 12 合计 40 已知在40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的市民的概率为． (1)请将列联表补充完整； (2)已知在大于40岁且患心肺疾病的市民中，有4名重症患者，专家建议以重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出2人，记需住院治疗的人数为，求的分布列和数学期望； (3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 一、单项选择题 1．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关　 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关　 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.824 5 2．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9 h，方差为1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠时间均值为8 h，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　) A．0.96　　B．0.94　　C．0.79　　D．0.75 3．某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　) A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 4．为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增强学生的国防意识，某校组织1 000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，从中随机抽取20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．频率分布直方图中a的值为0.004 B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75 C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为150 5．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y(千万元)与年份代码x的关系可以用模型y＝(其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模 y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 z＝ln y 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程＝0.52x＋，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为(　　) A．e5.08 B．e5.6 C．e6.12 D．e6.5 二、多项选择题 6．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 /cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182 体重 /kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80 由表中数据制作成如下所示的散点图： 由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为＝1x＋1，样本相关系数为r1，决定系数为；经过残差分析确定(168，89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线l2的方程为＝2x＋2，样本相关系数为r2，决定系数为.则以下结论中正确的有(　　) A．1＞2 B．1＞2 C．r1＜r2 D． 7．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有(　　) A．该平台女性主播占比的估计值为0.4 B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层随机抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名 D．从所调查的主播中，随机选取一位作为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6 三、填空题 8．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝.我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦，18.5≤BMI＜24为正常，24≤BMI＜28为偏胖，BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层随机抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1．则该组数据的第70百分位数为________． 9．某工厂为研究某种产品产量x(单位：t)与所需某种原材料y(单位：t)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)如下表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.7x＋.据此计算出在样本点(4，3)处的残差为－0.15，则的值为________，表中m的值为________． 四、解答题 10．某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧，发展畜牧业．牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业．如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y(单位：千元)与年份代码x的折线图， 其中wi＝． (1)根据折线图判断y＝a＋bx与y＝c＋dx2哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由． (2)根据(1)的判断结果及数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测2025年该农户种植药材的平均收入．(结果精确到0.01) (3)结合当地的环境和气候及对种植户的调查统计分析表明：若继续种植现有的药材，农户的收入将接近“瓶颈”．要想继续提高农户的收入，则需要制订新的种植方案．在原有的土地上继续种植原有药材，质量得不到保障，且影响农户经济收入．请先分析原因，并给出建议． 附：相关系数r＝，回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－≈2.65． 11．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： 天数 [0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25] (25，30] 人数 4 15 33 31 11 6 附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3； χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)． α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，求一个月参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)． (2)调查数据表明，一个月参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表： 性别 活动天数 合计 [0，15] (15，30] 男生 女生 合计 并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联？如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响． 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 统计 清单01、变量的相关关系 1．定义 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．正相关、负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． 3．线性相关和非线性相关 (1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． (2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4．样本相关系数 计算公式 r＝ r为变量x和变量y的样本相关系数 样本相 关系数r 的特征 ①r∈[－1,1]． ②当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 5．经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)． 当a，b的取值为＝，＝－时，Q＝ (yi－bxi－a)2达到最小．将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 6．刻画回归效果的方式 (1)残差图法，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (2)残差平方和法，残差平方和为 (yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． (3)利用决定系数R2刻画拟合效果 R2＝1－.R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 清单02、独立性检验 1．χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝. 2．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 3．应用独立性检验解决实际问题包括以下几个环节： (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【常用结论】 1．经验回归直线过样本点的中心(，)． 2．根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． 3．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 易错点1 相关系数的计算与应用 例1..以下散点图经过标准化后，相关系数最大的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】对于，散点呈上升趋势，线性相关系数为正数，这些点紧密的聚集在一条直线的附近，线性相关性强； 对于，散点分布呈曲线趋势，线性相关程度比弱； 对于，散点呈下降趋势，线性相关系数为负数； 对于，散点分布比较分散，线性相关程度比弱； 所以相关系数最大的是. 故选：. 例2.（多选）下列关于相关系数的说法正确的是（   ） A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 【答案】BCD 【详解】对于相关系数，有以下结论：①当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． ②的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值越接近于，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 对于A，当时此结论不成立，所以A不正确． 对于B，由相关系数的性质可得，所以B正确． 对于C，由相关系数的性质可得正确． 对于D，由相关系数的性质可得正确． 故选：BCD． 例3.（多选）通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 例4.已知，，，，则相关系数______.（相关系数） 【答案】 【详解】由题设，有. 故答案为：. 易错点2 线性回归分析 例1.（多选）某种细胞在培养正常的情况下，时刻（单位：分）与细胞数（单位：个）的部分数据如下表所示： 1 2 3 4 5 52 95 185 227 若与线性相关，由上表数据求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A．与正相关 B． C．细胞数逐分增加，平均每分钟增加10个左右 D．预计10分钟后细胞数约为450个 【答案】ABD 【详解】由回归方程中的系数大于0，可知与正相关，故A项正确； 由表中数据可知，又因为回归方程为， 把代入回归方程中，解得，所以，解得，故B项正确； 由经验回归方程知细胞数逐分增加，平均每分钟增加44个左右，故C项错误； 将代入回归方程中，得，故D项正确． 故选：ABD. 例2.2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 【答案】B 【详解】由及，得， 则在新样本中，， 所以. 故选：B 例3.（多选）两个具有相关关系的变量，的一组数据为，，，，其经验回归方程为，记，，相关系数为；若将数据调整为，，，，其经验回归方程为，记，相关系数为，则（   ） 附：， A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 例4.某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 【答案】(1) (2)4.5万人 【详解】（1）解：由统计表格中的数据，可得，， 且， 则， 可得， 所以关于的线性回归方程为. （2）解：由（1）知：线性回归方程为， 当时，可得. 由此预测第7个月的打卡人数为4.5万人. 易错点4 非线性回归分析 例1. 用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由模型可得，所以； 令，所以，可得； 又因为回归直线方程为，因此，可得. 故选：A 例2. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围．令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 例3.某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【答案】(1)模型的拟合程度更好 (2). 【详解】（1）令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. （2）由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 易错点5残差与相关指数的应用 例1. （多选）小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ）． A．决定系数变大 B．残差平方和变大 C．相关系数r的值变大 D．去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数 【答案】ACD 【详解】由散点图可知，点较其他点偏离直线更远， 去掉点后，回归效果更好，残差平方和变小，决定系数变大； 自变量与因变量的相关性变强，又与正相关，所以相关系数的值变大； 当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，决定系数， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 例2. （多选）为研究某种树的树高和胸径的关系，甲学习小组随机测量了100棵该品种树的胸径x（单位：cm）和树高y（单位：m）的数据，已知其中一组数据为点，且，求得线性经验回归方程为，其决定系数，并绘制了如下残差图．该小组研究发现，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则下列结论正确的是（    ） A．乙学习小组对这组数据进行分析，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲小组选取的模型拟合效果更好 B．数据点P对应的残差为0.9 C．该样本中树的平均树高为22.29m D．删除数据点P后，重新求得的回归直线的斜率变小 【答案】AC 【详解】对于A：决定系数越大，模型的拟合效果越好，，选项A正确； 对于B：计算数据对应的残差，当时，， 所以残差为，选项B错误； 对于C：已知，则样本中心点的横坐标：， 将代入回归方程，可得y=0.25×29.16+15=7.29+15=22.29， 所以样本中树的平均树高为，选项C正确； 对于D：删除数据后， 因为38.4大于样本中心点的横坐标29.16，且23.7小于通过回归方程计算出的38.4对应的预测值24.6， 所以删除该点后，剩下的数据整体上可能使得树高与胸径的正相关变强， 即重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误． 故选：AC． 例3.已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为， 则当时，， 样本点的残差为. 故选：B. 易错点6 独立性检验的概念和辨析 例1. 根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【详解】因为，所以在显著性水平下， 没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的， 故选：B 例2. 在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【详解】①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性，故①不正确； ②独立性检验是用来考察两个分类变量是否具有关联性，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度， 而不是给出事件的概率，故②不正确； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误，③正确。 故选：D 例3. 某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（    ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．3.206 B．6.561 C．7.879 D．11.028 【答案】C 【详解】由题意得的值应位于与之间，故C正确，ABD错误. 故选：C 易错点7独立性检验的应用 例1. 根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有（   ） 肝病 酒性 合计 嗜酒 不嗜酒 患肝病 7775 42 7817 未患肝病 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由列联表中的数据，计算得， 故有的把握认为患肝病与嗜酒有关系． 故选：D． 例2. 某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)有关联 【详解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件， 由此可得列联表如下： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 根据列联表数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于． 例3. 为了了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表： 年龄 心肺疾病 合计 患心肺疾病 不患心肺疾病 大于40岁 16 小于等于40岁 12 合计 40 已知在40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的市民的概率为． (1)请将列联表补充完整； (2)已知在大于40岁且患心肺疾病的市民中，有4名重症患者，专家建议以重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出2人，记需住院治疗的人数为，求的分布列和数学期望； (3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， (3)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关． 【详解】（1）解：由题意知，在40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的市民的概率为， 所以抽到不患心肺疾病的市民的人数为人， 将列联表补充完整，如下表所示： 年龄 心肺疾病 合计 患心肺疾病 不患心肺疾病 大于40岁 16 4 20 小于等于40岁 8 12 20 合计 24 16 40 （2）解：由题意知，需住院治疗的人数为可能取值为， 可得，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的数学期望． （3）解：零假设为：是否患心肺疾病与年龄无关， 由（1）中的列联表，可得， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关． 一、单项选择题 1．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关　 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关　 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.824 5 C　[∵相关系数r＝0.824 5>0.75，且散点图呈左下角到右上角的带状分布， ∴花瓣长度和花萼长度呈正相关． 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.824 5．故选C．] 2．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9 h，方差为1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠时间均值为8 h，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　) A．0.96　　B．0.94　　C．0.79　　D．0.75 B　[该地区中学生每天睡眠时间的平均数为： ×9＋×8＝8.4(h)， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为： ×[1＋(9－8.4)2]＋×[0.5＋(8－8.4)2]＝0.94．故选B．] 3．某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　) A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 B　[依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为＝7.8．故选B．] 4．为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增强学生的国防意识，某校组织1 000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，从中随机抽取20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．频率分布直方图中a的值为0.004 B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75 C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为150 D　[由频率分布直方图可得： 10×＝1，解得a＝0.005，故A错误； 前三个矩形的面积为×10＝0.6，即第60百分位数为80，故B错误； 估计这20人的众数为＝75，故C错误； 总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为：3a×10×1 000＝150，故D正确．故选D．] 5．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y(千万元)与年份代码x的关系可以用模型y＝(其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模 y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 z＝ln y 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程＝0.52x＋，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为(　　) A．e5.08 B．e5.6 C．e6.12 D．e6.5 B　[因为＝3，＝3， 所以＝－0.52＝3－3×0.52＝1.44， 即经验回归方程＝0.52x＋1.44， 当x＝8时，＝0.52×8＋1.44＝5.6， 所以y＝ez＝e5.6，即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5.6．故选B．] 二、多项选择题 6．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 /cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182 体重 /kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80 由表中数据制作成如下所示的散点图： 由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为＝1x＋1，样本相关系数为r1，决定系数为；经过残差分析确定(168，89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线l2的方程为＝2x＋2，样本相关系数为r2，决定系数为.则以下结论中正确的有(　　) A．1＞2 B．1＞2 C．r1＜r2 D． AC　[身高的平均数为＝173.5， 因为离群点(168，89)的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以1＞2，1＜2，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以，所以C正确，D错误．故选AC．] 7．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有(　　) A．该平台女性主播占比的估计值为0.4 B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层随机抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名 D．从所调查的主播中，随机选取一位作为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6 AC　[A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为300×10%＝30， 青年人人数为300×60%＝180，中年人人数为300×30%＝90， 由图2可以看出青年人中女性人数为180×40%＝72，中年人中女性人数为90×30%＝27， 其他人群中女性人数为30×70%＝21， 故该平台女性主播占比的估计值为＝0.4，A正确； B选项，中年人中男性人数为90×70%＝63， 故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为＝0.21，B错误； C选项，三个年龄段青年主播、中年主播和其他人群主播人数比例为6∶3∶1， 故用分层随机抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取20×＝6名，C正确； D选项，从所调查的主播中，随机选取一位作为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件A，随机选取一位作为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件B， 则P(A)＝0.6，P(AB)＝＝0.24，∴P(B|A)＝＝＝0.4.D错误．故选AC. ] 三、填空题 8．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝.我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦，18.5≤BMI＜24为正常，24≤BMI＜28为偏胖，BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层随机抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1．则该组数据的第70百分位数为________． 23.7　[15名员工的BMI数据由小到大排列为：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8，22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，由15×70%＝10.5，所以该组数据的第70百分位数是第11个数23.7．] 9．某工厂为研究某种产品产量x(单位：t)与所需某种原材料y(单位：t)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)如下表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.7x＋.据此计算出在样本点(4，3)处的残差为－0.15，则的值为________，表中m的值为________． 0.35　4.5　[由在样本点(4，3)处的残差为－0.15，可得当x＝4时，＝3.15，即3.15＝0.7×4＋，解得＝0.35．又＝＝4.5，＝＝，经验回归直线过点，所以＝0.7×4.5＋0.35，解得m＝4.5．] 四、解答题 10．某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧，发展畜牧业．牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业．如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y(单位：千元)与年份代码x的折线图， 其中wi＝． (1)根据折线图判断y＝a＋bx与y＝c＋dx2哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由． (2)根据(1)的判断结果及数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测2025年该农户种植药材的平均收入．(结果精确到0.01) (3)结合当地的环境和气候及对种植户的调查统计分析表明：若继续种植现有的药材，农户的收入将接近“瓶颈”．要想继续提高农户的收入，则需要制订新的种植方案．在原有的土地上继续种植原有药材，质量得不到保障，且影响农户经济收入．请先分析原因，并给出建议． 附：相关系数r＝，回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－≈2.65． [解]　(1)因为(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， ＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28， 对于模型y＝a＋bx，相关系数r＝≈0.996， 对于模型y＝c＋dx2，相关系数r′＝≈0.968， 因为0.996>0.968， 所以y＝a＋bx适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程． (2)由(1)可知回归方程类型为y＝a＋bx， 由已知数据及公式可得＝≈4.71，＝－ ×4≈49.71， 所以y关于x的经验回归方程为＝4.71x＋49.71， 又年份代码1～7分别对应年份2016～2022，所以2025年对应年份代码为10， 代入可得＝4.71×10＋49.71＝96.81千元， 所以预测2025年该农户种植药材的平均收入为96.81千元． (3)长期在固定的土地种植固定的药材，土壤的微量元素含量及比例会发生变化，影响药材的生长，产量、质量方面等出现问题；长期种植同种药材，品种较为单一，市场也会趋于饱和，影响收入． 故建议如下： ①扩大种植面积，调整种植品种，进行土壤元素分析，结合当地环境及农作物的种植，进行综合研判，进行套种或轮作； ②增加药材品种，聘请专家指导每块土地药材种植的次序及间隔时间等，采用多元化种植方式，也可根据药材的特性，因地制宜选择种植品种． 11．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： 天数 [0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25] (25，30] 人数 4 15 33 31 11 6 附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3； χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)． α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，求一个月参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)． (2)调查数据表明，一个月参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表： 性别 活动天数 合计 [0，15] (15，30] 男生 女生 合计 并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联？如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响． [解]　(1)由频数分布表知 μ＝×(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5)＝14.9， 则X～N， ∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， ∴P(X＞21)＝P(X＞14.9＋6.1)≈＝0.158 65， ∴3 000×0.158 65＝475.95≈476， ∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人． (2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0，15]的人数为4＋15＋33＝52， ∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生， 参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：52－20＝32， 由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15，30]的人数为31＋11＋6＝48， ∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]的学生中有30名男生， ∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]的学生中有女生人数48－30＝18. 列联表如下： 性别 活动天数 合计 [0，15] (15，30] 男生 20 30 50 女生 32 18 50 合计 52 48 100 零假设为H0：学生性别与获得“运动达人”称号无关． χ2＝≈5.769＞3.841， 依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关， 而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为＝0.6和＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的≈1.67倍，于是依据频率稳定于概率，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $