2.2 第2课时 向量的数量积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

2.2 第2课时 向量的数量积 [课时跟踪检测] 1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°. 2.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于 (　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析:选A　·=·(-)=·-·=2×2cos 90°-2×2cos 60°=-2. 3.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>= (　　) A. B. C.- D. 解析:选D　因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以|c|=|a+b|,所以|c|2=|a|2+2|a||b|·cos<a,b>+|b|2,所以16=4+12cos<a,b>+9,所以cos<a,b>=. 4.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在方向上的投影向量为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,则·=(++)·=||2,所以在方向上的投影向量为·=·=. 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,CD的中点,则||等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为=++=++,所以||2==+++·+·+·,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD,BB1,BC两两互相垂直,所以||==. 6.[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 (　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为||·(·) 解析: 选AB　如图所示,(++)2=(++)2==3,故A为真命题;·(-)=·=0,故B为真命题;连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;正方体的体积为||||||,故D为假命题. 7.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选A　由题意可知,=+,则·=·(+)=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1. 8.[多选]已知空间单位向量,,两两夹角均为60°,=2,=2,则下列说法正确的是 (　　) A.P,A,B,C四点可以共面 B.·(+)=- C.||= D.cos<,>= 解析:选BC　因为单位向量,,两两夹角均为60°,所以·=·=·=1×1×cos 60°=,假设P,A,B,C四点可以共面,则,,共面,所以存在x,y,使得=x+y,分别用,,与=x+y的等式两边相乘,则该方程组无解,所以不存在x,y,使得,,共面,故P,A,B,C四点不共面,故A错误;·(+)=·(-+-)=·(2--)=1--1=-,故B正确;由=2得=,由=2得-=2-2⇒=,所以=-=, 则||2==(+++2·-2·-2·)=(1+1+1+1-1-1)=,所以||=,故C正确;=-=, 所以·=- =-=-, 故cos<,><0,故D错误. 9.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2=(++)2=(++)=,·=(++)·==.设异面直线BM与CD的夹角为θ,则cos θ===. 10.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　.  解析: 如图,=-,=-=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2. 答案:a2 11.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　.  解析:∵m⊥n,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2=18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16=18-12λ-12+16λ=6+4λ=0,∴λ=-. 答案:- 12.(5分)设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是　　　　三角形.  解析:∵·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,同理,·>0,·>0,∴△BCD的三个内角均为锐角.∴△BCD为锐角三角形. 答案:锐角 13.(10分)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E是AA'的中点,AA'=AD=2,AB=4,求: (1)·;(4分) (2)·.(6分) 解:(1)∵是长方体,而且AA'=AD=2, ∴<,>=∠B'BC'=45°,||=AA'=1,||=BC'==2,因此,·=||||cos<,>=2×1×=2. (2)∵=++,==,∴·=(++)·=-+·+·.∵⊥,⊥, ∴·=-=-2. 14.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=. (1)求线段PC的长度;(3分) (2)求异面直线PC与BD夹角的余弦值;(4分) (3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.(3分) 解:(1)∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3,∴||=,∴线段PC的长度为. (2)∵·=(++)·(-)=·-·+·-·+·-·=-1×2×-2×2+1×1+2×2×+0-0=-2,||=,∴cos<,>===-,故异面直线PC与BD夹角的余弦值为. (3)证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE, ∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0, ∴⊥,即PA⊥ED. 学科网（北京）股份有限公司 $