10.2.1 消元——解二元一次方程组 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

消元—— 解二元一次方程组 （代入法） 　　问题：运动会要到了，篮球是七（1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么七（1）班应该胜、负各几场？ 　　你会用二元一次方程组解决这个问题吗？ 　　根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程 问题：运动会要到了，篮球是七（1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么七（1）班应该胜、负各几场？ 你会用二元一次方程组解决这个问题吗？ 根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程． 2 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 17 18 19 20 21 22 y 22 21 20 19 18 17 16 15 14 … 5 4 3 2 1 0 　　解：根据我们上节课所学的列表法可以求得满足方程①的解有： x 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 满足方程②的解有： 这两个方程的公共解是 那么还有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？ 设计意图：问题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强学生的求知欲，使学生对所学知识产生亲切感．（这里实际还是引言中的问题） 3 设两个未知数：胜x场，负y场，可以列方程组 只设一个未知数：胜x场，可列一元一次方程 　　篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 2x＋(10－x)＝16． 1．代入消元法的概念 （1）在上一节课中我们已经看到，直接设两个未知数：胜x场，负y场，可以列方程组 表示本章引言中问题的数量关系． 如果只设一个未知数：胜x场，那么这个问题也可以用一元一次方程2x＋(10－x)＝16来解． 4 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？ 　　二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. （3）二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． 通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象、从特殊到一般的认识过程．所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它． 5 解方程组 解： ① ② 由①得： ③ 把③代入②得： 　　1. 将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数； 　　2. 用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值； 变 代 探究解法: 解得 （2）观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？ 通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程x＋y＝10变形y＝10－x，由于两个方程中y都表示负的场数，所以把第二个方程2x＋y＝16中的y换为10－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(10－x)＝16． 6 把 代入③，得 　　3. 把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值； 4. 写出方程组的解． 求 写 ∴方程组的解是 解这个方程，得x＝6．把x＝6代入y＝10－x，得y＝4．从而得到这个方程组的解． 7 　　上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法． 归 纳： 归纳： 上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． 这是对代入法的基本步骤的概括，代入法通过“把一个方程(必要时先做适当变形)代入另一个方程”进行等量替换，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，从而实现消元． 设计意图：重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据．体会未知向已知，陌生向熟悉转化这一重要思想——化归思想． 8 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式： （1）2x－y＝3； （2）3x＋y－1＝0． 解：（1）y＝2x－3； （2）y＝1－3x． 2．学习用代入消元法解二元一次方程 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式： （1）2x－y＝3；（2）3x＋y－1＝0． 学生活动：独立完成，回答结果． 解：（1）y＝2x－3；（2）y＝1－3x． 设计意图：重点在于说明解二元一次方程的一个技巧问题．主要表现在如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一个未知数． 9 例1　用代入法解方程组 分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便． 例1　用代入法解方程组 分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便． 10 所以这个方程组的解是 解：由①，得x＝y＋3． ③ 把③代入②，得 （把③代入①可以吗？试试看） 3(y＋3)－8y＝14． 解这个方程，得y＝－1． 把y＝－1代入③，得 （把y＝－1代入①或②可以吗？） x＝2． 归纳总结强调： 由于方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，而不能代入①．为使学生认识到这一点，可以让其试试把③代入①会出现什么结果． 得到一个未知数的值后，把它代入方程①②③都能得到另一个未知数的值．其中代入方程③最简捷．为使学生认识到这一点，可以让其试试各种代入法． 设计意图：本例的重点在于让学生掌握代入法解二元一次方程组的基本步骤． 11 　　例2　根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（250 g）两种产品的销售数量 (按瓶计算)比为2:5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 分析：问题中包含两个条件： 大瓶数∶小瓶数＝2∶5， 大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量． 例2　根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（250 g）两种产品的销售数量 (按瓶计算) 比为2:5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 两种产品的销售数量比为2:5，即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为2:5．这里的数目以瓶为单位． 分析：问题中包含两个条件：大瓶数：小瓶数＝2:5，大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量． 12 　　解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶． 　　　　根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的相等关系，得 由①，得 把③代入②，得 解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶． 根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的相等关系，得 问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？ 两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1． 问题2：能用代入法来解吗？ 问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？ 13 解这个方程，得x＝20 000． 把x＝20 000代入③，得y＝50 000． 这个方程组的解是 答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶． 解后反思： （1）如何用代入法处理两个未知数的绝对值均不为1的二元一次方程组？ 对于用代入法解未知数的绝对值均不为1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便． （2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系． （3）列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答． 设计意图：从实际问题情境入手，一方面让学生体会方程时刻画现实世界的有效数学模型，另一方面培养学生分析解决问题的能力． 14 二元一次方程组 变形 代入 y＝50 000 x＝20 000 解得x 一元一次方程 消去y 用 代替y， 消去未知数y 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示： 解得y 代入 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示： 15 解这个方程时，可以先消去x吗？试试看． 解：由①，得 把③代入②，得 解这个方程，得y＝50 000． 这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用．它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型． 讨论： 解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看． 先独立完成求解，再小组讨论结果，体会上述解二元一次方程组的一般步骤． 16 把y＝50 000代入③，得x＝20 000． 这个方程组的解是 答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶． 设计意图：帮助学生形成网络，树立数学建模思想． 17 1．用代入法解下列方程组： （1） （2） 解：（1） 把①代入②，得3x＋2(2x－3)＝8． 解这个方程，得x＝2． 把x＝2代入①，得y＝1． 所以这个方程组的解是 1．用代入法解下列方程组： 18 1．用代入法解下列方程组： （1） （2） 解：（2） 由①，得y＝2x－5． ③ 把③代入②，得 3x＋4（2x－5）＝2． 解这个方程，得x＝2． 把x＝2代入③，得y＝－1． 所以这个方程组的解是 设计意图：考查用代入消元法解二元一次方程组的能力． 19 　　2．有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．篮、排球队各有多少支参赛？ 　　解：设篮球队有x支参赛、排球队有y支参赛． 　　根据题中的等量关系，列式得 2．有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．篮、排球队各有多少支参赛？ 20 由①，得y＝48－x． ③ 把③代入②，得 解这个方程，得x＝28． 把x＝28代入③，得y＝20． 答：篮球队有28支参赛、排球队有20支参赛． 所以这个方程组的解是 设计意图：考查用代入消元法解二元一次方程应用题的能力． 21 　　1．如何用代入法处理两个未知数的绝对值均不为1的二元一次方程组？ 　　对于用代入法解未知数的绝对值均不为1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便． 1．如何用代入法处理两个未知数的绝对值均不为1的二元一次方程组？ 对于用代入法解未知数的绝对值均不为1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便． 22 　　2．列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系． 　　3．列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答． 2．列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系． 3．列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答． 设计意图：及时梳理知识，形成规模化，同时起到了小结的作用，使学生认识到用代入法解二元一次方程一般步骤． 23 感谢观看 24 $