3.1.4-3.1.5 全概率公式 贝叶斯公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

3.1.4&3.1.5　全概率公式　贝叶斯公式 [课时跟踪检测] 1.在3张彩票中有2张有奖,甲、乙两人先后从中各任取一张,则乙中奖的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设“甲中奖”为A事件,“乙中奖”为B事件,则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=,故选B. 2.已知P(A)=,P()=,P(B|A)=0,P(B)=,则P(B|)= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0+×P(B|)=,解得P(B|)=,故选B. 3.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为 (　　) A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 解析:选D　令事件B表示“取到的零件为合格品”,事件Ai表示“零件为第i台机床的产品”,i=1,2.由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×0.96+×0.93=0.95. 4.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析,根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率为 (　　) A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7 解析:选C　设A1表示“乙球员担当前锋”,A2表示“乙球员担当中锋”,A3表示“乙球员担当后卫”,A4表示“乙球员担当守门员”,B表示“当乙球员参加比赛时,球队输球”. 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)·P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32. 所以当乙球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68. 5.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球,乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球,若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于,则x的最大值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选C　设“从甲盒取出白球,红球,黑球”的事件分别为A1,A2,A3,“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的事件为B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=·+·+·=≥,解得x≤6,则x的最大值为6. 6.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约20%的人近视,而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　令A1=“玩手机时间超过1小时的学生”,A2=“玩手机时间不超过1小时的学生”,B=“任意调查一名学生,此人近视”,Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.1,P(A2)=0.9,P(B|A1)=0.6,P(B)=0.2,依题意有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.1×0.6+0.9×P(B|A2)=0.2,解得P(B|A2)==,故从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,他近视的概率为. 7.[多选]甲盒子中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙盒子中有4个红球,3个白球和3个黑球(球除颜色外,大小质地均相同).先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子,分别以A1,A2和A3表示“由甲盒子取出的球是红球,白球和黑球”的事件;再从乙盒子中随机取出一球,以B表示“由乙盒子取出的球是红球”的事件,则下列结论正确的是 (　　) A.A1,A2,A3是两两互斥的事件 B.P(B)= C.事件B与事件A1相互独立 D.P(B|A1)= 解析:选AD　根据题意得,A1∩A2=∅,A2∩A3=∅,A1∩A3=∅,故由互斥事件的定义可得A1,A2,A3两两互斥,故A正确.P(A1)==,P(A2)==,P(A3)=,又P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,故P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=×+×+×=,故B错误,D正确.P(B)P(A1)=×=,P(BA1)=P(B|A1)·P(A1)=,故P(B)·P(A1)≠P(BA1),所以事件B与事件A1不相互独立,故C错误.故选AD. 8.(5分)现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表,其中女生报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表,则所取到的是女生报名表的概率为　　　　.  解析:依题意,随机地取一个地区的报名表选到每个地区的概率为,所以取到的是女生报名表的概率为×+×+×=. 答案: 9.(5分)已知事件A,B,且P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)等于　　　.  解析:因为P(A)=,所以P()=.由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×==. 答案: 10.(5分)甲袋中有3个白球,2个黑球,乙袋中有4个白球,4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,则该球是白球的概率为　　　.  解析:设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”,事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”,i=0,1,2.由全概率公式得P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=·+·+·=. 答案: 11.(5分)甲袋中有3个红球,2个白球和1个黑球,乙袋中有4个红球,1个白球和1个黑球(除颜色外,球的大小、形状完全相同).先从甲袋中随机取出1球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1球.分别以A1,A2,A3表示“由甲袋取出的球是红球,白球和黑球”的事件,以B表示“由乙袋取出的球是红球”的事件,则P(B|A1)=　　　,P(B)=　　　.  解析:根据题意,得P(A1)==, P(A2)==,P(A3)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, ∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=. 答案:　 12.(10分)甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.在一轮比赛中,如果甲单独与机器人比赛,战胜机器人的概率为;如果乙单独与机器人比赛,战胜机器人的概率为. (1)甲单独与机器人进行三轮比赛,求甲至少有两轮获胜的概率;(3分) (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛,求战胜机器人的概率.(7分) 解:(1)设“甲至少有两轮获胜”为事件A, 则P(A)=3××+=. (2)设“选中甲与机器人比赛”为事件A1,“选中乙与机器人比赛”为事件A2,“战胜机器人”为事件B, 根据题意得P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=, 由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 所以战胜机器人的概率为. 13.(10分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(4分) (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.(6分) 解:(1)事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为==28,事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为=3, ∴这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥, P(B1)==,P(B2)==, P(B3)==,P(A|B1)=, P(A|B2)=,P(A|B3)=,∴P(A)= P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 14.(15分)某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,,若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,,记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)求P2的值;(7分) (2)若n∈N,n≥2,试用Pn-1表示Pn.(8分) 解:(1)设A1=“第1次出现红球”,A2=“第1次出现绿球”,B=“第2次出现红球”, 则P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,由全概率公式得P2=P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. (2)设C1=“第n-1次出现红球”,C2=“第n-1次出现绿球”,D=“第n次出现红球”, 则P(C1)=Pn-1,P(C2)=1-Pn-1,P(D|C1)=,P(D|C2)=. 由全概率公式得Pn=P(D)=P(C1)·P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)=Pn-1×+(1-Pn-1)×=-·Pn-1+(n∈N,n≥2). 学科网（北京）股份有限公司 $