精品解析：北京师范大学附属中学2025--2026学年下学期九年级数学阶段性练习

数学学科阶段性练习 一、选择题（本题共16分，每小题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图． 【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， ∴展开图可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，由数轴可知，进而由可得异号，即得，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，故错误； ∵， ∴异号， ∴，， ∵与的绝对值大小无法确定， ∴的符号无法确定，与的大小无法判断，故错误； ∵， ∴， ∴，故正确； 故选：． 4. 如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（　　） A. 比原多边形多180° B. 比原多边形多360° C. 与原多边形相等 D. 比原多边形少180° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 【详解】因为n边形的内角和是：（n-2）180° 由图可知，新图形多了一边， 所以，新多边形的内角和比原多边形多180°. 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题关键． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 且， ∵， ∴，解得：， 综上，且， 只有C选项符合题意． 故选：C 6. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过列表法列出所有两位字母不同的密码组合，总共有种等可能的结果；再依据“系统自动排除以开头或以结尾的密码”的排除规则，从所有组合中筛选出符合条件的有效密码，统计其数量；最后根据概率公式，计算出密码不被系统排除的概率． 【详解】解：列举出所有等可能的结果如下： - - - - 由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码， ∴他设置的密码不会被系统排除的概率是． 7. 如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练利用等腰三角形的性质是解题的关键． 由作图可得是的垂直平分线，，利用等腰三角形的性质计算角度，逐一判断解答即可． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ，故A正确，不符合题意； ，， ，， ， ，故C正确，不符合题意； 由作图可得， ， ， ，故B正确，不符合题意； 根据题意不可以得到，故D错误，符合题意， 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（ ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据圆周角定理确定“好点”的轨迹是两段圆弧，再分别验证三个结论即可．用到圆周角定理、两点坐标距离公式、直线与圆的位置关系、一元二次方程、扇形面积公式等初中知识点，根据相关知识进行求解即可． 【详解】解：已知，则，， 根据圆周角定理，满足的点的轨迹是两段圆弧，如图： ①圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故是“好点”，①正确； ②圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故也是“好点”，又， ∴满足的点的轨迹是两段圆弧（实线部分），所有“好点”围成的区域是两个弓形的面积和， 对任意一个弓形，对应扇形圆心角为，扇形面积为， 面积为， 总面积为，故②正确； ③设点C坐标为，则，则， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切； 由得， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切， 如图，当和时，直线与满足的点的两段圆弧相切， 由图知，当时，直线上不存在“好点”， 故当且时，直线上不一定有两个“好点”，故③错误． 综上，①②正确，答案选A． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依据“分式有意义的条件是分母不为零”，令分母，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由代数式有意义得：， 解得． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分式方程的最简公分母．将分式方程转化为整式方程求解，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母，得： ， ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，． 因此原分式方程的解是． 12. 如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形，合理作图是关键． 根据题意，由圆内接四边形得到，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴四边形是圆内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴所对的圆周角度数为， 故答案为：． 13. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 14. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 15. 如图，点是边长为2的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本知识、三角形全等判定和性质，连接，证明，则，当G、H、F共线时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，取的中点H， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， 则点F在以为直径的圆H上，连接、， 当G、H、F共线时，最大， 则，， 则的到最大值为， 故答案为：． 16. 小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍_____盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从30盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下．他挑战成功了，那么_____． 【答案】 ①. 2 ②. 10 【解析】 【分析】（1）先根据总亮灯数得到第二组初始亮灯数，设拍灯中原有亮灯的数量，推导拍完后第一组亮灯数的表达式，根据两组亮灯数相等列方程，求解得到最小拍灯数； （2）设选出的盏灯中原有亮灯数，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）盏灯平均分为两组，每组盏，已知第一组有盏亮灯，总亮灯数为，因此第二组亮灯数为； 只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，设拍第一组共盏灯，其中盏为原有亮灯，盏为原有暗灯，拍完后第一组亮灯数为： ， 要使两组亮灯数相等，可得，整理得，其中为非负整数，当时，取得最小值； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯全部拍一遍后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮，因此拍完后选出组的亮灯数为， 要使两组亮灯数相等，可得： 等式两边消去，得，对任意都成立． 三．解答题（本题共68分，其中17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27、28题每小题7分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，再把所求式子的分子和分母都分解因式后约分得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是的中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，于点E， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）先说明，再结合即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，点F是的中点， ． , ． ∵在中， ∴． ∵在中，，， ∴设，则，． ． 21. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】（1）20，40 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，． 故答案为：20；40； 【小问2详解】 解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：将点和代入中得： ， 解得：， ∴该函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意， ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于0， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 23. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3）解：，理由如下： ∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据样本估计总体的方法求解即可； （3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可． 【小问1详解】 ∵一共抽取20名学生 ∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数 ∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87 ∴； 抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 （人） ∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，点为上的一点，过点作的切线交的延长线于点．连接，过点作的垂线，交于点，交⊙于另一点． （1）求证：； （2）若，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵是切线，是的直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）， 【解析】 【分析】（1）由是切线得到，因此，根据得到，进而得到，因此，再根据等角对等边即可证明结论； （2）先证明得到，因此，可得，，证明，得到，因此，，，根据勾股定理在可求得，进而，由得到，即可求得，从而． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）①②③8 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先逐个描点，再依次连接，即可作答． （2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答． ②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答． ③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点 （1）用含的式子表示； （2）点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 27. 如图，在中，，点为边上一点，； （1）如图1，若，，，求点到直线的距离； （2）如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，连接，交于点， 设， ∵，点为线段中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵点为线段中点， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点，利用勾股定理求得，再利用，即可求解； （2）连接，交于点，通过导角得出，可知，证明，可得，即可证明，得，再利用直角三角形证明，得，最后利用中位线证明即可． 【小问1详解】 解：过点作延长线于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． （1）如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； （2）已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； （3）点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知是直角三角形；再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可得到不是直角三角形；是直角三角形；再由“关联点”定义即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，当点，时，，则，解得或；利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案； （3）根据新定义可得点是为直径的圆上的一点，根据题意求得的最大值为，进而分在轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，是直角三角形， 由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ， 不是直角三角形，由“关联点”定义可知，不是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ，即， 是直角三角形，由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图所示： 当点，时，，则，解得或； 设轴上的，，即在轴正半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最大值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则(此时重合)，此时最小； ； 设轴上的，，即在轴负半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最小值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则，此时取到最大值； ； 综上所述，点的纵坐标的取值范围或； 【小问3详解】 解：由题意可知，当为直径时，满足题意，则最大值为； 当在轴下方时，如图所示，设以为直径的圆与相切于点，则当和点重合时，， ∵，， ∴，则， ∵，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 当在轴上方时，如图所示 同理可得 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科阶段性练习 一、选择题（本题共16分，每小题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（　　） A. 比原多边形多180° B. 比原多边形多360° C. 与原多边形相等 D. 比原多边形少180° 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 6. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（ ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：______． 11. 分式方程的解为________． 12. 如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为______． 13. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 14. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 15. 如图，点是边长为2的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为______． 16. 小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍_____盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从30盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下．他挑战成功了，那么_____． 三．解答题（本题共68分，其中17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27、28题每小题7分） 17. 计算： 18. 解不等式组 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是的中点，，，求的长． 21. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 23. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 24. 如图，是的直径，点为上的一点，过点作的切线交的延长线于点．连接，过点作的垂线，交于点，交⊙于另一点． （1）求证：； （2）若，求和的长． 25. 脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点 （1）用含的式子表示； （2）点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在中，，点为边上一点，； （1）如图1，若，，，求点到直线的距离； （2）如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． （1）如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； （2）已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； （3）点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $